二次函數(shù)的存在性問題(相似三角形的存在性問題)

1、A圖, CS 分）將H = 6代人名=二拋物線的斛析式為,工-2),+ 1,由一少+ 1 0 T 4得 - 0rit =以4.0),行=包,點(diǎn)的橫里標(biāo)為孔，即 y =- -7(2)如圖1,當(dāng)四邊形OCDB是平行四邊形時, CDJLOB.；*D（6,-3）； （6分圖1(11分)U2分）二次函數(shù)的存在性問題(相似三角形)1、已知拋物線的頂點(diǎn)為A(2, 1),且經(jīng)過原點(diǎn)O,與x軸的另一交點(diǎn)為R(1樂拋物線的解析式；(2靖點(diǎn)C在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以O(shè)、C D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn) 的坐標(biāo)；(3處接OA、AB,如圖，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得OBF與4

2、OAB相似若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。根據(jù)施物戰(zhàn)的對稱性可知，在對稱軸的左網(wǎng)掩物就上存在點(diǎn)D,使得四邊形QPCB斑桁四邊形，此時Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2, 一 3). (7分)當(dāng)四邊形OOBD是平行四邊形時Q點(diǎn)即為A點(diǎn)，此時D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1).頓圖2,由拋物的對酬性可知*AO = /ABO.若與AOB相似，毋須有 ZOB = ZBOA = ZBPO. - 強(qiáng)分)設(shè)QF交撇鋤繾的對稱軸于火點(diǎn).；*直線OP的解析式為y =一(10分)由一工二一十H*十H,得1 = 0=6.過F作FE_L式軸，在 RtABFP 中，BE = 2,PE$3, :* PB * -2* + 3, = 手 4

3、. APB # g，/田P # ZBPO. :PM 與BA。不相似，同理口J說明在對梆軸左邊的地物堤上也不存荏符合條件的P點(diǎn)，所以在該拋物踐上不存在點(diǎn)P,使得與ACWB相似. 13分) 2. 一， 、一_. 一一，、一，一2、設(shè)拋物線y ax bx 2與x軸交于兩個不同的點(diǎn)A(1, 0)、B(m, 0),與y軸交于點(diǎn)C且/ ACB=90：(1m的值和拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)D(1, n庇拋物線上，過點(diǎn)A的直線y x 1交拋物線于另一點(diǎn)E若點(diǎn)P在x軸上，以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與AEBf似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).(3應(yīng)(2)的條件下，BDP的外接圓半徑等解：(1玲x=0,彳#y=-2，C(Q 2

4、). . ACB=9Q CO,AB,AAOC ACOB,22OC222 .OA- OB=OC; .OB= 4 ，m=4OA 1將R JL QIE% Gft入 =4爐十加-2， a二施物瓏的解析式為 g j ：(2) D(l. n)代入7.3 7).過E作團(tuán)LLt軸于屈 則口),二月亨廳,.二KA斤一41過Z)作 軸干F,則產(chǎn)(1, 0), .BF = DF=3. /.A EAH：.135*90* v ZBA EC(2) m為定值。/BON ZBNO .OBN與AOAB不相似，同理說明在對稱軸左邊白拋物線上也不存在符合條件的N點(diǎn).故在拋物線上不存在N點(diǎn)，使得OBN與4OAB相似6、如圖所示，將矩

5、形OABCgAE折疊，使點(diǎn)。恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH延長BC至M,使CM= | CE-E0| ,再以CM、CO為邊作矩形CMNO. ,*S四邊形CFGH、，、_ _試比較EO EC的大小，并說明理由；(2玲m ,請問m是否為定值Sg邊形CMNO一 ,，一 一 _1若是，請求出m的值；若不是，請說明理由；(3汪(2)的條件下，若CO= 1, CE=-,3 2Q為AE上一點(diǎn)且QF=拋物線y= mx2+bx+d過C Q兩點(diǎn)，請求出此拋物線的解析式. 3(4漁(3)的條件下，若拋物線y= mx2+bx+cW線段AB交于點(diǎn)P,試問在直線BC上是否存在B K為頂點(diǎn)的三角形與4AEF相

6、似若存在，請求直線KP與y軸的交點(diǎn)T的坐標(biāo)若不存在，請說明理理由如下：由折疊知，EO=EF在R匕EFO43, EF為斜邊,EFEC 故EOEC S四郵cfg=CF=E戶-EC=eG EC=(EO+EC)(EOEC)=CO (EO-EC)233S四好cmno=CM - CO=|CE-EO| CO=(EO-EC) CO，、“1COE CE 一, 3QF2一 .-.EF=EO=3180 60FEA 60OEA,EAO30.EFQ為等邊三角形,、/1 /QF ，cos/ FEC= / 2S四邊形CFGH1S四邊形CMNO _ 1 _作 QI,EO于 I, EI= EQ23 ”EQ22.IO=-311-

7、，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(3 3拋物線 y=m&bx+ai點(diǎn) C(Q 1),Q( , 1) , m=1,可求得 b33 , c=13 3，拋物線解析式為yx23x(4)由，AO2 .：2 -當(dāng) x 43 時，y (一43)331 -VAB3.P點(diǎn)坐標(biāo)為(2.31、-).1.BP=132一AO3方法1:若PBKWAEFFf似，而AEgAEO則分情況如下:23時,BK2.34.383.K點(diǎn)坐標(biāo)為(3 ,1)或(J#99;ytMAO BCN2BK 3時，BK2 32332,3，K點(diǎn)坐標(biāo)為(4.31)或(0,1)5 .7.1、, 一 .、故直線KP與y軸交點(diǎn)T的坐標(biāo)為(0,)或(0,)或(0,)或(0,1) 33

8、3方法2:若ABPR與4AEF相似，由(3)得：/BPK=30 或 60 ,過 P作 PR!y 軸于 R,貝U/RTP=60 或 30 當(dāng)/RTP=30 時，RT 23 . 3 23 ,2.32當(dāng)/RTP=60 時，RT 、. 3 33751、Ti(0,-), 丁2(0, -), T3(0, 一)，丁4(0,1)33327、如圖，二次函數(shù)yax bx c ()的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn).連結(jié)AC、BC, A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為人(3,0)、0(0,73),且當(dāng)x 4和時二次函數(shù)的函數(shù)值相等.(1)求實(shí)數(shù)a, b, c的值；(2)若點(diǎn)M、N同時從點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分

9、別沿BA、BC邊運(yùn)動，其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一 點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時，連結(jié)，將ABMN沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的處，求t的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以B, N, Q為項(xiàng)點(diǎn)的三角形與 ABC相似如果存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.28、已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y ax x 3 ()交x軸于a、b兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)C,且對稱軸為直線x2. (1)求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P (0, t)是軸上的一個動點(diǎn)，請進(jìn)行如下探究：探究一：如圖1,設(shè)4PAD的面積為S,令亞=1$,當(dāng)0vt4時，W是否有最大值

10、如果有，求出W的最大值和此時 t的值；如果沒有，說明理由；探究二：如圖2,是否存在以P、A D為頂點(diǎn)的三角形與RtAOCf似如果存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說 明理由.DBAO圖1x圖2解：(1) ;拋物線2ax3 ()的對稱軸為直線x y3. D( 2,4).(2)探究一：當(dāng)0 t 4時，有最大值.1拋物線 y-x2 x 3交x軸于 A、B兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，二. A( 6,0), B(2,0) , C(0,3),4OA 6, OC 3.當(dāng)0 t4時，作DM y軸于，則DM2, OM 4. P(0, t)，.二 OP t, MPOM OP 4t. SA PADS梯形 OADMSA AOPC

11、1.SAdmp2 (DMOA)gDM1 _ _150App 邢gMP112(2 6) 4 2 61t 2 (4 t) 12 2t 2W t(12 2t)2(t 3)218 ，當(dāng)時，有最大值，W最大值探究二：存在.分三種情況:當(dāng) PDA 90時，作DE，x軸于，則OE2, DE 4,DEA 90 ,AE OA OE6 2 4 DE . DAEADE 45 ,AD 2DEPDE PDAADE 9045 45. ; DM y 軸，OA y 軸,DM / OA，二MDE DEAMDP1MDE RDE 9045 45.PD 2DM242.OC 此時PDOA 3、23,又因?yàn)?AOCRDA 90 ,AD

12、4RtA ADP1 s Rt AOC ,OROMRM42 2,P(0,2).當(dāng) PDA 90時，存在點(diǎn)，使RtADPis Rt AOC ,此時點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, 2).當(dāng)P2AD90 時，則P2AO45,，P2AOA672, p-272.cos45OA 6AD 4.2AD P2 AOC OA. F2AD與4AOC不相似，此時點(diǎn)不存在.AD 一 一當(dāng) AP3D 90時，以為直徑作，則的半徑r 2V2 ,2圓心到軸的距離.，與軸相離.不存在點(diǎn)，使 AP3D 90.，綜上所述，只存在一點(diǎn)P(0,2)使Rtz ADP與RtzXAOC相僅9、矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖13所示，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,0) , 0(0, 3),，3 一直線yx與BC邊相交于D點(diǎn).4(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；9(2)右拋物線y ax2 x經(jīng)過點(diǎn)A，試確定此拋物線的表達(dá)式；4(3)設(shè)(2)中的拋物線的對稱軸與直線OD交于點(diǎn)M，點(diǎn)P為對稱軸上一動點(diǎn)， 以P、O、M為頂點(diǎn)的三角形與AOCD相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).解：(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4, 3).39(2)拋物線的表達(dá)式為y 3x2 9X .84(3)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)R符合條件. OA/CB, POM CDO .OP1MDCO 90, RtAFOM sRtCDO .二拋物線的對稱軸x 3 , 點(diǎn)P1的坐標(biāo)為P(3Q).過點(diǎn)O作O