曲線積分和曲面積分2

1、第十章曲線積分和曲面積分基本內容3(一)第一型曲線積分與曲面積分1 .第一型曲線積分n(1)第一型曲線積分的定義f (x, y, z)ds = lim ' f ( , , )siL' 0 i4若L是封閉的，則記作1 f (x, y, z)ds(2)第一型曲線積分的計算L f(x,y,z)ds = j ：(t)J (t), (t)(t)L1(t)L(t)2dt2 .第一型曲面積分n(1)第一型曲面積分的定義f(x,y,z)dS = lim- f( i, i, J. Si0T(2)第一型曲面積分的計算 口 f(x, y,z)dS = JJ fx, y,z(x,y)；,1 +z2 +

2、z；dxdy 三D(二)第二型曲線積分1 .第二型曲線積分的定義設 F (x, y, z) = P(x, y, z), Q(x, y, z),R(x, y, z),當(P cosuds， (QcosPds， Rcos為s都存在時，其中cos 口，cos P, cos：'是L的單位切向量,稱Pcos« ds + ( Q cos 口 ds + ( Rcos d ds = (Pdx + Qdy + Rdz為一般形式的第二型曲線積分2 .第二型曲線積分的計算Pdx Qdy RdzP=P(x(t), y(t),z(t)x (t) Q(x(t), y(t),z(t)y(t) R(x(t)

3、, y(t),z(t)z (t)dt3 .格林公式及其一些命題(1)格林公式L P(x,y)dx Q(x, y)dy 二2 FP ()dxdy d 二 x：yP若 P(x, y)、Q(x, y)、一:Q一在單連通域D上均連續(xù)，則下列四個命題等價： .x1) Pdx+Qdy只依賴于區(qū)域D內的起點A與終點B,而與連結A、B的積分路徑無關;-AB(x,y)2)在區(qū)域D上，Pdx + Qdy是某一個函數(shù)F (x, y)的全微分，且F (x,y) = jPdx + Qdy其中點(a,b)是D內的某一定點，點(x, y)是(a,b)D內的動點;：:Q：:P j3)= 在區(qū)域D上的每一點處都成立;二xy4）

4、Pdx +Qdy =0 ,其中L是D內的任意一條逐段光滑的閉曲線.（三）第二型曲面積分1 .第二型曲面積分的定義稱ffPdydz + Qdzdx+Rdxdy為一般形式的第二型曲面積分，當 工是閉曲面時，積分號將寫成 £ .工2 .第二型曲面積分的計算R(x, y,z)dxdy = Rx, y, f (x, y)dxdy,同理計算 口P(x,y,z)dydz, JQ(x, y,z)dzdx工y3 .奧-高公式與斯托克斯公式空)dxdydz 二 z_；:pg(1)PdydzQdzdxRdxdy=(一一3 ：:x：:y（空一當dydz （史一 -y二z二z.:R；:Q)dzdx (-.x.

5、:P)dxdy-:yPdx Qdy Rdz4.向量場的散度與旋度.,.1_ . .一 . ._ . .；:P稱 divF = lim Pdydz Qdzdx Rdxdy =一:Q;R+ 十為散度,.:y：:zR；Q FP稱 rotF =-,y三 z ；z:RFQ,:x：:x：P、為旋度.-:y二、練習題10.1計算下列第一型曲線積分:(1)計算(x+y)ds,其中 L 為連接 O(0,0), A(0,1), B(1,1)解：如圖 10-1, OA : x = 0; y = y;ds =dy ；OB : x = x; y = x;ds = 2dxAB : x =x; y =1;ds =dxL(x

6、 y)ds= OAOB -AB(X W"111=0ydy 0(x x) .2dx 0(x 1)dx= 272(2) ( qyds ,其中 L 為擺線 x =a(t-sin t), y = a(1 cost)的第一拱解：擺線的第一拱，則t w 0,2n . （ Jyds2 ,oo:!. ,：a(1 -cost) a(1 - cost) (asint) dt圖 10-2(5),x2ds ,其中L為圓周2,2,22x +y +z = a解:L的參數(shù)方程為:3 2 =a、2a j (1 cost)dt =(2a)2n .(3)1xyds，其中 L 是 x+|y = a (a >0)解：

7、f (x, y) =xy是關于x的奇函數(shù)，而L是關于y軸對稱.由第一型曲線積分的對稱性知:/2222x + y ds ,其中L為圓周x + y = ax解：如圖10-2, L方程為：2 .x =acos t,y =acostsint ,其中 t =-, ，2 2g i 原式= 2二 a2 cos21 . (-2acostsint)2 (acos2t)2dt2ji22=a 127rcostdt =2aJ JL27.2.2.x = a cost, y =asint, z =a sin t, t 匚0,2冗 22ds =，x'+ y/+ z；2 dt = adt2 ,2 二 223：x ds

8、 = a cos t adt =二a L0(6)計算球面x2 + y2 +z2 =a2在第一象限上的邊界曲線的形心.解：不妨假設 P =1,如圖10-3,，c ，3惠林相。""3" = 271a Mx其中冗AB : x = a cost, y = asint, z =0,ds = adt, t 亡0,5；nBC : x = 0, y = a cost, z = asint,ds = adt, t e 0,；AC : x = asin t, y = Q z = a cost,ds = adt, t £ 0,JIJIMx = ：acost2a出+0+0 as

9、mt a出=2a又由于圖形的對稱性知4a.2(7)設L的萬程為x +y2,-22122= a(x + %x +y ) (a >0),其線密度N =f(x +y )，求L對于原點處的單位質點的引力 F .a解：L的極坐標方程為r = a(1+cosO) 8w_n,n,ds =12()r (u)2d 1-a . 2(1 cosu)dudF =Gds G2-2r adsG dFx =cosOdF = -cosQds aFxJcos? a, 2(1 cos)dFJT11 3Tn/0cos .2cos-d?022G 二3 .1.o (co s 1 co s-)d =8G3a由L對稱T知Fy =0.

10、10.2計算下列第二型曲線積分:(1) (x2 -2xy)dx+(y2 2xy)dy , L 為拋物線 y(-1 <x<1)1解：原式=(x2 -2x3) (x4 -2x3) 2xdx - 1二二(2x5 -4x4 -2x3 x2)dx ;1415(2)4 arctan y dy -dx ,其中OmA為拋物線段y OmAnOx 'OnA為直線y = x解：原式=y ,arctan - dy -dx mA AnOx二° (arctan x 2x -1)dx， (- -1)dxJT=2 xarctan xdx 04ji=1.4 (y2 z2)dx+2yzdyx2dz，

11、L 為沿參數(shù)增加x =t, y =t2, z =t3 (0 <t <1)解：原式的方向進行的曲線圖 10-41 462322=.(t -t ) 2t t 2t -t 3t dt1 641=0(3t6 -2t4)dt =35. 352 22222(4) (y z )dx+(z x )dy+(x y )dz, L為球面的第一象限中的部分 222x +y +z =1的邊界，從z軸正向向負向看去，l為逆時針方向.解：如圖10-4,由對稱性知原積分為222222、，3B(y -z )dx+(z -x )dy+(x - y )dz. AB .，nAB : x = cost, y =sin t,

12、z =0 , t 從 0 到一.2原積分=3 j02(sin 21 -0)(-sin t)十(0 cos21) cost +0dt = -3 02 ( si nt 十co st)dt = -42c (y+2xey)dx+(x ey ey +x)dy，L 是從O(0,0)沿曲線 y = sin(x n)到點 A(1,0)的曲線.y2：P解：設p = y +2xe', Q = x2ey -ey + x,有 =，故積分與路徑無關，；:x；:y21原積分=j0A(y +2xey)dx+(x eyey +x)dy = (2xdx =1 I ex(1 _cosy)dx - (y - sin y)d

13、y > 其中 L 為域 0 M x M %0 M y M sin x 的正方向的圍線解：由格林公式，xxX sin x X1-Jex(1 Yosy)dxTyTiny)dy=e (ysiny)e sin ydb =Je ydb = 一10 dxi0e ydy = -(1-e ).LDD5q xdy ydx , L為沿正向進行，而不經(jīng)過坐標原點的簡單閉曲線.L 22L x y.xdy - ydxL2 L x y解：（1）若原點不在L所圍的區(qū)域D內，直接應用格林公式FQFP二.(-)dxdy = .0dxdy =0(2)若原點在L所圍成的區(qū)域D內，如圖10-5,在原點附近作一個充分小的圓周l

14、：x2 +y2 = Z2,其方向為順時針方向，設L與l所圍成的復連域為D1 ，則/xdy -ydxL 2L x -yxdy - ydx xdy -ydx1I逆* y2 +v2 十可逆 y2 , v2= 110dxdy +可逆 xdy-ydxx yx yd1；1 -12.=Ii2dxdy=r 2；=2二.，D；(8)(3, A)(3y -x)dx (y -3x)dy(0, 2)(x y)3解:Q ；:P6x -6y(9)解:.:x ；:y4(x y),故積分與路徑無關.設 A(0,-2), B(3,_1), C(0,_1),選取路徑ACB計算積分,(3,1)(3y -x)dx (y -3x)dy

15、(0, N)3(x y)-3 -x(x-1)3dx(1,/) 2 xx(0,0)(x e cos2y)dx-2eQ.x(3y -x)dx (y -3x)dyAC (x y)3(3y - x)dx (y - 3x)dyCB(x y)30=2sin 2ydy*c x . c-1*=-2e sin 2y ，故積分與路徑無關,:y如圖10-6,選取路徑OAB計算積分.原積分B(1,二 /4)OA(x2 +ex cos2y)dx-2ex sin 2 ydyAB(x2 ex cos2y)dx -2ex sin 2ydyJI1 2 x 1,2、0(x e )dx04 (-2esin 2y)dy = (e -

16、)310.3計算下列第一型曲面積分:(1)口xyzdS，工是2x+2y+z=2在第一象限的部分.解:z = 2 -2x -2y ，dS=1 +(z；)2 +(z；)2dxdy =3dxdy .如圖10-7,I ixyzdS = xy(2 -2x -2y) 3dxdy =6 °dx °Dxy2MO12-e31 -x-6 2+ z113ix -y)dy =6x(1 -x) dx圖 10-720虹(x2 +y2+z2)dS，工是 Jx2 + y2«z«a的表面.解：如圖 10-8,取工1 : z = a, dS = dxdy取工2 : z =、；x +y ,d

17、S =,1 +(z；)2 +(z；)2dxdy = <2dxdy .則.、(x2 y2 z2)dS y2222222222222=(x y z)dS，ii(x y z)dS= (x y a )dxdy，11 (xy x y ) . 2dxdyT工DxyDxy_2二.a221422,34= (2%,2 +1) dQ r rdr +a J dxdy =(2j2+1) 2兀-a +a <ra =(-+j2)na 00Dxy42(3)設曲面z = Jx2 +y2(0 <z <a)的面密度為1 ,求其質心坐標及對于坐標軸的轉動慣量.解：由對稱性知：x = y = 0 .工：z =

18、、；x2 + y2, dS =、；1 +(zx)2 +(zy )2dxdy = V2dxdyM = ffdS = Hvr，2dxdy = M2 嶼2 三DxyzdS M -II. x2 y2 2dxdy M d xy2 二0 dlf V2r rdr= a .0313，一 2 、 故質心坐標為(0,0, 一 a) .3Ix = (y2 z2 )dS = (y2 x2 y2) .2dxdy :Dxy=| 向1(xDxy223 _ 2 二.y )dxdy =。d1ar20r dr = 3V2na44由對稱性知Ix =Iy22222 ，2只a 224Iz = "(x +y )dS = (x

19、+y ) v2dxdy = v2/d° f r rdr = na三Dxy210.4計算下列第二型曲面積分：(1) iizdxdy,工是由z = - 與z = 2所圍成的立體的表面內側.二 2解：由高斯公式知2 二 22口zdxdy =-JJJdv = - J dH J rdr產(chǎn) dz =-4n 0-01 :' 2 巾1y2zdxdy + x2ydzdx,工是由2=a及z 0所圍成立體表面外側.12,222z = (x +y), x +ya解：由高斯公式2222 . 一 2a 2.一 一5用y zdxdy+x ydzdx= JJ (x +y )dv = q d0 f r rdr

20、 adz = a .三0"03(3)(x2 _yz)dydz + (y2 _xz)dzdx + (z2 _xy)dxdy,工為球面工222.(x -1) (y-1) (z-1) =1的外側.222解：科(x _yz)dydz+(y _xz)dzdx+(z xy)dxdy = j口(2x+2y+2z)dv£Q由對稱性知fxdv = JJJ ydv = JJzdvQ Q Q故原積分=6 111 xdvQ設x =1+r sin 中 cosH , y =1 + r sin 中sin 8 , z=1+rcos邛，則仍有dxdydz = r2 sin中drd中d日.2 二 二 126

21、fjjxdv =6 Jo dH J0 d中(1 + r sin 中cos8)r sin 中dr=8n.Q '°°°222(4)求向重F =yz, xz,xy穿過曲面 工為x +y =a (OEzEh)的全表面流向外側的流重.解：6=刊 yzdydz+xzdzdx+xydxdy = |JJ0dv = 0£Q三、測驗題1. 填空2一x 2.22(1)L是曲線 + y =1,其周長為s,則q (xy + x +4y )ds等于.4L2 一 22 一 2、解：由積分的稱性知 < xyds = 0 ,又l即：x +4y =4,故工(xy+x +4y

22、)ds = 土 4ds = 4s（2）L是順時針方向的光滑封閉曲線，所圍成的平面圖型的面積為A ,則2 2xdy +5ydx =解：由格林公式，R2xdy+5ydx=0(25)d。=3A 口 Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= 口dS .LD三解：由第一、二型曲面積分的關系，應填 Pcoset +QcosP +Rcos? .(4)仃 f (x, y, z)dS = 口 f x(y, z), y,zdydz .三Dyz:x 2:x 2解：由第一、二型曲面積分的關系，應填1 (. )2 (. )2.yzAB ( 2 .2AB x y2、 ，x_ 2 _ 3x )dx - 22 dyx y2. 選

23、擇(1)設曲線段 AB 從 A(1,0)沿丫 =t7二x2cos(nx)到點 B(0,1),已知 E(1 1),則 2等于()A .ao - obB. .AE' EBC. .ABD.A,B,C全不對解:設P = 2y 2 x yP,Q在(0,0)無定義，應選22 -3x2, Q = 2x 2，滿足'=生 =X2 - y2 ,故積分與路徑無關，又因為x y ；x 1yx yB. 設工是在第五象限且通過點A(1,0,0), B(0,1,0)及C(0,0,1)的右側的光滑曲面，工的方程為f (x, y, z) =0 ,且f (x,y,z)的一階偏導數(shù)不為零，有等式 Pdydz+Qdz

24、dx + Rdxdy=仃(Pcosa+QcosP 十 RcosY)dS則cosP 等于(). y£fylfyA. fx (x, y, z)B. fy(x,y,z) C. ,1D. ,9 =2,2,2.2.2.2fxfyfzfxfyfz解：工的法向量為± fY f, f7,單位化后為 十 fx, fy, fz,又已知工為右側，所以cosp符號為正，應選C.y2.2.2.fx - fyfz(3)設曲線積分 I ; x2 y2dx 5x yln(x . x2 y2)dy222其中閉曲線L為(x 1) +(y -1) =1逆時針萬向，則I等于().a.冗b. 2nc.5兀d. 5n

25、解：利用格林公式，I = J1 5dxdy = 5兀，應選c. D(x2 ")x2V2(4)I = e(v'dydz+sin(x + y)dzdx,其中工是平面x + 2z 4 = 0被柱面 +， =1所截得部分的上側，則I等于(三164二 16二.1616.a. e b. (e -1) c.0 d. (e -1) 44解：工：x +2z 4=0, n* =1,0,2.1-故 cosa = =， cos B = 0 , cos '<.52.5,一 12有 dydz = dS , dzdx = 0dS , dxdy -廣 dS - ,55I = He(x '

26、;y ) ,3dS +0 = -L e(x " ) -J +(-)2 +0dxdy = ° ex 刈 dxdy三5- 5 Dxy22Dxy12二 2 4r2二 16選取坐標：x =2r cosQ , y = rsin 日，則dxdy =2rdrd 日.I =一 f d<3 ( e 2rdr = (e -1),應選 b. 20043. 計算下列各題22(1) (exsin y -y)dx +(ex cosy +3x)dy ,其中 L 是從 A(1,0)沿x3 + y3 =1 , x 2 0到 B (0,1)的一段弧.解：補充直線段BO, OA,l (ex sin y - y)dx (ex cos y 3x)dy 二-+ j_ _ j_L BO OA OB OA1,i ,i 4d-' - ! cosydy - 0, 13. 3=4 y ydx +sin1 (設 L 的參數(shù)萬程為 x =cos t, y =sin t)0.33=4 -sin td (cos t) sin 12=12 °2 ( si nt -si n t)dt si