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1、動(dòng)態(tài)規(guī)劃(生產(chǎn)和存儲(chǔ)問題)一、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的發(fā)展及其研究?jī)?nèi)容動(dòng)態(tài)規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支,是求解決策過程最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。20世紀(jì)50年代初美國(guó)數(shù)學(xué)家 R.E.BELLMAN等人在研究多階段決策過程的優(yōu)化問題時(shí),提出了著名的最優(yōu)化原理,把多階段問題轉(zhuǎn)化為一系列的單階段問題,逐個(gè)求解創(chuàng)立了解決這類過程優(yōu)化問題的新方法動(dòng)態(tài)規(guī)劃。 1957 年出版的他的名著Dynamic Proggramming ,這是該領(lǐng)域的第一本著作。動(dòng)態(tài)規(guī)劃問世以來,在經(jīng)濟(jì)管理生產(chǎn)調(diào)度工程技術(shù) 和最優(yōu)控制等方面得到了廣泛的應(yīng)用。例如最短路線庫(kù)存 管理資源分配設(shè)備更新組合排序裝載等問題,采 用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解比用其他方法更為簡(jiǎn)便。二
2、、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法基本概念一個(gè)多階段決策過程最優(yōu)化問題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型通常包括以下幾個(gè)要素:1 階段階段( stage )是對(duì)整個(gè)過程的自然劃分。通常根據(jù)時(shí)間順序或是空間特征來劃分階段,對(duì)于與時(shí)間,空間無關(guān)的“靜態(tài)”優(yōu)化問題,可以根據(jù)其自然特征,人為的賦予“時(shí)段”概念,將靜態(tài)問題動(dòng)態(tài)化,以便按階段的順序解優(yōu)化問題。階段變量一般用 k=1.2 .n.表示。1. 狀態(tài)狀態(tài) (state) 是我們所研究的問題(也叫系統(tǒng))在過個(gè)階段的初始狀態(tài)或客觀條件。它應(yīng)能描述過程的特征并且具有無后效性,即當(dāng)某階段的狀態(tài)給定時(shí),這個(gè)階段以后的過程的演變與該階段以前各階段的狀態(tài)無關(guān)。通常還要求狀態(tài)是可以直接或者是間接可以觀測(cè)
3、的。描述狀態(tài)的變量稱為狀態(tài)變量(State Virable )用 s 表示,狀態(tài)變量的取值集合稱為狀態(tài)集合,用 S 表示。 變量允許取值的范圍稱為允許狀態(tài)集合(set of admissble states). 用x(k) 表示第 k 階段的狀態(tài)變量,它可以是一個(gè)數(shù)或者是一個(gè)向量。用X(k) 表示第 k 階段的允許狀態(tài)集合。n 個(gè)階段的決策過程有n+1 個(gè)狀態(tài)變量,x(n+1) 是x(n) 的演變的結(jié)果。根據(jù)演變過程的具體情況,狀態(tài)變量可以是離散的或是連續(xù)的。為了計(jì)算方便有時(shí)將連續(xù)變量離散化,為了分析的方便有時(shí)又將離散的變量視為連續(xù)的。2 決策當(dāng)一個(gè)階段的狀態(tài)確定后,可以做出各種選擇從而演變到
4、下一階段的某個(gè)狀態(tài),這種選擇手段稱為決策( decision ) , 在最優(yōu)控制問題中也稱為控制( control )描述決策的變量稱為決策變量(decision virable ) 。變 量 允 許 取 值 的 范 圍 稱 為 允 許 決 策 集 合 ( set ofadmissble decisions )。用"£('(*)表示第 k 階段處于 階段x(k)的決策變量,它是x(k)的函數(shù),用 心(9) 表示x(k)的允許決策集合決策變量簡(jiǎn)稱決策。4.策略決策組成的系列稱為策略(policy )。由初始狀態(tài) x1開始的全過程的策略記作 丫).匕(,)一 "
5、;G),人(武2)八:%("(如 .由第k階段的狀態(tài)x(k)開始到終止?fàn)顟B(tài)的后部子 過程的策略以(*("),- 8初二"(必初/"3")人立,.,n.1.可供選擇的策略有一定的范圍,稱為允許策略集合(set of admissble polices),用431),小武初等表示。5 .狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程在確定性過程中,一旦某階段的狀態(tài)和決策為已知, 下階段的狀態(tài)偏完全可以確定。用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程(state transfer equations )表示這種演變規(guī)律,寫作:上(左 + 1)=7 (丁(。),聲(#), k=l 2E6 .階段指標(biāo)函數(shù)對(duì)于k階段
6、的狀態(tài)x(k),當(dāng)執(zhí)行了決策“D)時(shí),除帶來系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移之外,還產(chǎn)生第k階段的局部利益,它是總效益的一部分,稱為階段指標(biāo)函數(shù)( stageeffective fuction ),記作凡爾* >, ”心(左).7 .過程指標(biāo)函數(shù)用來衡量策略或者是子策略執(zhí)行效果的數(shù)量指標(biāo)稱為 過程指標(biāo)函數(shù) (process effective fuction ),它定義在所 有k后部子過程上,常用用 匕表示,即% =彳欣1»以或(*+1),A打)k=1,2,n.當(dāng)k=1時(shí),就是全過程指標(biāo)函數(shù)。如果狀態(tài)x(k)和子策略勺/WQ)給定,那么匕也就被 確定了,所以匕是x(k)和'(幻)的函數(shù),
7、記為: 九(K(k)+43k)常見的過程指標(biāo)函數(shù)是連和 形式或連積形式:匕=X,(M,)M(x(/)X = 12人 11匕=11(爪)必(式'),* 二 12A7=A*8 .最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)過程指標(biāo)函數(shù)=h(工/式尸)的最優(yōu)值稱為最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)(optimum effective fuction ),記為 f(x(k).米取了 最優(yōu)子策略尸;3初三2:U "(*()之后, 后部子過程所獲 得的總效益,表示為:八W公)=opi*(x(k),八(*(初W=12 Aopt是optimization的縮寫,意為最優(yōu)化,可以根據(jù)具體問題去max或min三動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的最優(yōu)性原理和基本函數(shù)方程在
8、動(dòng)態(tài)規(guī)劃中起核心作用的是最優(yōu)性原理:”作為整個(gè)過程的最優(yōu)策略具有這樣的性質(zhì),無論過去的狀態(tài)和決策如 何,相對(duì)于前面決策所形成的狀態(tài)而言,余下的決策系列必 須構(gòu)成最優(yōu)子策略?!眲?dòng)態(tài)規(guī)劃解法的關(guān)鍵在于給由一種遞推關(guān)系,一般把這種關(guān)系稱為基本函數(shù)方程,匕(式),尸切*伏)=(武行,以(n#) +外田(工出+1),A)注意到無后效性,最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)為):卬環(huán)(X姆匕(M*)-w7 匕(丫(牡 (Y)+ 廉+1 (x( +('(± +1)=Of>tMx(k+ opt VMx(k 匕心(M* + I) “上UHJ-平電(式初"*式初)+/(1+1)當(dāng)k=n時(shí),由于x(n+1
9、)是整個(gè)決策過程的終止?fàn)顟B(tài),以后不再做出決策,因此, *35 +(十I) = °這樣就得到了可以用來遞推的基本函數(shù)方程:/“的)二4")+/(刈4 + 1), k f LA 工中f(x(n+1)=0.類似的,可以得到乘法形式的基本函數(shù)方程:/(父(外)="比"(),«()/(x(女+ 1),斤二認(rèn)月一LA 1f(x(n+1)=1.四、建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型的基本步驟1 .階段;2 .狀態(tài)變量及可能狀態(tài)集合;3 .決策變量及允許決策集合;4 .狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程;5 .階段指數(shù)函數(shù);6 .基本函數(shù)方程;建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型基本上是上面6個(gè)步驟,按上述順序逐步確定
10、16的內(nèi)容。五、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的遞推方向及求解形式1.遞推解法基本方程:/(£#)二則匕(x(后),/(式/)+/(即 + 1), % wl,A.f(x(n+1)=0狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為r(A +1) = 7 (x(A),t(-r() * k ”, 一 1,A J,計(jì)算步驟是,利用終端條件從k=n開始由后向前遞推基本方程,求得各階段的最優(yōu)決策和最優(yōu)函數(shù),最后算由 f(x(1) 時(shí)就得到了最優(yōu)決策系列"MM。),上="k)412A M再按照狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程* *兇+1)=(武桂«邛)從k=i開始確定*rx(£b序列,丫,卜二修,用為最優(yōu)軌跡線,噌 x伏),才二
11、12A,北)為最優(yōu)策略。2. 順推解法使用順推解法時(shí),一些概念的含義須做相應(yīng)調(diào)整。狀態(tài)變量x(k)表示第k階段末系統(tǒng)的形態(tài)狀況,最優(yōu)值函數(shù)f(x(k)表示從第一階段到第 k階段總效益的最優(yōu)值,狀 態(tài)轉(zhuǎn)移方程為x(k -1) = T1Hk)M (jr),k = 12A、基本函數(shù)方程為- optrk (x(kuk(x(A) + f(xk -1) , k = 1,2.Af(x(0)=0 或 13. 求解形式求解動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題,一般有兩種形式:解析形式和表格形式,解析形式是利用函數(shù)的解析表達(dá)式,在每個(gè)階段用經(jīng)典求極值的方法得到最優(yōu)解。表格形式是指各階段的計(jì)算過程均在表格中進(jìn)行,這種形式便于分析和比較,操
12、作過程直觀且簡(jiǎn)練,適用于沒有解析表達(dá)式的離散型問題。4. 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的適用條件適用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的問題通常應(yīng)滿足如下3 點(diǎn):最優(yōu)化原理(最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì))。如果問題的最優(yōu)解所包含的子問題的解也是最優(yōu)的,就稱該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì),即滿足最優(yōu)化原理。由于對(duì)于有些問題的某些遞歸式來講并不一定能保證最優(yōu)化原則,因此在求解問題時(shí)有必要對(duì)它進(jìn)行驗(yàn)證。若不能保持最優(yōu)原則,則不可以應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解。在得到最優(yōu)解的遞歸式之后,需要執(zhí)行回溯以構(gòu)造最優(yōu)解。無后效性。應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的一個(gè)重要條件就是將各階段按照一定的次序排好,階段i 的狀態(tài)只能由階段i+1 的狀態(tài)來確定,與其他狀態(tài)沒有關(guān)系,尤其是于未發(fā)生的狀態(tài)沒有關(guān)系。
13、 換言之, 每個(gè)狀態(tài)都是 “過去歷史的一個(gè)完整總結(jié)”。這就是無后效性。子問題的重疊性。子問題的重疊性是指在利用遞歸算法自頂向下對(duì)問題進(jìn)行求解時(shí),每次產(chǎn)生的問題并不總是新問題,有些子問題可能會(huì)被重復(fù)計(jì)算多次。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法正是利用子問題的這種重疊性質(zhì),對(duì)每一個(gè)問題只計(jì)算一次,然后將其計(jì)算結(jié)果保持起來,當(dāng)再次需要計(jì)算已經(jīng)計(jì)算過的子問題時(shí),只要簡(jiǎn)單的查看一下以往的計(jì)算結(jié)果,從而獲得較高的解題效率。子問題的的重疊性并不是動(dòng)態(tài)規(guī)劃適用的必要條件,但是如果該性質(zhì)無法滿足,動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法同其他算法相比就無優(yōu)勢(shì)可言了。5. 解決問題的步驟利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解問題的算法通常包含如下幾個(gè)步驟。分析。對(duì)原始的問題進(jìn)行分析,
14、找到問題的最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)特征。分解。將所給問題按時(shí)間或空間特征分解成相互關(guān)聯(lián)的階段,并確定出計(jì)算局部最優(yōu)解的遞推關(guān)系,這是利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法解決問題的關(guān)鍵和難點(diǎn)所在。需要注意的是,分解后的各個(gè)階段一定是有序的或者是可以排序的,即無后向性。否則問題就無法用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。階段之間相互聯(lián)系方式是通過狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移體現(xiàn)的。每個(gè)階段通常包含若干個(gè)狀態(tài),可以描述問題發(fā)展到這個(gè)階段時(shí)所處在的一種客觀情況。每個(gè)階段的狀態(tài)都由以前階段的狀態(tài)以某種方式 “變化” 來的, 這樣的 “變化” 稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移。狀態(tài)轉(zhuǎn)移是導(dǎo)出狀態(tài)的途徑,也是聯(lián)系各階段的方式。解決。對(duì)于每個(gè)階段通過自底向上的方法求得局部最優(yōu)解。由于這一步驟通常是
15、通過遞推實(shí)現(xiàn)的,因此,需要遞推終止條件或邊界條件。(4合并。將各個(gè)階段求生的解合并為原問題的解,即構(gòu)造一個(gè)最優(yōu)解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的主要難點(diǎn)在于理論的設(shè)計(jì),特別是遞推關(guān)系的建立,一旦設(shè)計(jì)完成,實(shí)現(xiàn)部分就會(huì)非常簡(jiǎn)單。整個(gè)求解過程就可以使用一個(gè)最優(yōu)決策表的二維數(shù)組來描述,其中行表示決策的階段,列表示問題狀態(tài),表格需要填寫的數(shù)據(jù)一般對(duì)應(yīng)此問題的在某階段某個(gè)狀態(tài)下的最優(yōu)值,如最短路徑,最長(zhǎng)公共子序列,最大價(jià)值等。填表的過程就是根據(jù)遞推關(guān)系從 1 行 1 列開始,以行或者列優(yōu)先的順序,依次填寫表格。最后根據(jù)整個(gè)表格的數(shù)據(jù)通過簡(jiǎn)單的取舍或者運(yùn)算求得問題的最優(yōu)解。總之,動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的關(guān)鍵在于解決冗余,是一個(gè)以空間換
16、時(shí)間的技術(shù),所以它的空間復(fù)雜度要大于其他的算法。六、動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題在問題中的具體實(shí)現(xiàn)例如:動(dòng)態(tài)規(guī)劃規(guī)劃在生產(chǎn)存儲(chǔ)中的運(yùn)用生產(chǎn) 存儲(chǔ)問題是生產(chǎn)活動(dòng)中經(jīng)常遇到的問題。大批量生產(chǎn)可以降低成本,但當(dāng)產(chǎn)量大于銷量時(shí)就會(huì)造成產(chǎn)品積壓而增加庫(kù)存費(fèi)用;單純按市場(chǎng)要求安排生產(chǎn)也會(huì)因?yàn)殚_工不足或加班加點(diǎn)造成生產(chǎn)成本增加。因此合理利用存貯資源調(diào)節(jié) 產(chǎn)量,滿足要求是十分有意義的。生產(chǎn)與存貯問題是一個(gè)生 產(chǎn)部門如何在已知生產(chǎn)成本,存貯費(fèi)用和各階段市場(chǎng)要求的 條件下,決定各個(gè)生產(chǎn)階段的產(chǎn)量,使得計(jì)劃期內(nèi)的費(fèi)用之 和最小。現(xiàn)設(shè)有一個(gè)生產(chǎn)部門,生產(chǎn)計(jì)劃周期為n個(gè)階段,已知最初庫(kù)存量為x1,階段需求量為 dk,單位產(chǎn)品的消耗費(fèi)用
17、是lk ,單位產(chǎn)品的階段庫(kù)存費(fèi)用為hk,倉(cāng)庫(kù)容量為m1階段心產(chǎn)量=0生產(chǎn)能力為bk,生產(chǎn)固定成本為問如何安排現(xiàn)階段的產(chǎn)量,使計(jì)劃期內(nèi)的費(fèi)用綜合為最小?該問題本身就是一個(gè)多階段決策問題,設(shè)狀態(tài)變量為xk為k階段初的庫(kù)存量,由于計(jì)劃期初的庫(kù)存量 x1已知,計(jì) 劃期末的庫(kù)存量通常也是給定的, 為簡(jiǎn)單起見,假定x(n+1)=0 ,于是狀態(tài)變量 xk 的約束條件是:0MHa W"上 + + d力/ = 1 打決策變量uk選為階段k的產(chǎn)量,它滿足的約束條件是:工/ < Tmin場(chǎng) & 十 4計(jì),一十 一 口 * q + d* / = 1 -t n狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為 工+工 + % 一它
18、滿足無后效性的要求。階段效用由兩階段組成,一部分為生產(chǎn)費(fèi)用,另一部分 為存貯費(fèi)用,即:(0 + 兒(4 d*)= 0門(工+*小)=I Ct + Lku 上 + 陽(yáng)(h* + w* ak) 4 H。nR = 2 rM/皿)動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程為:a 九 Ct* 一4 > + 九門 Ct“iui 0九5)= mintui Icj + 工/曜+ 兒4 + M* 一心)+ fa)如 羊0七、設(shè)計(jì)題目:某機(jī)床廠根據(jù)合同,在一至四月份為客戶生產(chǎn)某種機(jī)床。工廠每月的生產(chǎn)能力為10臺(tái),機(jī)床可以庫(kù)存,存儲(chǔ)費(fèi)用為每臺(tái)每月 0.2 萬元,每月需要的數(shù)量及每臺(tái)機(jī)床的生產(chǎn)成本如下表。試確 定每月的生產(chǎn)量,要求既能滿
19、足每月的需求,又能使生產(chǎn)成 本和存儲(chǔ)費(fèi)用之和達(dá)到最小。表 需求量及生廣成本月份1234需求(日)67126生產(chǎn)成本(萬元/臺(tái))77.287.61 .構(gòu)造動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型階段變量k把每個(gè)月作為一個(gè)階段,k=1,2,3,4狀態(tài)變量不選擇每個(gè)階段的庫(kù)存量為狀態(tài)變量工工,可滿足無后效性,由已知條件可知:x1=x5=0,單位為臺(tái)決策變量”設(shè)每個(gè)階段的生產(chǎn)量為決策變量也,由已知條件得0W也w10臺(tái),狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為:工.= / +也-(d 是第k階段的市 場(chǎng)需求量)階段指標(biāo)第k階段的指標(biāo)費(fèi)用:八(皿,收)=0.2 4 +y(i)丸(以0) i=1,2,3,4.或匕(工上,肛)=0.2 * +0=0)
20、其中 y1=7, y2=7.2 , y3=8, y4=7.6 ,單位為萬元2 .建立基本方程設(shè)最優(yōu)值函數(shù) 五"是從第k階段的*狀態(tài)生發(fā)到過程終結(jié)的最小費(fèi)用,按動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的逆序解基本方程又:人("=嚷匕(也,H”)+人 5Q(k=4,3,2,1 )F5(x5)=03 .逆序逆推計(jì)算k=4時(shí)按照問題的各種約束條件,確定狀態(tài)變量x4的取值范圍。按窮舉法的思路,在量化的精度內(nèi),確定狀態(tài)變量x4的全部可能取值。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 x5=x4+u4-d4又 x5=0 , d4=6 所以有 x4+u4=6又因?yàn)槊總€(gè)月的最大生產(chǎn)能力為10臺(tái)。第1, 2, 3月的需求量為 6, 7, 12 臺(tái),
21、故 x4=0, 1, 2, 3, 4, 4 臺(tái)對(duì)x4的的確定取值,分別求生決策變量u4的取值范圍當(dāng) x4=0, u4=6;x4=3,u4=3x4=1, u4=5;x4=4, u4=2x4=2, u4=4;x4=5, u4=1由此可知x4與u4是一一對(duì)應(yīng)的,即對(duì)于每個(gè)確定的狀態(tài),只有一種決策,故這唯一決策的結(jié)果是最優(yōu)的。利用第四階段的基本方程進(jìn)行計(jì)算:F4(x4)=minv4(x4,u4)+f5(x5)=minv4(x4,u4)=v4(x4,u4)=0.2x4+7.6u4 (u4>0)或=0.2x4(u4=0)計(jì)算結(jié)果列表 1表1 k=4 時(shí)V,九十i (丸+i >晨+"1
22、5c06045.6045.615038.2038.224030.8030.833023.4023.4420160165108.608.6k=3時(shí)因?yàn)閐3=12, d4=6, x1=x5=0, d1=7.每月的最大生產(chǎn)能力為 10臺(tái),故2三x3三7當(dāng) x3=2, u3=10 x3=3, u3=10, 9x3=4, u3=10, 9, 8 x3=5, u3=10, 9, 8, 7 x3=6, u3=10, 9, 8, 7, 6 x3=7, u3=10, 9, 8, 7, 6, 5狀態(tài)變量x3的一個(gè)取值,對(duì)應(yīng)決策變量u3的六個(gè)可能取值,要求分別計(jì)算由各個(gè) u3取值相應(yīng)的指標(biāo)函數(shù)值,再挑選其中的最小值
23、為這個(gè)狀態(tài)的最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)值,f3(0).下面利用第三階段的基本方程進(jìn)行計(jì)算。F3 (x3) =min【v3(x3,u3)+f4(x4)其中 v3(x3,u3)=0.2x3+8u3(u3>0)或 v3(x3,u3)=0.2x3 (u3=0)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程x4=x3+u3-12 計(jì)算結(jié)果位于表2表2表2 k=3 時(shí)*匕九/(力+i)七+九/小210080.445.6126310180.638.2118.89072.645.6118.2410280.830.8111.69172.838.21118064.845.6110.451038123.4104.4927330.8103.8816538.2
24、103.2705745.6102.6610481.21697.29373.223.496.68265.230.8967157.238.295.46049.245.694.8710581.48.6909473.41689.48365.423.488.87257.430.888.26149.438.287.65041.445.687k=2 時(shí)確定x2的取值范圍因?yàn)閤1=0, 0三u1三10,且d1=6,且x3蘭2因止匕0三x2三4即x2=0,1,2,3,4.對(duì)于x2的每個(gè)確定值,分別求生 u2的可能取值X2=0時(shí),u2=10, 9X2=1時(shí),u2=10, 9, 8X2=2時(shí),u2=10, 9, 8
25、, 7X2=3時(shí),u2=10, 9, 8, 7, 6X2=4時(shí),u2=10, 9, 8, 7, 6, 5基本方程 f2(x2)=minv2(x2,u2)+f3(x3)其中 v2(x2,u2)=0.2x2+7.2u2 (u2>0) 或 v2(x2,u2)=0.2x2 (u2=0)狀態(tài)方程x3=x2+u2-3注:對(duì)上面的u2取值解釋。本來x2=0時(shí),u2可取值為10, 9, 8, 7.但由于每個(gè)月的最大生產(chǎn)能力為10臺(tái)且d3=12,所以x3必須大于2臺(tái),因此u2取值只能為10, 9.同理對(duì)于x3取其他可能值,也應(yīng)考慮到x3必須大于2臺(tái),計(jì)算結(jié)果如下表3.表 3 k=2匕fi+t < X14-I)匕+人)010372118.2190.29264.8126190.8110472.2110.4182.69365118.2183.28257.8126183.6210572.4102.61759465.2110.4175.68358118.2176.27250.8126176.8310672.
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