第一章函數(shù)與極限(張富)

1、(B)x -2x 1(C)2x1x - 1(D)、選擇題y =7=1 .函數(shù) x(A) x(B) x -1(C) 1 -x(D) xx -32x -3* 2的間斷點(diǎn)是(A )(A) x=1,x=2(C) x=1,x=2,x=3 -1的反函數(shù)是y= ( A )x 2x-1(A) 2(C) 4(B) 1(D)不存在2 .下列各對(duì)函數(shù)中為同一函數(shù)的是( B )3.函數(shù)(A)lnx2與21nx2xsin-(B)(D)x = 0在點(diǎn)x=0處(D(A)無定義(C)可導(dǎo)f (x )=4.設(shè)2 2x1,121nx 與 1e、xx與 arcsin x)(B)不連續(xù)(D)連續(xù)但不可導(dǎo)1的是(B) 1(D)不存在(

2、A) 2(C) 45.下列極限等于lim(A) x0sin x(B)sin x lim x3 x(C).1.lim xsin limT x (D) Tsin x6.設(shè)函數(shù)"x -1 ,則當(dāng)xwl且xW0時(shí),f x 二7.函數(shù)/ i-fi = 4x 71 +x2(x =0 ,則f (x )=8.設(shè) xxJ4 _ x2 1(B)(A) x x(C) 4x _ V1 + x(D)4x9.設(shè) Hxjc-x)“k(C)11.設(shè) f (x )=mx n,x _0(A) m=1,n=1(C) m=0,n=1若lim f(x好在，則必有(D )x )0(B) m=2,n=1(D) m為任意實(shí)數(shù)，n=

3、1x * 0在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則k= ( C )x = 0(B) e(D) -110.函數(shù)y = x + J16-x2的定義域?yàn)?B ) ln x(A) (0, 1)(B) (0, 1) U (1,4(C) (0, 4)(D) (0, 1) U ( 1 , 4)x - 213.設(shè) f (x )=/2x a(A) 1(B) -1 (Q 0(D) -212.設(shè)f(x)=ln(9-x2),則f(x)的連續(xù)區(qū)間是( D )A. (-8,-3)B, (3, +8)C. -3, 3D. (-3, 3)x 二 0 ,在x=0連續(xù)，則2為(D )x -0(D) 0C )3lim 1 ax x = e314 .

4、 x-=0，則 2為(C )(A) 2(B)無窮大(C) 1y2, x#2一一15 .設(shè) f(x)=。則 lim f (x )=1, x = 2 t2_. 2 1x sin 一16.當(dāng)XT 0時(shí)，x是X的（B ）（A）較低階的無窮?。˙）較高階的無窮?。–）等價(jià)無窮?。―）同階但非等價(jià)無窮小到此！ ！ ！ ！1_x17.+2的間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（1 一 x18.(A) 0(C) 21lim (1 -en )sin n=n_j：A. 0C.不存在B.D.19.函數(shù)在某點(diǎn)極限存在是函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)的（ooA（A）必要條件（B）充分條件（C）充要條件20.當(dāng)xt如時(shí)，y = axbx2 x2 1(B) 1

5、(D) 3(D)）以上都不對(duì)-2為無窮小量，則（(B) a=0,b=1(D) a=1,b=0(A) a=0,b=0(C) a=0,b=221.函數(shù)y =ex -1的反函數(shù)是（y = ln x 1B.y = ln( x 1)C.y = In x -1D.y = ln( x -1)22.數(shù)列極限lim n Un n -1 - ln nn j二二23.24.25.(B). 一1 ；（D ）.不存在但非00當(dāng)xt 0時(shí)，下列變量中，無窮大量是(C ).A. 2xB. 2TC. cot xD. tanx函數(shù)C.y = ex -1的反函數(shù)是（y = ln x 1B.D.當(dāng)xt 0時(shí)，下列變量中，無窮大量是

6、y = ln( x 1)y = ln(x -1)(C ).30.下列函數(shù)中，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是(xxA. 2B. 2-26 .函數(shù)f(x)= 11g上x的定義域是( x 1 xA. T<x<1C. T<x<027 .設(shè)函數(shù) f(x)=3x,則聯(lián)x)二 ( CxA.93xC.3328 .極限 lim arctgx= ( A )xT,， xA.0C.+oo29 .當(dāng)x-0時(shí)，下列表達(dá)式不正確的是(A. ex -1 x_2C.1n(1+x)xC. cot xd. tanxD )B.0<x<1D.0<|x|<1)2xB.6D. 33xB.1D.不

7、存在C )B.sinxx 1D. . 1 x 1 x2D )A. y=sin |x|C. y=-x3sin x31. “對(duì)任意給定的&W (0,1),總存在整數(shù)N,B. y=3sin 2x+1D. y=x2sin x當(dāng)n AN時(shí)，恒有xn -a £2腔是數(shù)列xn必要條件但非充分條件既非充分也非必要條件收斂于a的 C .A.充分條件但非必要條件B.C.充分必要條件D.一2 -x,32.僅 g(x)=jx 2,x<0x3 f(6-X,x -02 x , x ： 0A.2 -x, x-0B.2-x2,2 x,x ： 0 -C.x-022 - X，X：0 D.2-x, x-02

8、x2,2 x,x : 033.卜列各式中正確的是A.limx0B.C.x/lim 11x 0xj二e1 lim 11 - xT°l x)D.i , 1lim . 1 + 一 x)-x-1=e1 x斛：A中l(wèi)im .1- I =e,式子沒有息義lim 1x- 0xx1=e不是重二極限，是：0xlim 1 1x >0 xxlin0ln1lim xln 1 1_ex >0 xeln 1 ttlmT 0_1 e e ilim UxXT 笛 Ix J=lim 1 + x* i x Jrx-x二e1ed 1lim 11 一x一，二(-1)= e-134.設(shè)xt0時(shí)，etanx_1與x

9、n是等價(jià)無窮小，則正整數(shù)n= A .A. 1B. 2C. 3D. 4解：（利用等價(jià)無窮?。﹍imx > 0etanx 1=limtanx=lim = 1 = n = 1 x > 0xn35.曲線y =1 e,1 -e*A.沒有漸近線B.僅有水平漸近線C.僅有鉛直漸近線D.既有水平漸近線又有鉛直漸近線36.卜列函數(shù)在給定區(qū)間上無界的是A.C.1- sin x, x1-1 一 sin 一,x (0,1B.37.A.38.A.C.x (0,1D.1.，八、-sin x, x (0,二) x.1-、xsin - , x (0，二) xlim exxF不存在B.C. 0D. 1卜列說法正確的

10、是（有界數(shù)列必有極限C )。B.無界函數(shù)必是無窮大函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)必是有定義的點(diǎn)D.函數(shù)的極限存在的點(diǎn)必是有定義的點(diǎn)39.下列極限中，極限值為 1的是（Dsin x A. lim40.1x卜列函數(shù)中,cot xB. lim x0 x不是奇函數(shù)的是(C.A.3x -1y =3x 1B.C.y =lg(xx2-1)D.1 - cosx lim x >0xD.y = xarccos x2 11 lim xsinx 二 xy = x x 1 - x - x 1x -11=0 是 f(x)的(A1 -ex -41.已知函數(shù)f(x) =f ,則點(diǎn)x1 exA.跳躍間斷點(diǎn)B. 可去間斷點(diǎn)C. 無窮間斷點(diǎn)D

11、. 連續(xù)點(diǎn)42.函數(shù)f (x)是奇函數(shù)，則y =(A)奇函數(shù) (B)偶函數(shù)2(C)非奇非偶函數(shù)(D)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)o c1 I ， 一43.當(dāng) xt0 時(shí)，x sin 正乂的(B )。x(A)低階無窮小(C)等價(jià)無窮小(B)高階無窮小(D)同階但非等價(jià)無窮小44.下列函數(shù)在 x=0處均不連續(xù)，其中點(diǎn)x=0是f (x)的可去間斷點(diǎn)的是(A )。(A) f (x) =sin x sin 一 x1(C) f(x)=ex,1(B) f(x)=1+ x 1(D) f(x) = |ex, x<0ex,x-0、填空題1 111xim：H2T )1 -2 .3 93nf x = J ；2x 13

12、.函數(shù)x -x 的間斷點(diǎn)為 x=0,x=14.xim：；5.1 x lim 1 一二： x6.limx_.-'sin x 17.8.9.10.11.2lim -1x1 ln x =2limx-1x -1x -1tan x2x函數(shù)f (x )=12.函數(shù)13.時(shí)，函數(shù)不存在2x3-x-1f(x 曰 0f (x)= «x : 0x-0在x = 0連續(xù)。的連續(xù)區(qū)間是 0,2 1x 1x =1x 1 .1的連續(xù)區(qū)間為-二，-1-1,11,二14.已知 2 f 收計(jì) f(1-x) = x2 ,則 f(x)=1x2 2331x -32ft f 1 -t =t2,1 22上式乘2相減，解出

13、f(x)=1x22f 1 -t ft = 1 -t315.若函數(shù) y=ex和y=lnx的圖形關(guān)于 直線 y=x 對(duì)稱.16.ln(1 ex)17.極限limx-1x3 -3x2 2x 二sin x18.設(shè)函數(shù) f (x) = « x3.一2x 0-,則f(x)的間斷點(diǎn)是x = 0。0x<019.sin x-tan xlim 7x 0 ln 1 2x3解：注意等價(jià)無窮小的代換，和三角函數(shù)的變形limx_0sin x -tanxz-二 limIn 1 2x3x，0tanx(cosx -1)2x31 2、x(-x ) 二 lim23-x w 2x320.limx 13 二x r：；1

14、 x2Tx x-2解：一般有根式，要進(jìn)行有理化lim V=lim 3-x-(1 x) x 1 xx-2x 1 (x -1)(x 2)(、. 3-x . 1 x)=lim2(1 二x)(x-1)(x 2)(.= .Vx)=limX 1-2(x 2)( <3x .Vx)21.已知limx j12x2 ax b=3 ,其中為a,b常數(shù)，則a =解：由于lim (x+1) =0，而極限為3,就意味著分子的極限只能為零 x >1lim (2x2 +ax + b) =0,即有2-a+b=0(1x >1limx >12x2+ax+b羅必?法則x 14x alim = 3,即有 - 4

15、 a = 3x -11(2)sin2x e2ax -1x2cos2x 2ae2ax1=2 2a = f (0) = a所以解出a =7,b = 5sin 2x e2ax 122 .若f(x)= x , X00在(巴"止連續(xù)，則a=a,x = 0lim f(x)= f(%) x >x0解：此題主要考慮函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性，連續(xù)的定義a - -2，八x -123 .曲線f (x) = ,x 1一 的水平漸近線是，鉛直漸近線是x2 -4x 3解：定義：lim f (x) = a,則y = a為水平漸進(jìn)線(x 二;)(x-二)lim f (x) = g，則x = x0為鉛直漸進(jìn)線x

16、P0(xx0 ') 一(x_xo)lim f(x) = k, lim ( f (x) -kx) = b, y = kx b為斜漸進(jìn)線 x ； Yx_.(x-： .') x(x 二)(x- ： )(x )-：)鉛直漸進(jìn)線一般從分母為零的點(diǎn)出發(fā)，此題中分母為零的點(diǎn)為x = 1,x = 3x -1x -111lim 二 lim 二 lim =-x 1 x -4x 3 x 1 (x -3)(x -1) x >1 (x -3)2x 1x -11lim 二 lim 二 lim 二二x)3x2-4x 3 x 3 (x -3)(x -1) x >3 (x -3)1 _ 1x -1X

17、X2lim 二 lim xx 二 0x-' x2 -4x 3 x L 431x x所以有水平漸進(jìn)線y = 0,鉛直漸進(jìn)線x = 3124.曲線y = (2x 1 £x的斜漸近線方程為1初 2x-1 ex1；斛：lim = lim 12 - ex = 2x 二 xx一小 x11lim 2x -1 ex -2x =Jm2 x(ex -1) -1 lim2 x(ex -1) -11= lim(2 x -) -1=2-1 =1 x x所以有斜漸進(jìn)線y=2x-125.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是(0, 1),則f (14 x2)的定義域是(-2, -J3)U(J3,2)。26.已知k &g

18、t;0且當(dāng)xt 0時(shí)，arcsin(xk) ln(1+2x2)是x的5階無窮小，則k =工x - 0 .,，在(_qo,f 讓連續(xù)，則常數(shù) a = 1x = 00。sin x eax -127 .若 f(x)=j x 2a,28 . lim 3x 5 sin(7x3 9);5x2 329 . lim( J1+2+n_J+2+(n 1) = J2/2。 n_ ； ：-2 -x, x < 030.設(shè) g(x)=x 2, x 0，f(x) = <x,x :二 0x _ 022 x , x ： 0則 g . f (x )= i。-2 x, x_ 0 一2.2x ax b 八31.已知 li

19、m =3 ,J 1 x 1其中為a,b常數(shù)，則a = 74rsin 2x e2ax 1032 .若f(x)= x , xh0在(叫依 比連續(xù)，則 a=2 a,x = 033 .設(shè)xt0時(shí)，etan4x1與xn是等價(jià)無窮小，則正整數(shù)n=。三、解答題1.5 -x - J x 1x2-4(5-x - x 1) ,5-x 、x 1 lim2limx 2 (x -4) , 5 - x . x 1= x p-2 x-2(x2 -4) 5 - x , x 1lim-21=x 2 (x 2) 一 5 - x，.； x 1 = 4、32.lim 5出n : = 3n -4 81n8 115 -9= lim n3

20、n '1 3ni81=33.lim 24x- 5ex - cosx2limx工：5-sin xxecosx4.lim sin xln x = x F0lnx一 cscxcotx=limx 1" 0snx=0# xcosxsin x5.2x 1. x lim xt： x 12x 1lim x= lim 1 -x : x 1 x :.2x 1Tx 1)x+1>2二e6.limtan2xtan x1 2 lim 母 1原式=lim 1T -0:tanx_1 tanx 1c0t2x =乂 啟Ncsc22x 二 一x2x 1 lim 7. T2x1_x2x 1lim lim 12

21、x 2x22x1 "2x '二 2x -1 =* x <2x-11 cos 二 xlimX 11-、.x 1-3x=lim1 cos 二 x x 11 - x 1 -x 1 - cos二 x(1-cos2nx 乂1+或乂1 +取十次)= limx 121-x j |1-cosxsin2二 1 -x 1. x 1 3 x 3 x23二29.x sin x.e -elim x0 x - sin xx sin x e -e limJ0 x - sin二 x四隊(duì) xsin xx _sin xe e -1.=limx -sin x x0es1nx x-sinx二1x - sinx

22、10.:xe 一1x-0 sin ' x=2 2 + 1 = 5#11.xim：x2limx 二2 ,1x !1 -cos- x=xim：2x2sin22x.21s1n2x二 lim2xx1_224x12.,sin 2x、lim ( cosx)解：lim(-sin 2x、.(.x 1 1) sin 2xcos x) = limx(. x 1 -1)(、x 1 1)x 1 1)lim sin 2x +1x 0 xcos02、ln(1 x )13. lim 2- x- sin x2原式=lim r =1 x0x214. lim ：2*2x 2 4x 1 -3(x-2)(x 1)( . 4x

23、 13)4x 1 -9解：分母有理化/或羅必達(dá)法則x x 2 lim - limx)2 4x 1 -3 lim x e2xx = lim 1 (x e2xd)x e2xdx >0x >0 心21x sinx2x2-1=limX )2(x 1)( . 4x 13) 3 6 9或：limx242x -142,4x 1一215. lim x e2x x, 02x1(x e%") x解：復(fù)習(xí)重要極限二，注意重要極限的形式2x1lim(xe2x"x)lim-x >0x >0=ee116. lim 12n 3n nn_L :1 2(2xlim 一 二ex'

24、;01-3二e，因?yàn)?3<3'1+(2)n+(1)n n,331所以 “m_ 1 2n 3n n1<3 3n,二31而 lim3 n =1, n9個(gè)等價(jià)無窮小,2 1x: lim xx > := 2x2 -1112解：注意復(fù)習(xí)2 1 x sin lim xx二 '2x2 -118.設(shè)函數(shù) f 伊)=小>0且#1),求!imln-f (1 )f (2 廣 f (n )當(dāng) a=2時(shí)，f(x )可導(dǎo)，且 f'(0 )=2(1 分)n=nim一 1解:!im jln 口 f 1 f 2 fIn f(1) In f (2) . In f (n)=limn_

25、二1 2 . n19. limx > 01-n(n 1)ln a = limn ?二12 exsin xlx1In a 二一 In a211解：此題注意特殊性，lim ex =-,而lim ex =0x >0x > 0-limx >012 ex sin x+41 ex'12 +ex sin x lim , -7 +。+4 x1 +ex12 exsin xlim - lim x >04 x >0 x1 ex1=lim -o x； 034ex1=0 1=1lim -x >04 14ex (-)'xlimx >012 ex2 +ex4&

26、lt;1 +ex41 exsin x+= lim +xx-*0sin x2=-1 =1112 +ex x sin xlim 二+1 =1xt 04 x【1 +ex )1一cosx20. limx 0 1 - cos . x解：0型，可用羅必達(dá)法則，注意，(cosx)'= -sin x,( Jx)'=1= 02, xsin xlim jcOsx=lim 2、co=0x j0 1 - cos x x)0 sin、. x2 .x21.1 x J1 - x3 X-1 1解:(1 + x1 +x)(3/( x-1)2 -371+1)x -1 1 | 1 x J - x(3分)22.解:2

27、 做 x_1 j _§x1 +1)x 0/1 x . 1 - x= 3(1 分)-1) x e -1./1網(wǎng)(下-limex -1 x Qx2e 一 1 一 x2x2x e -1=limx )0x2e -1(2分)=嗎x22x ex -1334x2v313卜四47W(色)23.設(shè)函數(shù)f (x)(2xe +b,sin ax,f-0 3m.e2x . b -1 -b=2 1分x - 0,問a,b為何值時(shí)，f (x)在(-叱y 內(nèi)可導(dǎo)并求x 0f '(x) olimfx= lime2x b= 1b = f 0解： ff得b = "(3 分)limfx= limsinax=

28、0sin ax -0 f 0 jTim . 八 x 30x -02e x < 0f(x)=«。分)2cos2x x 0四、綜合題1.用極限的w-6定義證明極限：x -axx +Va xx +Va 4a所以 lim x x = a x_a2.設(shè) f (x )= < ba +arccosx取6 = Ja%則當(dāng)0 < xa <6時(shí)，有人一百|(zhì)<名x = -1處連x - -1x = -1，試確定a、b之值，使得函數(shù)f (x心點(diǎn)x > -1解：f(-1)=b,fi-oAjfGkjimqJx2 -1=0，f(1+0)= lim f(x)= lim (a+arc

29、cosx )= a +五， x d 0x 0所以，由 f(10)= f(-1 ),得 b=0;由 f (_1+0)=f(1),彳# a = T .因此，當(dāng)a = n, b=0時(shí)，函數(shù)f(x庵點(diǎn)x = 1處連續(xù).Jx T,x : 03.討論函數(shù)y =122 在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性tv1 -x ,x >0lim.P= 1 xx -1,x <0l i my不存在，所以 y = 在點(diǎn)x=0處不連續(xù)。T也-x2 ,x 之04確定下列極限中含有的參數(shù)(每小題 5分，共10分)ax2 - 2x blim 2二-2x '1 x2 x - 2解：lim (x2 +x-2) =0,又因?yàn)楹瘮?shù)極限

30、為-2,所以分子的極限必定為零 x >1lim (ax2 2x+b) =0,即：a-2+b=0;(1)x >1ax2 .2x+b羅必達(dá)法則2ax -2 2a -2lim x-； 1 2x 1=-2,(2) 3由(1)、(2)解出，a = q,b =42). lim (x +Vax2 +bx -2 )=1x一* 二二解：此題有根式，考慮分子有理化lim lx - ax2x)一 二+bx2 = limx2 (ax2 bx 2)分子分母同除以x,注意xi:=limx；一七x -、ax2 bx -22(1 -a)x -b 一 x(1 - a)x2 - bx 2lim .xx - ax2 b

31、x -21+ Ja+b1-2 .二1 1又因?yàn)?lim (1 , a b -2 1) =1 、ax，-二 二 xx2-b 所以有 1-a =0,1=-a=1,b = -21 .a5、討論函數(shù)f (x)=ax-bxxL 0,x : 0(a >0,b >0,a = 1,b# 1)在x = 0處的連續(xù)性，右x = 0不連續(xù)，指出該間斷點(diǎn)的類型 .(本題6分)解：分段函數(shù)主要考慮分界點(diǎn)處的連續(xù)性，復(fù)習(xí)連續(xù)性，間斷點(diǎn)的定義注意(ax)'=axlnax hx羅必達(dá)法則x.hx , ,a -b, a ln a - b ln b , alim 二 lim 二 ln ,x 0 xx 01b而

32、f(0) =0,討論(1肖a =b,則f (x)在x =0處連續(xù) (2)當(dāng)a #b,則f(x)在x =0處不連續(xù)，為可去間斷點(diǎn)6、設(shè)f(x)=l四壹xin t sin x，求f (x)的間斷點(diǎn)并判定類型.(本題7分)解：x =0, x =k：(k =0)sin tx 一lim =1, lim 二：t x sin x t x sin t -sin xxsin t 'sin t-sin x lim tT x (sin x ,為產(chǎn)型xsin t sint -sinxf (x) limlim 11t >x sin xt >xxsin t sin t -sin x-1sin xsin

33、 xsin t -sin x sin t一sin x sin xsin xx二 esin xxlim esin x =e, f (x)有一個(gè)可去間斷點(diǎn) x0x = 0.xlim esin x不存在，f(x)有無窮間斷點(diǎn) x k 二x 二 k 二.7、設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，且f(0)=f(1).證明：一定存在一點(diǎn)1f)=f 11 +1 .(本題6分)I 2)1證明：構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(x+)21 -一 _1g(x)在0, 連續(xù)，又 g(0)=f(0)-f(-)2 211.g(尸f()-f(1),又 f(0)=f(1), 所以221 1g(0)g( -) <0,由零點(diǎn)定理，隹

34、目0,使得2 21g(-尸 0,即 f(-尸f( - + )2設(shè) X=4, xn+ = J2xn +3 , (n =1,2，),求證 lim xn 存在并求之。n )二二證明：先用歸納法證明xn的單調(diào)性：Xi =4, Xz =JG <Xi ,設(shè)(本題6分)Xn < Xn” ( 1 分)則 Xn, = J2xn +3 < J2xn J3 =xn ,(2分)即：VnWZ:X。遞減。又易知Xn >0,(3分)所以，lim Xn存在，設(shè)lim Xn =anF：n 二(4分)(6分)于是：a = 2a + 3 ,解得：a = 3, a = 1(舍去),5 5 分)即 lim xn = 3。 n :8、設(shè)f (x)在x=0處連續(xù)，若l呼12=e ,求 limx P早。(本題6分) x解：由題知:2e = lim e x_0lnq)xsinx=ex 0ln(1 馬 limxsinx(1分)從而limx )0f(x)、ln(1 )xsin x(3分)于是有嗎ln(1f(x)x=0 ,即有!im0f(x)(4分)由等價(jià)無窮小代換知:limx >0f (x)、 ln(1 ) x sin xf