第一章集合與函數(shù)的概念

1、第一章集合與函數(shù)的概念1.1.1集合的含義與表示1、集合的概念(1)集合：某些指定的對象組成的整體 叫做集合(簡稱集)。(2)元素：集合中每個對象叫做這個集 合的元素。例題：1)、設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù)，那么回何a b可能取的值組成集合的元素是 -2,0,2 2、常用數(shù)集及記法(1)非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)：全體非負(fù) 整數(shù)的集合記作N , N 0,1,2,(2)正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的 集.記作N*或N +*N 1,2,3,(3)整數(shù)集：全體整數(shù)的集合.記作ZZ 0, 1, 2,(4)有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合.記作Q ,Q 整數(shù)與分?jǐn)?shù)(5)實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合.記作RR 數(shù)軸上所有點(diǎn)所對應(yīng)

2、的數(shù)插入概念記憶復(fù)習(xí)3、元素對于集合的隸屬關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就 說a屬于A ,記作a A(2)不屬于：如果a不是集合A的元素， 就說a不屬于A ,記作a A4、集合中元素的特性(1)確定性：按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可.(2)互異性：集合中的元素沒有重復(fù).(3)無序性：集合中的元素沒有一定的順序(通常用正常的順序?qū)懗?5、集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q元素通常用小寫的拉丁字母表示，如 a、b、c、p、q“W”的開口方向，不能把 aWA 顛倒過來寫.例如：下列各組對象能確定一個集合嗎？(1)好心的人.(不確定)(2

3、) 1, 2, 2, 3, 4, 5.(有重復(fù))(二)集合的表示方法1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來， 寫在大括號內(nèi)表示集合.例如，1)由方程X2 1 0的所有解組成的集合，可以表示為-1,1注：(1)有些集合亦可如下表示：從51到100的所有整數(shù)組成的集合：51, 52, 53,，100所有正奇數(shù)組成的集合：1,3,5,7,(2) a與a不同：a表示一個元素，a 表示一個集合，該集合只有一個元素.2、描述法：用確定的條件表示某些對象是 否屬于這個集合，并把這個條件寫在大括號內(nèi)表示集合的方法.格式:x G A| P (x) 含義：在集合A中滿足條件P (x)的x的 集合.例如，不等式x

4、3 2的解集可以表示為： xWR| x>5所有直角三角形的集合可以表示為：x|x是直角三角形注：(1)在不致混淆的情況下，可以xGR或 者xGZ可以省略，只寫其元素 x或者Z;如上式可表達(dá)為 x | x>53、何時用列舉法？何時用描述法？有些集合的公共屬性不明顯，難以概 括，不便用描述法表示，只能用列舉法 .如：集合 x2,3x 2,5y3 x,x2 y2有些集合的元素不能無遺漏地一一列舉出來，或者不便于、不需要一一列舉出 來，常用描述法.如：集合(x,y)|y x2 1；集合1000以內(nèi) 的質(zhì)數(shù)例題：集合(x,y)|y x2 1與集合y|y x2 1是同一 個集合嗎？答：不是.因

5、為集合(x,y)|y x2 1是拋物線 y x2 1上所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合，集合 y|y x2 =y|y 1是函數(shù)y x2 1的所有函 數(shù)值構(gòu)成的數(shù)集。(三)有限集與無限集1、有限集：含有有限個元素的集合2、無限集：含有無限個元素的集合3、空集：不含任何元素的集合.記作，如:x R|x2 1 0例題：1、重難點(diǎn)手冊P6）易錯誤區(qū)：例13、例14、例2、15重難點(diǎn)手冊P8高考真題分類：例33、關(guān)于x的方程ax+b=0,當(dāng)a,b滿足條件 時，解集是有限集；當(dāng) a,b滿足條件 時，解集是無限集。由 ax+b=0 得 ax=-b ;當(dāng)aO時方程的解為x=-b/a ,解集為桂 限集;當(dāng)a=0,bwo時方程

6、無解，即解集為空集；當(dāng)a=0且b=0時方程的解集為全體實(shí)數(shù). 即解集為無限集。1.1.2集合間的基本關(guān)系（一）集合與集合之間的“包含”關(guān)系；A=1, 2, 3, B=1, 2, 3, 4合有包集合A是集合B的部分元素構(gòu)成的集合，我們說集合 B包含集合A;如果集合A的任何一個元素都是集給元素，我們說這兩個集 含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集（subset）。記作：A B（或B A）讀作：A包含于（is contained in ） B,或 B包含（contains ） A用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系A(chǔ) B（或 B A）（二）集合與集合之間的 “相等”關(guān)系;A B且B A,則A B中的元

7、素是一樣的，因此A B即A B（三）真子集的概念若集合A BA BB A存在元素x B且x A,則稱集合 A是集合B的真子集（proper subset ）。記作：A B （或五A）讀作：A真包含于B （或B真包含A）舉例（由學(xué)生舉例，共同辨析）例如：0,1N（四）空集定義：不含有任何元素的集合稱為空集（empty set ）,記作：規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（五）幾個重要的結(jié)論：（1）空集是任何集合的子集；（2）空集是任何非空集合的真子集；（3）任何一個集合是它本身的子集；（4） 對于集合A, B, C,如果，A B ,且B C ,那么A C。說明：1 .注意集合與

8、元素是"屬于""不屬于"的關(guān)系，集合與集合是"包含于” 不 包含于”的關(guān)系；2 .在分析有關(guān)集合問題時，要注意空集的地位。例題：寫出集合a, b, c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。（六）小結(jié)1 .概念：子集、集合相等、真子集2 .用Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系3 .元素與子集、屬于與包含之間的區(qū)別4 .幾個重要的結(jié)論例題：重難點(diǎn)手冊P14:例11、例12、例13、例14、例151.1.3集合的基本運(yùn)算1. 并集一般地，由所有屬于集合 A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合 A與B的并集（Union）記作：AU B讀作：“A并B”即

9、：A U B=x | x A,或 x C BVenn圖表示：AAPB說明：兩個集合求并集，結(jié)果還是一個集合，是由集合 A與B的所有元素組 成的集合（重復(fù)元素只看成一個元素）。例題（P8-9例4、例5及教輔資料重難點(diǎn)手冊 P18例2）說明：連續(xù)的（用不等式表示的）實(shí)數(shù)集合可以用數(shù)軸上的一段封閉曲線來表小0問題：在上圖中我們除了研究集合 A與B的并集外，它們的公共部分（即問 號部分）還應(yīng)是我們所關(guān)心的，我們稱其為集合A與B的交集。說明：兩個集合求交集，結(jié)果還是一個集合，是由集合 A與B的公共元素組 成的集合。例題（P9-10例6、例7及教輔資料重難點(diǎn)手冊P19例5）拓展：求下列各圖中集合 A與B的

10、并集與交集讀作：“A交BA,且 x e B一般地，由屬于集合 的交集（intersection 記作：An b即：A n B=x| 交集的Venn圖表示2.B說明：當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個 集合沒有交集3 .全集與補(bǔ)集全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那 么就稱這個集合為全集（Universe ）,通常記作U。補(bǔ)集：對于全集U的一個子集A,由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合 A相對于全集U的補(bǔ)集(complementary set),簡稱為 集合A的補(bǔ)集。即：CA=x | x e U 且 xCA補(bǔ)集的Venn

11、圖表示說明：補(bǔ)集的概念必須要有全集的限制例題(P11例8、例9及教輔資料重難點(diǎn)手冊 P20例8)4 .求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交 集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常 從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。5 .集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論： 著重分析，課畫圖說明An B A, An B B, An A=A AC = ,A n B=Bn AA AU B, B AU B, AU A=A AU =A,AU B=BU A(GA) UA=U (CuA) n a=若An B=A

12、則A B,反之也成立若AU B=B則A B,反之也成立若 xC (An B),則 xC A 且 xCB若 x e (au B),則 x e a,或 x e b例題：教輔資料重難點(diǎn)手冊 P25易錯誤區(qū)：例19、例20、例21P28高考真題：例10§ 1.2.1函數(shù)的概念教學(xué)重點(diǎn)：理解函數(shù)的模型化思想，用合與對應(yīng) 的語言來刻畫函數(shù)；教學(xué)難點(diǎn)：符號"y=f(x)”的含義，函數(shù)定義域 和值域的區(qū)間表示；(一)函數(shù)的有關(guān)概念1 .函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的 對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x, 在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那 么就稱f:

13、 AfB為從集合A到集合B的一個函 數(shù)(function ).記作： y=f(x) , x W A .其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函 數(shù)的定義域(domain );與x的值相對應(yīng)的y值 叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| x W A叫做函數(shù) 的值域(range).注意：G "y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母 表示，如"y=g(x)”；0函數(shù)符號"y=f(x)”中的f(x)表示與x對應(yīng) 的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x.2 .構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域3 .區(qū)間的概念(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3

14、）區(qū)間的數(shù)軸表示。4 . 一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義域 和值域討論（由學(xué)生完成，師生共同分析講評）（二）典型例題1 .求函數(shù)定義域課本P17例1解：（略）說明：G函數(shù)的定義域通常由問題的實(shí)際背景確 定，如果課前三個實(shí)例；O如果只給出解析式y(tǒng)=f（x）,而沒有指明它 的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子 有意義的實(shí)數(shù)的集合；Q函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的 形式。鞏固練習(xí)：課本P19第1題2 .判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)課本P18例2解：（略）說明：O構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和 值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的， 所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一

15、 致，即稱這兩個函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對 應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字 母無關(guān)。鞏固練習(xí)：G課本P19第2題O判斷下列函數(shù)f (x)與g (x)是否表示同 一個函數(shù)，說明理由？(1) f ( x ) = (x 1) 0； g ( x ) = 1 f ( x ) = x 2; f ( x ) = (x + 1) 2(4) f ( x ) = | x | ; g ( x ) = &3 .映射復(fù)習(xí)初中已經(jīng)遇到過的對應(yīng)：。對于任何一個實(shí)數(shù)a,數(shù)軸上都有唯一的 點(diǎn)P和它對應(yīng)；對于坐標(biāo)平面內(nèi)任何一個點(diǎn) A,都有唯一 的有序?qū)崝?shù)對(x,y)和它對應(yīng)；

16、G某影院的某場電影的每一張電影票有唯 一確定的座位與它對應(yīng)；(1)什么叫做映射？一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按 某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任 意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素 y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f: A B為從集合A 到集合B的一個映射(mapping ).記作“f: A B”說明：1)這兩個集合有先后順序，A到B的射與B 到A的映射是截然不同的.其中f表示具體的對 應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)⑹?2) “都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個， 也就是說有且只有一個的意思。例題：重難點(diǎn)手冊：P41例5重難點(diǎn)手冊：P33求值域的5種常用方法

17、：1 .觀察法2 .配方法3 .判別式法4 .換元法5 .分離常數(shù)法例題：重難點(diǎn)手冊P35:例13、例14課題：§ 1.2.2函數(shù)的表示法教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的三種表示方法，分段函數(shù)的概 念.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎?函數(shù)，什么才算“恰當(dāng)”？分段函數(shù)的表 示及其圖象.一、引入課題1 .復(fù)習(xí)：函數(shù)的概念；2 .常用的函數(shù)表示法：(1)解析法；(2)圖象法；(3)列表法.二、新課教學(xué)(一)典型例題例3.某種筆記本的單價是5元，買x (x G 1 ,2, 3, 4, 5)個筆記本需要y元.試用三種表示 法表示函數(shù)y=f(x).分析：注意本例的設(shè)問，此處"y=f(x)”

18、有三 種含義，它可以是解析表達(dá)式，可以是圖象，也 可以是對應(yīng)值表.解：（略）注意：G函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是 直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個圖形 是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；O解析法：必須注明函數(shù)的定義域；。圖象法：是否連線；Q列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能 反映定義域的特征.鞏固練習(xí)：課本P23練習(xí)第1題例4.下表是某校高一（1）班三位同學(xué)在高 一學(xué)年度幾次數(shù)學(xué)測試的成績及班級及班級平 均分表：第一第二第三第四第五第六次次次次次次王偉988791928895張城907688758680趙磊班平均分68657372758288.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6請你對這三們同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 情況做一個分析.分析：本例應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析題目要求，做學(xué)情 分析，具體要分析什么？怎么分析？借助什么 工具？解：（略）注意：Q本例為了研究學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，將離散的 點(diǎn)用虛線連接，這樣更便于研究成績的變化特 點(diǎn)； 鞏固練習(xí)：課本P23