橢圓的簡單幾何性質課件

1、yxO橢圓的定義、標準方程是什么橢圓的定義、標準方程是什么？) 0(12222babyax22221 (0)yxabab平面上到兩個定點的距離的和（平面上到兩個定點的距離的和（2a）等于定長）等于定長（大于（大于|F1F2 |=2c）的點的軌跡叫橢圓的點的軌跡叫橢圓.yx1F2FO222cab觀察橢圓觀察橢圓的形狀，的形狀，22221(0)xyabab你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對稱性？橢圓上哪些點比較特殊？對稱性？橢圓上哪些點比較特殊？一、橢圓的范圍一、橢圓的范圍二、橢圓的對稱性二、橢圓的對稱性三、橢圓的頂點三、橢圓的頂點1A1B2A2B;ax

2、abyb x軸；軸；y軸；軸； 原點原點.1(, 0)Aa1(0,)Bb2(, 0)Aa2(0,)Bbyx1F2FO你能用方程來研究它的范圍、對稱性和橢圓的你能用方程來研究它的范圍、對稱性和橢圓的頂點嗎？頂點嗎？1、橢圓的范圍、橢圓的范圍 oxy由由12222byax即即byax和說明：橢圓位于矩形之說明：橢圓位于矩形之中。中。112222byax和2、橢圓的對稱性、橢圓的對稱性)0(12222babyax在在之中，把之中，把-換成換成-，方程不，方程不變，說明：變，說明：橢圓關于橢圓關于-軸對稱；軸對稱；橢圓關于橢圓關于-軸對稱；軸對稱；橢圓關于橢圓關于-點對稱；點對稱；故，坐標軸是橢圓的對

3、稱軸，故，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心原點是橢圓的對稱中心中心：橢圓的對稱中心中心：橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心叫做橢圓的中心 oxy三、橢圓的頂點三、橢圓的頂點)0(12222babyax在在中，令中，令 x=0，得，得 y=？，說明橢圓與？，說明橢圓與 y軸的交點？軸的交點？令令 y=0，得，得 x=？說明橢圓與？說明橢圓與 x軸的交點？軸的交點？*頂點：橢圓與它的對稱軸頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的的四個交點，叫做橢圓的頂點。頂點。 oxyB2(0,b)B1(0,-b)A1A2*長軸、短軸：線段長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸分別叫做橢圓的

4、長軸和短軸。和短軸。a、b分別叫做橢圓的長半分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。軸長和短半軸長。四、橢圓的離心率四、橢圓的離心率cea離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率叫做橢圓的離心率.因為因為 a c 0，所以，所以 0e1e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，從而，從而 b就越小，橢圓就越扁就越小，橢圓就越扁.e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 a，從而，從而 b就越大，橢圓就越圓就越大，橢圓就越圓.2離心率對橢圓形狀的影響：離心率對橢圓形狀的影響：1離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：觀察不同的橢圓，橢圓的扁平程度不一觀察不同

5、的橢圓，橢圓的扁平程度不一.那那么，用什么量可以刻畫橢圓的扁平程度呢？么，用什么量可以刻畫橢圓的扁平程度呢？1.?2.,?,?bcabcceeaa或 的大小能刻畫橢圓的扁平程度嗎 為什么你能運用三角函數(shù)的知識解釋為什么越大 橢圓越扁越小探橢圓越圓嗎究方程方程圖形圖形 范圍范圍對稱性對稱性頂點頂點離心率離心率12222byax12222bxayO,a x a b y b ,b x b a y a 1212,0,( ,0),0,0,aabbAABB 12120,(0, ),0,0aabbAABB(01)ceea (01)ceea x軸，軸，y軸，原點軸，原點.x軸，軸，y軸，原點軸，原點.F2yx

6、F10 xyB1B2A1A2F1 F2例例1 求橢圓求橢圓 16 x2 + 25y2 =400的長軸和短軸的長、離的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標心率、焦點和頂點坐標.解：把已知方程化成標準方程解：把已知方程化成標準方程1452222yx這里，這里，31625,4,5cba因此，橢圓的長軸長和短軸長分別是因此，橢圓的長軸長和短軸長分別是82,102ba離心率離心率6.053ace焦點坐標分別是焦點坐標分別是)0,3(),0,3(21FF四個頂點坐標是四個頂點坐標是)4 , 0(),4, 0(),0 , 5(),0 , 5(2121BBAA（1）、）、求下求下列橢圓的列橢圓的長軸和短軸的

7、長、離心率、長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標焦點和頂點坐標. . （） （）（2）、下列方程所表示的曲線中，關于）、下列方程所表示的曲線中，關于x軸和軸和y 軸軸都對稱的是（都對稱的是（ ） A、X2=4Y B、X2+2XY+Y=0 C、X2-4Y2=X D、9X2+Y2=42244xy22416xyD12121211222.1 11,().,.,.,|2.8,|4.5,.BACFFFFBCF FF Bcm F FcmBAC例如圖一種電影放映燈泡的反射鏡是旋轉橢圓面 橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面 的一部分過對稱軸的截口是橢圓的一部分 燈絲位于橢圓一個焦點上 片門位于另一個焦點上由橢圓

8、一個焦點發(fā)出的光線 經(jīng)過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點已知求截口所在的橢圓方程xy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射鏡面反射鏡面xy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射鏡面反射鏡面1112 .圖圖.,.111122222 byax圓方程為設所求橢的直角坐標系所示建立圖解.|,22221212215482 FFBFBFFBFRt中在所以由橢圓的性質知,| ,aBFBF221 ;.) | (1454828221212221 BFBFa.43252142222 cabxy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射鏡面反射鏡面1112 .圖圖.,143142222 yx所求的橢圓方程為所以3,4, 02

9、5:44,.5Mx yFl xM例點與定點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)求點的軌跡的軌跡就是集合點根據(jù)題意的距離到直線是點設解MxlMd,:425 xyOFMHdl1212 .圖圖 .54425422 xyx由此得.,19252252592222 yxyx即得并化簡將上式兩邊平方 .,1212610 圖的橢圓、分別為的軌跡是長軸、短軸長點所以MxyOFMHdl1212 .圖圖.| 54dMFMP小結：小結： 3）掌握利用曲線方程研究曲線性質的基本方法，）掌握利用曲線方程研究曲線性質的基本方法，即通過研究曲線的對稱性、頂點、范圍、離心率即通過研究曲線的對稱性、頂點、范圍、離心率等，就可以從整體

10、上把握曲線了等，就可以從整體上把握曲線了. 2）思想方法總結：利用了）思想方法總結：利用了數(shù)形結合數(shù)形結合的思想和的思想和類類比化歸比化歸的思想研究性質的，平時學習中要注意數(shù)的思想研究性質的，平時學習中要注意數(shù)學思想方法的運用學思想方法的運用.1）幾何性質）幾何性質關鍵：抓住關鍵：抓住一個框一個框(范圍范圍)，兩條線兩條線(對稱軸對稱軸) ，七個點七個點(一個中心、兩個焦點、四個一個中心、兩個焦點、四個頂點頂點)和用離心率來刻畫和用離心率來刻畫 橢圓的圓扁橢圓的圓扁.方程方程圖形圖形 范圍范圍對稱性對稱性頂點頂點離心率離心率12222byax12222bxayO,a x a b y b ,b

11、x b a y a 1212,0,( ,0),0,0,aabbAABB 12120,(0, ),0,0aabbAABB(01)ceea (01)ceea x軸，軸，y軸，原點軸，原點.x軸，軸，y軸，原點軸，原點.F2yxF10 xyB1B2A1A2F1 F2作業(yè)：作業(yè)：P42 P42 習題習題2.12.1與與幾何原本幾何原本齊名的齊名的圓錐曲線論圓錐曲線論 公元前三世紀產(chǎn)生了具有完整體系的歐公元前三世紀產(chǎn)生了具有完整體系的歐幾里得的幾里得的幾何原本幾何原本。半個世紀以后，古。半個世紀以后，古希臘的另一位數(shù)學家阿波羅尼斯又著希臘的另一位數(shù)學家阿波羅尼斯又著圓錐圓錐曲線論曲線論（8 8卷）卷）以其幾乎將圓錐曲線的全以其幾乎將圓錐曲線的全部性質網(wǎng)羅殆盡而名垂史冊。部性質網(wǎng)羅殆盡而名垂史冊。 在解析幾何之前的所有研究圓錐曲線的著在解