空間解析幾何

1、第七章空間解析幾何與向量代數(shù)名稱 而縣 里及 線 性 運 算向 量 的 坐數(shù) 量 積 向 量 積向量的加減法三角形法則向量與數(shù)的乘法內(nèi)容概要主要內(nèi)容（7-1 , 7-2, 7-3）平行四邊形法則人a :當九 0時，九a表不和a同向, 當兒 0,九a表示和a反向，主要性質(zhì)：（1）a單位化向量為=XlaT 網(wǎng)邛p時的向量; 向量；a一，(2)a/b y a = ?ub向量的代數(shù)運算a = ax i +ay j +az k b =bx i +by j +bz ka±b =缸 土bx)i + 土by)j±bz)k九a =，一 ax i + 九 ay j + Xaz k向量a的模、方

2、向余弦：a =a2+aj+a2 , cosa = *,cosB = b,cosY = *laia間Mi(Xi, yi,zJM2(X2,y2,Z2)的距離:«、222X2 - Xi) (y2 - yi)(z2 - zi)向量a在然軸上的投影：Pr j a = a I cos（a：' A = a數(shù)量積向量積混合積定義及運算： a b = a b cos(a, b)=axbxaybyazbz2a b王要性質(zhì)：(i)a a = a| ；(2)a _L bu a b = 0 ,(3)cos(a,b) = 7- lalb定義運算a父b的模為a父b| = |a|b|sin(a,b),方向為

3、a指向b大拇指方向ijkaxayazbxbybza b =性質(zhì)：（1） ab表示以a、b為鄰邊的平行四邊形面積; ab-La , ab-Lbaxayabxbybcxcyczzz定義及運算：（a b） c二性質(zhì)：(1)(a b) c =(b c) a = (c a) b（2）a, b, c共面的充要條件：（a x b） c = 0習題7-11.填空:(1) 要使a +b = a b成立，向量a ,b應滿足a i b(2) 要使a + b = a + b成立，向量a, b應滿足a / b ,且同向2.設(shè) u =ab +2c, v = a +3bc,試用 a , b , c表示向量 2u 3v知識點

4、：向量的線性運算解：2u -3v = 2a -2b +4c +3a 9b +3c =5a -11b + 7c3.設(shè)P,Q兩點的向徑分別為r1 , r2，點R在線段PQ上，且PRRQ證明點R的向徑為n ri m r2r 二m n知識點：向量的線性運算m m證明：在AOPQ中，根據(jù)三角形法則 OQ -OP = PQ ,又PR =PQ =(r2 r1),m n m nOR =OP PR =r1m ,、nrmr2(r2 - r1)二m nm n4.已知菱形ABCD的對角線AC = a ,BD = b ,試用向量a , b表示AB , BC ,CD , DA知識點：向量的線性運算解：根據(jù)三角形法則， A

5、B+BC=AC = a, Ad -Ab =Bd =b,又abcd為菱形，AD =BC (自由向量)，b -a=CD - -DC - - AB a2a -b2AB u AC - BD =a - b= AB = - -2a bAD =BC = , DA =25.把MBC的BC邊五等分，設(shè)分點依次為 D1 ,D2 , D3 ,D4,再把各分點與點A連接，試以AB =c,BC =2表示向量 D1A, D2A, D3A 和 D4A。3知識點：向量的線性運算解：見圖7-1-5 ,.一 一1 -1 、根據(jù)三角形法則，ABBD1 = AD1,BD1 = BC =D1A= AD1= -(ca)55一2 一3 一

6、4 、同理：D2A =(ca), D3A = -(ca), D4A =(ca)555習題7-2 1在空間直角坐標系中，指出下列各點在哪個卦限？A(2 , -2,3) ;B(3,3,-5) ;C(3,-2,-4); D(43,2)答：A(2 , -2,3)在第四卦限，B(3,3, -5)在第五卦限，C(3, -2,-4)在第八卦限，D(-4, -3,2)在第三卦限 2.在坐標面上和坐標軸上的點的坐標各有什么特征？并指出下列各點的位置：A(2,3,0); 蛻0,3,2);C(2,0,0);D(0, -2,0)知識點：空間直角坐標答：在各坐標面上點的坐標有一個分量為零，坐標軸上點的坐標有兩個分量為零

7、，:點A在xoy坐標面上；B在yoz坐標面上；C在x軸上；D在y軸上。 3.求點(a, b, c)關(guān)于(1)各坐標面；(2)各坐標軸；(3)坐標原點的對稱點的坐標。答：(1) (a, b, c)關(guān)于xoy面的對稱點的坐標為(a, b,-c)；關(guān)于xoz面的對稱點的坐標為(a,b,c)；關(guān)于yoz面的對稱點的坐標為(一a,b,c)。(2)( a, b, c)關(guān)于x軸的對稱點的坐標為(a,-b,-c)；關(guān)于y軸的對稱點的坐標為(一a,b, c)；關(guān)于z軸的對稱點的坐標為(一a,-b,c)(3)( a, b, c)關(guān)于原點的對稱點的坐標為 (一a,b,-c)4.過點B(Xq, y0, Z0)分別作平

8、行于z軸的直線和平行于xoy坐標面的平面，問在它們上面的點的坐標各有什么特點？答：過點P0(x0, y0, z0)平行于z軸的直線上的點x、y坐標一定為x0, y0,因此坐標為(x0, y0, z);過點P0( x0, y0, z0)平行于xoy坐標面的平面上的點的豎坐標一定為z ,因此坐標為(x, y, z0)5.求點M(5,4,4)到各坐標軸的距離。解：: M (x, y, z)到x軸的距離為zz9 (y -1)2 (z -2)2 f；16 (y 2)2 (z 2)2y = 1 一7，;所求點為(0,1,2)z = 2 7.已知兩點 M1(0,1 ,2), M2(1, -1,0),試用坐標

9、表示式表示向量M1M2, 2MlM2。知識點：空間兩點的距離、向量的坐標表示及代數(shù)運算 解：M1M2 =1,-2, 2 ； -2M1M2 = -2(1,-2, -2 =-2,4,48.求平行于向量a =6,7, -6的單位向量知識點：向量的坐標表示及代數(shù)運算解：平行于向量a =6,7, 6的單位向量有和a同向和反向兩個,676一 6,7,-6 = ,11 11119.已知兩點M1(4,亞,1), M2(3,0,2)，計算向量M1M2的模、方向余弦、方向角。知識點：向量的坐標表示及代數(shù)運算解：根據(jù)向量模、方向余弦、方向角的計算公式可得:_ _1- 2 =12 1=2, cos- =, cos -

10、二22 + y2M (5, -3,4)到 x 軸的距離為 ；z2 + y2 = J9+16 = 5 ；同理 M(5, -3,4)到 y 軸的距離為 62 + z2 ="25 + 16 =J4 ；M(5, -3,4)到 z 軸的距離為 xx2 +y2 = 25 + 9 = v346.在yoz面上，求與三點A(3,1 ,2), B(4, -2, -2), C(0,5,1)等距離的點知識點：空間兩點的距離二,(y-5)2 (z-1)23y + 4z = -5 、4y-z =6、36 49 36M1M 2 =T, 一6，1= M1M解：所求點在yoz面上，：設(shè)所求點的坐標為 (0, y,z)

11、,由條件可知：10.已知向量a的模為3,且其方向角6=y= 60", P = 45 ,求向量a知識點：向量的坐標表示及相關(guān)概念JI3 3.2 3，cos-，cos-H2,-解：根據(jù)向量、向量的模、方向余弦之間的關(guān)系可得：a = a cos a, cos 口, cos 丁 = 3cos 1311.設(shè)向量a的方向余弦分別滿足(1)cos =0,(2)cos : = 1,(3)cos 二=cos : = 0問這些向量和坐標軸或坐標面的關(guān)系如何？知識點：向量的方向余弦解：(1) cos a =0表示向量和x軸正向夾角為 ,因此該向量和x軸垂直，或平行于 yoz面(2) cos P =1表示向

12、量和y軸正向夾角為零，因此該向量和y軸平行且方向相同(3) cos a =cosP =0表示向量和x、y軸正向夾角都為 ,說明該向量和x、y軸都垂直，因此平行2于z軸 12.已知r| = 4, r與軸N的夾角是60 ,求Pr j4。知識點：向量在軸上的投影解：根據(jù)投影公式Pr j j =卜cos(r； ,力=2 13. 一向量的終點為 B(2, -1,7),它在x軸、y軸和z軸上的投影依次為 4, -4,7 ,求該向量的起點A的坐標。知識點：向量在坐標軸上的投影解：.向量的坐標分量即為它在x軸、y軸和z軸上的投影，設(shè)起點 A為A(x, y,z),則：AB =2-x,-1-y,7-z =4,-4

13、,7 = (x,y,z) =(-2,3,0) 14.求與向量a =16, 15,12平行，方向相反，且長度為 75的向量bo知識點：向量的坐標表示及代數(shù)運算解：由條件可得：b =ha, b 長度為 75,±7R162 +152 +122 = 75=九=±3. b 和 a 反向， 九=3= b = ?a = Y8,45, 36,習題7-3a =3, b =5,且兩向量的夾角8 =冗/3,試求（a -2b） <3a +2b）知識點：向量的數(shù)量積及其運算規(guī)律.22解：根據(jù)數(shù)量積的運算規(guī)律：(a 2b) (3a +2b) = 3a+2ab-6b a -4b2215=3a -4

14、a b -4 b，: a，b = a|b cos(a，b)= (a 2b)，(3a +2b) = 1032.已知 Mi(1,-1,2), M2(3,3,1), M3(3,1,3),求同時與 M1M 2 , M2M 3 垂直的單位向量 知識點：向量的向量積解：由向量積性質(zhì)：axbia, axb_Lb, M 1M 2 =2,4, 1 , M 2M 3 =0,2,2i j kM 1M 2 MM 2M3 = 241=6 i -4 j 4k 為同時與 M1M 2 ,M 2M 3 垂直的向量0-221322;所求單位向量為3,-2,-2= 3 ,-，-,32 22 22.17. 1717 3.設(shè)力f =2

15、i -3j +5k作用在一質(zhì)點上，質(zhì)點由 M(1,1,2)沿直線移動到M 2(3,4,5),求此力所做的功(設(shè)力的單位為 N,位移的單位為m)知識點：數(shù)量積的物理意義解：數(shù)量積的物理應用之一：力沿直線作功。位移為 M 1M 2 =2,3,3,W = f M1M2 =(2i -3j 5k) (2i 3j 3k) =10(N m) 4.求向量a =4,一3,4)在向量b =2,2,1上的投影。知識點：向量在軸上的投影.一八 a b a b斛：根據(jù)公式 Pr j ba = a cos(a, b) = a j= =2。同州b 5.設(shè)a =3,5,2, b =2,1,4,問人與N有怎樣的關(guān)系能使la十N

16、b與z軸垂直？知識點：兩向量垂直的充要條件解：根據(jù)兩向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為零，取 z軸的單位向量0,0,1),則( a b) 0,0,1 =-2- 4,=0= ' -2 6.在杠桿上支點O的一側(cè)與點O的距離為x1的點P處，有一與OP成角3的力F1作用著，在O 的另一側(cè)與點。的距離為X2的點P2處，有一與OP2成角%的力F2作用著，如圖，問3, 92 ， x1， x2, F1 , F2符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡？知識點：向量積的物理應用要使杠解：P處F1作用產(chǎn)生的力矩 M1 =0百xF1, P2處F 2作用產(chǎn)生的力矩 M2 =麗父F2,桿平衡，只要 M1 =|m &q

17、uot;= x1 F1 sin01 =x2 F2 sin仇 7 設(shè) a =2i 3 j +k, b = i j +3k , c = i -2 j,求(1) (a b) c (a© b;(2)(a+b)x( b + c)；(3)(a x b) c知識點：向量運算的坐標表示解(1) (a b)c - (a c)b = 8c -8b =0, 8, 24i j k(2) (a +b) x(b +c) =3,y,4 m2,-3,3 = 3 -4 4 = -j -k 2-3 3ijk(3)(axb) c =(2 -3 1 ) c =8, 5,1 1,2,0 =21-1 38.直線L通過點A(2,

18、1,3)和B(0,1,2)求點C(10,5,10)到直線L的距離知識點：向量積思路：在A,B,C為頂點組成的三角形中，AB邊上的高即為所求距離解：設(shè)所求的距離值為|AB=3,又根據(jù)向量積的性質(zhì):c1SAABC= 1ABM AC_ _ ijk_ _ABx AC = 2-2-1=-10i-26 j +32k=AB"C=30'212 47=SAbc =1 AB MAC =°M3h= h=102 22 9.試證向量a b| - b|a表示向量a與b夾角的平分角線向量的方向思路：按題意，只要證該向量在 a方向上的投影和它在 b方向上的投影相同解：設(shè)c =a|b| + ba同+

19、Ib_ a c，Prjac= aba a ab a ba b aa |( |a| + b) |a |(|a| + |b|) |a|+,b |a|+lbbb ab c 而 Pr jb c = jb bb( a b)abbb (I al+H)ba 上 bala|十|b| 所b=Pr jac,b =也2 +b22 +b32b-7-7-7)- Ga、a lbb在同一平面上,ab ba；=ka (1-k) b ,(k =a b c表示向量a與b夾角的平分角線向量的方向10.設(shè) m = 2a + b , n = ka + b ,其中 a =1, b = 2,且a_Lb。知識點：向量的數(shù)量積、向量積及其性質(zhì)

20、(1) k為何值時，m_Ln?解：m_Lnu m n = 0,由 mn = 0=(2a+b ).(ka+b) = 2k+(2+k)a.b + 4=0a _L b , a b = 0 = k = 2(2) k為何值時， m與n為鄰邊的平行四邊形面積為 6。解：m與n為鄰邊的平行四邊形面積 S= mn =(2a + b )M(ka+b) = (2 k) aba_Lb,aMb = a1b = 2= S = 22-k=6= k = -1 或 k=511.設(shè)a, b,c均為非零向量，其中任意兩個向量不共線，但 a + b與c共線，c + b與a共線，試證a + b +c =0。證明：: a +b與c共線

21、，c +b與a共線，：可設(shè)K1（a +b） = c, c + b =九2a，（八豐。，九2豐0）代入可推得 二（九2 %）a =（1+ %）b,又.其中任意兩個向量不共線， 則由a, b不共線且為非 零向量，可得：21=11=0=2=1= 1= a b c =012.試證向量 a = i +3j +2k , b = 2i 3j -4k , c = 3i +12 j +6k 在同一平面上，并沿a和b分解c。知識點：向量的混合積及其幾何意義解：根據(jù)向量混合積的幾何意義：a, b c共面u （a父b） c = 0 ,-1又(a b) c =-3-4=_30_3m0 + 2m15 = 0, . . a

22、, b, c 共面-312設(shè)c =九 1a +%b,將 a,b, c代入=27、2 一九1 = -3, 3(儲-Z2) =12, 2“1 -4?2 =6= 1 1 = 5, 1 2 = 1 =, c = 5a ' b 13.設(shè)點 A, B, C 的向徑分別為 r1 = 2i +4j +k , r2 = 3i + 7j +5k , r3 = 4i +10j + 9k ,試證：A, B,C三點在一直線上。思路：只要證：向量aB和aC平行證明：= 3,7,5 2,4,1 =1,3,4；AC=0c_0A'=4,10,9 一2,4,1 =2,6,8AC =2AB= AB/aC14.已知

23、a =a1，a2,a3, b =h,b2,b3 , c =g,c2,c3,試利用行列式的性質(zhì)證明:(a b) c = (b c) a = (c a) b證明:（a父b）a1b1a2b2a3b3b1b2b3而行列式(a b)(a b)b1C1a1b2C2a2C1C2C3b3C3a3(b c) aa1a2a3b1b2b3C1C2C3交換兩次兩行得到,是行列式=（b父c） a。同理可證:二(b c) a =(c a) bC1C2a2C3，a3(bM c) a = (c 父 a) b,15.試用向量證明不等式：a a12+a22+a32'y'b12+b22+b32之 a1b1+a2b2

24、+ a3b3。思路：aa12 +a22 +a32可看作向量a =a1,a2,a3的模;222_b1b 2b 3 是向量b = b, b2, bs的模，而&打+ a2b2 + a3b3是a b的值。2 .221 a2 a3證明：設(shè)a =a1，a2,a3 ， b =b1，b2,b3，則 a = 7aa b =|a|bcos(a b)=222- 2 一 2 一 2即：aia2a3, bib2b3-abia2b2a3b3內(nèi)容概要主要內(nèi)容(7-4, 7-5, 7-8)曲 面 及 其 方 程旋轉(zhuǎn)曲面xoy面上曲線f (x,y) =0繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程：f (x,±Jy2 + z2

25、=0yoz面上曲線f (y,z) =0繞z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程：f (士Jx2+y2 ,z) = 0xoz面上曲線f(x,z) = 0繞z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程：f (土Jx2+y2, z)= 0常見旋轉(zhuǎn)曲面22 22、(1) 園錐面：z =a (x +y ) (yoz面上曲線z=y繞z軸旋轉(zhuǎn)而成)22222(2) 旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面：x 1y 冬=1 (zox面上的曲線=1繞zaca c軸旋轉(zhuǎn)而成)柱面f (x, y) =0表示準線為：f (x. v) = 0' ,y，母線平行于z軸的柱面、z =0f (y, z) =0表示準線為：阡(y,z) = 0,母線平行于x軸的柱面x = 0f (

26、x, z) =0表示準線為：f (x,z) = 0 , ,4母線平行于y軸的柱面y = 0柱面方程特點：缺少某個變量常見柱面(1)拋物柱面：y2 =ax+b表示母線平行于z軸的拋物柱面22 xz , (2)橢圓柱面：x-+-z- =1表小母線平行于y軸的橢圓柱面a b22(3)雙曲柱面： 、2=1表示母線平行于x軸的雙曲柱面a b二次曲面橢球面、拋物面、雙曲面空L的一般方程L的參數(shù)方程間f曲F (x, y, z) = 0 <x=9(t), y=V(t),z=®(t)線lG(x,y,z) =0及 其 方 程L在坐標面上的投影m去L方程中的變量z得到的H (x, y) = 0即為L

27、在xoy面上的投影柱面，'H (x. v) = 0' '就是L在xoy面上的投影曲線(以此類推)z = 0習題7-4 1.求以點0(1, _2, 2)為球心，且通過坐標原點的球面方程。知識點：空間兩點的距離解：設(shè)球面上點的坐標為(x, y,z),則根據(jù)兩點距離公式：(x_1)2 + (y + 2)2 + (z 2)2 = R2,原點在球面上，:R = Jl2 +(_2)2 +22 =3,：球面方程:(x1)2+(y+ 2)2+(z 2)2 =9。 2. 一動點與兩定點(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距離，求該動點的軌跡方程。解：設(shè)動點的坐標為(x, y, Z),

28、則根據(jù)等距離的條件：_2_2222_2(x -2)2(y -3)2(z -1)2=(x -4)2(y -5)2(z-6)2:動點的軌跡方程為：4x 4y T0z-63=03.方程 x2 + y2 + z2 -2x+4y-4z-7= 0表示什么曲面？解：方程可化為：(x1)2 +(y +2)2 +(z 2)2 =16 ：該方程表達的是以(1,-2,2)為球心、半徑為4的球面。24.將xoz坐標面上的拋物線 z =5x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。知識點：旋轉(zhuǎn)曲面解：: xoz坐標面上的拋物線 z2 = 5x是繞x軸旋轉(zhuǎn):旋轉(zhuǎn)曲面方程為(二二jy2 z2)2 =5x=. y2 z2 =

29、5x225.將xoz坐標面上的拋物線 x +z = 9繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面萬程。解：: xoz坐標面上的拋物線 x2 + Z2 = 9是繞z軸旋轉(zhuǎn):旋轉(zhuǎn)曲面方程為(±,x2 +y2)2+z2 =9= x2+y2+z2=9。6.指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？(1) x=0；(2)y=x+1；(3)x2+y2=4；(4)x2 y2= 1答：(1) x=0在平面解析幾何中表示 y軸，在空間解析幾何中表示 yoz坐標面(2) y=x+1在平面解析幾何中表示一條直線，在空間解析幾何中表示平行于z軸，在xoy坐標面上投影為y = x +1的一個平面2

30、2(3) x +y =4在平面解析幾何中表小 xoy面上，原點為心、半徑為 2的圓線，在空間解析幾何中表示準線為xoy面上的圓線x1 2 + y2 = 4,母線平行于z軸的圓柱面。(4) x2 y2 =1在平面解析幾何中表示xoy面上的雙曲線，在空間解析幾何中表示準線為xoy面上的22,雙曲線x -y =1 ,母線平行于z軸的雙曲柱面。7.說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的：2222(1) x +y +z =1； x2-+z2=14994知識點：旋轉(zhuǎn)曲面(3)222/x y z =1。222222 2解：方程上+二+二=1可變化為3y，z)一49949:方程表達的是：xoy坐標面上的22曲線二十匕

31、=1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面49222注：方程x +y +z =1也可看作是：xoz坐標面上的曲線499x2z2/ 44一工 L+ z = 1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋49轉(zhuǎn)曲面8.指出下列各方程表示哪種曲面:916(3) x2 + y2 = 022(6) + =191622(2)x - y =0 ；2 y 一 4y + 3 = 0 ；2,(8)x =4y;/c、222(9)z -x - y = 0答：(1)方程表達開口向著z軸正向的圓拋物面(或旋轉(zhuǎn)拋物面)22(2) x -y =0= x = y或x =-y , .,.表達兩個垂直于 xoy面的平面： x = y； x = y2(7)準線為x

32、oy坐標面上的雙曲線x22匕二19母線平行于z軸的雙曲柱面2(8)準線為xoy坐標面上的拋物線 x =4y ,母線平行于z軸的拋物柱面(9) yoz坐標面上的直線 y = Z繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐面習題7-51.畫出下列曲線在第一象限內(nèi)的圖形：(1)x = 2=J = 4產(chǎn)K9-x2y2 x y = 0解(1)(2)(3) z - y =02.方程組y=5x+2,一、,一一八 y在平面幾何與空間解析幾何中各表不什么?y =2x-5 y=5x+2,、»、，、 一、答：方程組在平面幾何中表示兩條直線的交點，在空間解析幾何中表示垂直于xoy坐標面y =2x-5的兩平面的交線。3.方程組二

33、1在平面幾何與空間解析幾何中各表示什么?22x y _1答：方程組4 49 一1在平面幾何中表示一個點(x = 22,0),在空間解析幾何中表示橢圓柱面22=1和平面x = 2的交線:49j=0224.求曲面x +9y = 10Z與yoz平面的交線。x2+9y2=10z, 9y2 = 10z解：yoz平面方程為x=0,：交線為 y n4丫x = 0、 x = 05.分別求母線平行于x軸及y軸而且通過曲線*2x22xy2 z2 =16 、y的柱面方程。22知識點：曲線在坐標面上的投影柱面及投影曲線解：要求過曲線- 22x2x2 y z22 z2一 y=16, ,、且母線平行于x軸的柱面方程，只要

34、方程組消去變量=0;所求柱面方程為3y2 -z2 =16要求過曲線- 22x222y z22z -y=16，/ 工- 、/一、口且母線平行于y軸的柱面方程，只要方程組消去變量二0;所求柱面方程為3x2 2z2 =16一皿八x+z=1一 一, “5”、嚕6.求曲線3在xoy面上的投影方程。2 ,2,2 cx + y + z =9知識點：曲線在坐標面上的投影柱面及投影曲線“x + z = 1-, z 工解：要求曲線J 999 在xoy面上的投影方程，只需方程組消去變量x2 +y2 +z2 =9. .所求柱面方程為：x2 y2 (1 -x)2 =9= 2x2 y2 _2x =87.求曲線在xoz面上

35、的投影方程。y z +1 = 0122c cc -x +z +3yz 2x+3z 3 = 0解：要求曲線y -z+1 =022_x +z +3yz 2x+3z-3 =0在xoz面上的投影方程，只需方程組消去變量;所求投影方程為22x2 4z2 -2x-3-0化為參數(shù)方程。8.將曲線 思路：若將y = x代入x2 +y2 +z2 =9,可得2x2 +z2 = 9 ,因此可通過橢圓方程的參數(shù)式求出曲解：將y = x代入x2 + y2 + z2線的參數(shù)式。=9,可得2x2 +z2 = 9 ,該方程可用參數(shù)式表達為:x = 3,2cos3 2-x =cos-2z =3sin 122y2z2=9的參數(shù)式

36、為 y =23 2-cos-2222 (z 1)2 = 4 , () 化為參數(shù)方程。(x -1)2 + y9.將曲線的一般方程J') y解：將 z =0代入(x1)2 +y2 +(z+1)2 =4 ,二可得：(x1)2 + y2 =3,;曲線J222(x-1)2y2(z 1)2 =4z = 0的參數(shù)方程為:x = 1 + >/3 cos 日y =，3sin8z = 0該圓方程的參數(shù)式為:10.指出下列各方程組表示什么曲線:(1)(4)答:(2)(3)(4)x 2 =0y -3=022x -4y = 4zy = -2(1)兩平面的交線,表示球面x2 - y222x2 y2 =16z

37、=2表示單葉雙曲面(5) J該直線平行于22y2 z2 二 20z-2 =0-4y2 -8zz = 82+ z =20與平行于xoy面的平面J_x2 9z2 =40y =1表示雙曲拋物面(即馬鞍面)_Lx2 -16 = 4z物線：x 16 4z.y 一 一2(5)表小雙曲拋物面(即馬鞍面)- 4y2 = 64z =8求旋轉(zhuǎn)拋物面z = x2(3)22-2x2 -4y2 9z2 =36y = 1z = 2的交線，為一在z = 2平面上的圓線:一 2+ 9z =36和y = 1平面的交線，為一在y = 1平面上的橢圓線:2, 2x -4y =4z與y =-2平面的交線，為一在 y = 2平面上的拋

38、22x2 4y2 =8z與z =8平面的交線，為一在 z = 8平面上的雙曲線:2 ,y (0 M z M 4)在三坐標面上的投影。知識點：曲面的投影和空間區(qū)域的投影解：見圖7-5-11 ,22(1)由于旋轉(zhuǎn)拋物面z=x +y(0MzM4)投影到xoy面上時，它的邊界線是2 22:在xoy面上的投影為:x +y <4z=0(2)由于旋轉(zhuǎn)拋物面z =x2 + y2(0 Wz <4)投影到y(tǒng)oz面上時，它的邊界線是:222,._2 2z=x + y , (0 < z < 4). 用y < z < 4'''：在yoz面上的投影為：了x =

39、0x = 0J2 2，2 2x < z < 4(3)同理，旋轉(zhuǎn)拋物面z = x? + y (0 < z < 4)在xoz面上的投影為：<,y = 0 12 .假定直線 L在yoz平面上的投影方程為12y3z = 143 y，而在zox平面上的投影方程為x = 0x + z = 2,求直線L在xoy面上的投影方程。.y=0“.2y3z = 1,八 八 解：.直線L在yoz平面上的投影方程為 )，：直線L 一定在投影柱面2 y 3z = 1上,x = 0., c,2y-3z=1,同理，直線L也一定在投影柱面 x + z=2上，.直線L方程為3 )，消去z得到直線L在x

40、 + z = 2xoy面上的投影方程:3x+2y = 7-z = 0內(nèi)容概要主要內(nèi)容(7-6 , 7-7)空 間 平 面 及 其 方 程平面的點法式方程過M0(x°,y0,z0),法矢為n =A, B,C的平面方程：A(x -x。)+B(y - y0) +C(z-4)=0平面的一般方程Ax + By + Cz + D =0平面的截距式方程xyz,1abc點 M 0(x0, y0, z0)到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的距離：d = ,Ax0 + By0 + Cz0 + DJA2 +B2 +C2兩平面的夾角9 : cosQ =(口1 : Ax + BiA1A2 +B

41、1B2 +C1C2JA2 +B； +C；y +C1z + D1 =0, 口2： A2x+ B2y+ C2z + D2 = 0)空 間 直 線 及 其 方 程對稱式方程過 M0(x°，ix x° _ yy0,z0),方向矢為s =m, n, p的直線方程：/ y° _ z-z0np對稱式方程和一般方程的 關(guān)系：i j k s= A B1 C1 a2 b2 c2m一般方程'Aix +By +Cz + Di =0A2x +B2y +C2z + D2 =0參數(shù)方程x = mt +x0 , y = nt + y0 , z = pt + 4兩直線的夾角6 : cosQ

42、 =(Li的方向夕Si 12m +»電 + p1 p?也向)Isl|s2|三 Si =Jm2 + n2 + p12 J m2 + n2 + p2m1,n1，P1 , L2 的方向矢 S2 = m2 ,直線和平面的夾角6 : sin H -(直線L： xZ迎=匚近 mn平面 口 ： Ax + By +Cz +Dn smA + nB + pCnsz二0：m2 + n2 + p2 M A2 + B2+C2-Zc 一.,L的萬向矢為s =m,n,p； p,n的法矢為n = A,B,C平面束方程(L 為一般方程式)： A1x + By+C1z + D1 +入(A2x + B2y+ C2z+D2

43、) =0 1.求通過點(2,4, _3)且與平面2x +3y _5z = 5平行的平面方程。知識點：平面及其方程思路：已知平面上的一點和平面的法矢，可求出平面方程解：:所求平面 n與已知平面2x+3y _ 5z = 5平行，：口的法矢%=2,3,-5,由平面的點法式方程可得 n： 2(x 2)+3(y 4)5(z + 3) =0= 2x+3y_5z = 31 2.求過點M0(2,9, 6)且與連接坐標原點及點 M 0的線段OM 0垂直的平面方程。知識點：平面及其方程解：所求平面n與0Mo垂直，. n的法矢n=OM?=2,9, 6,又口過點M0(2,9, 6),口 ： 2(x-2)+9(y-9)

44、-6(z+6) =0= 2x+9y_6z=121 3.求過點 M1(1,1,2), M2(3,2,3),M3(2,0,3)三點的平面方程。思路：根據(jù)條件，平面過已知點，若能求出平面的法矢就可得平面方程。解：.所求平面n過三點M 1(11,2), M2(3,2,3) ,M 3(2,0,3) , .平面口的法矢應滿足：n _L M1M2 , n _LM1M3 , M1M2 =2,1,1 , M1M 3 =1,-1,1;ijk.可選擇 n =M1M；x M1M 3 = 211=2 i - j -3 k,1-1 1n : 2(x -1) -(y-1) -3(z-2) = 0= 2x y3z + 5=0

45、注：三點M 1 (1,1,2), M 2 (3,2,3), M 3 (2,0,3)組成的任意兩個向量的向量積都可作為平面n的法矢n4.平面過原點 O ,且垂直于平面 口1:x+2y + 3z 2 = 0,n2： 6x - y+ 5z+2 = 0求此平面方程。思路：根據(jù)條件，已知平面過原點，若能求出平面的法矢就可得平面方程。j k23 =13i +13 j -13k-1 5解：設(shè)所求平面口和已知平面口1、n 2的法矢分別為n、n1、n2 , 1 - *n 1111, n 1 n2, . n -L n1 , n L n2 n n = n1 乂 n2 = 16可選擇 n 的法矢 n =1,1,1 ,

46、 n ： x + yz=05.指出下列各平面的特殊位置:(1) x =1 ; 3y2 = 0；(3)2x3y 6=0；(4)x-“；3y = 0； y+z =2 ;(6) x2z = 0; 6x+5y_z = 0。答：(1)該平面平行于 yoz面；(2)該平面平行于 xoz面；(3)該平面平行于 z軸；(4)該平面平行于z軸且過原點，即過z軸；(5)該平面平行于x軸；(6)該平面平行于y軸且過原點, 即過y軸(7)該平面過原點6.求平面2x 2y + z + 5 =0和各坐標軸的夾角余弦知識點：平面及向量的方向余弦解：.平面2x 2y+z+5 =0的法矢n =2,2,1,：和x、y、z軸的夾角

47、余弦分別為：cos 二=2 , cos := -321一,cos 7.已知A( ,5,-11 ,3), B(7,10, -6)和C(1,4 -2)，求平行于AABC所在的平面且與它的距離等于2的平面方程。思路：可先借鑒本單元的習題3,求出過 A, B, C的平面的法矢，也是所求平面的法矢解：設(shè)所求平面 n的法矢為n ,1 一 一n = ( AB) AC3k-3 = -11i +2j -10k:設(shè)n的平面一般方程為：11x2y+10z + D =0,有條件AABC所在的平面與的距離等于2二點C到平面的距離d =11 -2 (-3) 10 (-2) D112 22 102D - -27 or 33

48、.的方程為：11x 2y+10z+33 =0 或 11x 2y+10z 27 = 08.確定k的值，使平面x + ky -2z =9適合下列條件之一:(1)經(jīng)過點(5,T,6) ；(2)與 2x+4y+3z = 3 垂直；(3)與 3x 7y6z1 =0 平行;ji(4)與2x 3y +z=0成一角；(5)與原點的距離等于3;(6)在y軸上的截距為一3。4解：(1)平面x+ky2z = 9經(jīng)過點(5,-4, 一6) , 點代入平面方程可得：k=2(2)平面x +ky2z=9與平面2x+4y +3z = 3垂直，：兩平面的法矢 n1 ,n2垂直，n1n2 = 2 4k -6 = 0= k = 1

49、(3)平面x +ky 2z =9與平面3x -7y 6z 1 = 0平行，兩平面的法矢 n1 ,n2平行一 76ni / n2=，3=-: k = -k 2n1 , n2夾角為一4(4)平面x +ky _2z =9與平面2x_3y+z=0成二角，兩平面的法矢4，、,2cos(n1, n2)=-22-3k-222.=二5k2 ,1427029(5)平面x+ky_2z =9與原點的距離等于 3, ：=3.k=±2X 一 9,5 k2一(6)平面x + ky _2z = 9在y軸上的截距為3 ,根據(jù)平面的截距式方程:= 9/k - -3 = k - -39.求點(1,2,1)到平面x +2

50、y +2z_10 =0的距離。1 +22+2-10解：根據(jù)點到平面的距離公式：d = J, = 1.1 222210.求平行于平面x + y+z =100且與球面x2 + y2 + z2 = 4相切的平面方程。思路：所求平面 n 平面x+y + z = 100,所以可知n的法矢，由n與球面相切的條件又可知球心 到平面的距離。解：.所求平面 n平面x + y + z = 100, ： n的法矢n =1,1,1,設(shè)n的方程為：x+y+z + D= 0, 二口與球面相切，：球心到平面的距離為球半徑10,Ded = ：= =2= D = ±2.3= n ： x + y + z±2V3 = 0311.求平面x 2y+2z+21 =0與7x