2020-2021學(xué)年上海市普陀區(qū)高三年級(jí)一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷

1、2020-2021學(xué)年上海市普陀區(qū)高三年級(jí)一模考試數(shù)學(xué)試卷一.填空題(本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)1 .若集合 A = xl0xl, B = xl(x-l)(x-2)O,xeR,則 A|J4 =【參考答案】(0,2【解析】B=xI1x2,.-./10)的反函數(shù)為【參考答案】.廠|(公=6(x2 0)【解析】x = yfyy：. fl(x) = /x(x0)JI3,若一 。/2【解析】丁 a是第二象限，sine =n二,tana =-24 .設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列為的各項(xiàng)和為2,若該數(shù)列的公比為,，則 =2【參考答案】-4【解析】無(wú)窮等比數(shù)列為的各項(xiàng)和S=-L=2,.q=

2、lq =， -q45 .在(1-1/的二項(xiàng)展開(kāi)式中丁項(xiàng)的系數(shù)為 x【參考答案】28【解析】心=品產(chǎn)()=品(一1),產(chǎn).=產(chǎn)八2,代入可得系數(shù)為28 x6 .若正方體的棱長(zhǎng)為1,則該正方體的外接球的體枳為【參考答案】士8【解析】由正方體的體對(duì)角線為外接球的直徑可得半徑，根據(jù)丫 =可得體積227 .若圓C以橢圓二+三=1的右焦點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)半軸為半徑，則圓。的方程為 16 12【參考答案】(X2尸+ 丁 = 16【解析】橢圓右焦點(diǎn)為(2,0),長(zhǎng)半軸為8,所以可得圓的方程為(-2尸+ 丁 =168 . 一個(gè)袋中裝有同樣大小、質(zhì)量的10個(gè)球，其中2個(gè)紅色、3個(gè)藍(lán)色、5個(gè)黑色，經(jīng)過(guò)充分混合后，若從此袋

3、中任意取出4個(gè)球，則三種顏色的球均取到的概率為【參考答案】1 2【解析】P =c；cc + c!c；c* + clcjc；9 .設(shè)x） = L lgx,則不等式的解集為 xx【參考答案】0，；1【解析】/*）單調(diào)遞減且1） = 1.上一11,.“ 0 x210 .某展館現(xiàn)有一塊三角形區(qū)域可以布展，經(jīng)過(guò)測(cè)量其三邊長(zhǎng)分別為14、10、6 （單位：”），且該區(qū)域的租金為 每天4元/，若租用上述區(qū)域5天，則僅場(chǎng)地的租用費(fèi) 約需 元（結(jié)果保留整數(shù)）【參考答案】520【解析】S = 715x1x5x9 = 1573J5/3X4x5 520rr11 .如圖所示，在直角梯形ABC。中，已知AO3C,乙43。=

4、 一，2AB = AD = , BC = 2, M為80的中點(diǎn)，設(shè)尸、。分別為線段AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，若尸、M、。三點(diǎn)共線，則戶的最大值為【參考答案】2【解析】當(dāng)尸，8重合，2Q重合時(shí)AQ.C戶的值最大12 .設(shè)/八C均為實(shí)數(shù)，若函數(shù)f（x） = x + 2 + c在區(qū)間1,+8）上有零點(diǎn)，則+/的取值X范圍是1 、【參考答案】2）【解析】當(dāng)/?40JW0/+/2 + c0,利用線性規(guī)劃可得+/e J_,+8 2當(dāng)0l,2/+cW0, b2 +c2 e 5,+oo)1、綜上，b2 +c2 e -,+oo2二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13 .曲線V=8x的準(zhǔn)線方程是（）A. x

5、 = 4【參考答案】CB. x = 2C. x = -2D. x = -4【解析】準(zhǔn)線方程工=一己=一22r 3114.設(shè)x、y均為實(shí)數(shù)，且 , -6 2 54=7,則在以下各項(xiàng)中(x,y)的可能取值只能是A. (2J)C. (T2)D. ( 1,2)【參考答案】B【解析】2x-18-y+20 = 7,2x-y-5 = 0,代入點(diǎn)的坐標(biāo)可得。 15.如圖，在正四棱柱48。)一4月；|中，底面邊長(zhǎng)A8 = 2, 高4A = 4,七為棱A1A的中點(diǎn)，設(shè)N3AZ = a，ABED = 8, D = y ,則。、夕、7之間的關(guān)系正確的是()A. a = y0B. ya6C. 0yaD. aOy【參考答

6、案】B【解析】a = *、e = g在4石。中，BQ = 25ED = 20.BE = 2垃,根據(jù)余弦定rr理可得了一216 .設(shè)、c均為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程/+加、|+。= 0在復(fù)數(shù)集c上給出下列兩個(gè)結(jié)論:存在匕、c,使得該方程僅有兩個(gè)共規(guī)虛根；存在匕、c,使得該方程最多有6個(gè)互不相等的根：其中正確的是()A.與均正確B.正確，不正確C.不正確，正確D.與均不正確【參考答案】A【解析】人=0,c = 1滿足題意V 51 xI +6 = 0 ,方程的根是z,2,3三.解答題(本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分)17 .設(shè)。為常數(shù)，函數(shù)/(x) = osin2x + cos(2-

7、2x) + 1 ( xgR ).(1)設(shè)。=/,求函數(shù)y = /(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及頻率/；(2)若函數(shù)y = /(x)為偶函數(shù)，求此函數(shù)的值域.【參考答案】(1) k乃一三,k九中 土 , keZ.頻率/=上-=1, _36 J2萬(wàn)4(2) 0, 2【解析】(1)當(dāng)。=時(shí)，f(x) = V3 sin 2x + cos2x +1 = 2sin(2x + ) + 12分6由2攵萬(wàn)一巳+ 得4萬(wàn)一二4攵4+工，所以此函數(shù)的單調(diào)遞增26236區(qū)間為k九一上,k冗中 三 , keZ. 4分-36_21頻率f =.6分24 7T(2)定義域 = R,因?yàn)楹瘮?shù)y = /(x)為偶函數(shù)，所以對(duì)于任意的xw

8、R,均有f(-x) = f(x)成立.7 分即 asin(-2x) + cos(-2x) +1 = asin2v + cos2x+19 分也即2asin2x = 0對(duì)于任意實(shí)數(shù)x均成立，只有4=0.11分此時(shí)/(x) = cos2x + l,因?yàn)橐?1 Wcos2xl, 12 分所以0 4 1 + cos2x 44 分4所以當(dāng)所=4時(shí),IPF,lmin=9.6分3(2) F)(5,0),的兩條漸近線方程為y = - x,8分 4根據(jù)題設(shè)條件，可得/： 3x + 4y-15 = 0.9分八”,、，13x0 + 4x0-151-八O到/的距離=,=310分3x + 4y-15 = 0將/與r的方程

9、聯(lián)立，得V9311 分，消去了 得，10x = 41, 12分91 16/ =144解得x = 4.l,代入得y = 0.675,所以/與的交點(diǎn)坐標(biāo)為（4.1,0.675）.14分19.某商場(chǎng)共有三層樓，在其圓柱形空間內(nèi)安裝兩部等長(zhǎng)的扶梯I、II供顧客乘用，如 圖，一顧客自一樓點(diǎn)A處乘I到達(dá)二樓的點(diǎn)8處后，沿著二樓面上的圓弧8M逆時(shí)針步行至點(diǎn) 。處，且。為弧8W的中點(diǎn)，再乘H到達(dá)三樓的點(diǎn)。處，設(shè)圓柱形空間三個(gè)樓而圓的中 心分別為。、a、a,半徑為8米，相鄰樓層的間距AW=4米，兩部電梯與樓面所成角 的大小均為arcsin.3（1）求此顧客在二樓面上步行的路程：（2）求異面直線和CO所成角的大小

10、.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【參考答案】（1）24（2） arccos生匚-9【解析】（1）過(guò)點(diǎn)8作1樓面的垂線，垂足為8,則8落在圓柱底面圓上，連接8A,則8 A即為84在圓柱下底而上的射影，所以ZBAB即為氏4與樓面所成的角，即ZBAB,1c八=arc sin-.2 分3BB =AM=4,可得A8=8VI3 分.AO8 中，OA = OB =8，所以 AOB是等腰直角三角形.故7TZBO.M = Z AOB =-,5 分12又因?yàn)锳3=C。，所以弧8c的長(zhǎng)為8乂三=2萬(wàn)，所以此4顧客在二樓面上步行的路程為21米.7(2)由(1)可知。4,08 ,。,兩兩互相垂直相交，于是以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

11、射線一OBOAOO?分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.8分易得8(8,04), A(0,8,0),。(4次,4&,4),。(-4后,4、漢,8),向量瓶=(8,-8,4),CD = (-872 A4)10 分設(shè)異而直線A8和CO所成角的大小為6,則cos8 =I市前IABCD0,12 分472-1即。=arccos9472-1，所以異而直線A8和 8所成角的大小為arccos嗔一 .14分20.已知無(wú)窮數(shù)列4的首項(xiàng)為力，其前項(xiàng)和為S,且。向_/=d (ND ,其中 ”為常數(shù)且4 W0.(1)設(shè)q=d = l,求數(shù)列/的通項(xiàng)公式，并求的值； an(2)設(shè)，=2,邑=-7,是否存在正

12、整數(shù)攵使得數(shù)列中的項(xiàng)攵&8 n(2) 2是等差數(shù)列，% =7%=7,得明=1，又因?yàn)? =2,所以為 =-7.故S“ =+(4 一= 2 一8，所以 S“ = - 8/J ( n e N ) 6分22k0 =k_8k?=12*-8)應(yīng)時(shí)，不等式都不成立.所以滿足條件的所有的k的值為123,4,5,6,7,8.10分(3)先證必要性：任取等差數(shù)列“中不同的兩項(xiàng)明和勺($6/),存在k,使得ax+at = ak 則 2al +(s + t 2)4 =ax + (k 1)J ,得。1=(k - s r + V)d 故存在 m ,使得 7 =左一$ / + 1，使得 卬=/, m e Z12分再證 ？

13、之一1：運(yùn)用反證法.假設(shè)當(dāng)時(shí)，機(jī)之一1不成立，則7V1恒成立.對(duì)于不同的兩項(xiàng)叫、a2,應(yīng)存在%,使得4+。2=% 即(2? + 1) = / + (/-1)”故/ = ? + 2,又因?yàn)?是小于T的整數(shù)，故/ 一1，使得q = md得證.16分21.已知函數(shù)一 . log2 X A 0(1)解不等式x*/(x)K0；(2)設(shè)左、川均為實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，/(x)的最大值為1,且滿足此條件的任意實(shí) 數(shù)x及陽(yáng)的值,使得關(guān)于工的不等式“幻4m2-伐-2)陽(yáng)+32-10恒成立,求的取值 范圍：(3)設(shè)，為實(shí)數(shù)，若關(guān)于%的方程/()-1。82(/-幻=。恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根占、心且玉VX),試將*+log,+

14、表示為關(guān)于I的函數(shù)，并寫(xiě)出此函2- I A| -1 I + I X, 1 I數(shù)的定義域.【參考答案】(1)(-00,1 (2) k4 (3)見(jiàn)解析【解析】(1)當(dāng)x0時(shí)，f(x) = 2 代入x*7(x)0,得0,所以x0時(shí)，/(x) = log2 X ,代入得 X,log2%K。，所以logzXK。，解得0V x 12分.故原不等式的解集為(-COJJ.4分(2)當(dāng)時(shí),/(x)max = 1，故0?2.6 分要使得不等式f(x) + 3-10 1,即“J-(k-2)m + 3k - 11之0對(duì)于任意的?e0,2都成立.4因?yàn)?1K3 z0,0得。-3） + 8 -4 + 8 = 4（當(dāng)且僅當(dāng)7 = 1時(shí)，等號(hào)成立）3 - inrn 一 39分所以k N410分2 T V 0zr r 0log2（log2 xx 1若 Xl,則方程/f（x）-k）g2（x） = 0 變?yōu)?