第二章(3)平面

1、3.4 3.4 平面的投影平面的投影3.43.4. 1 1 平面的表示法平面的表示法3.4.2 3.4.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性3.43.4. 3 3 屬于平面的點(diǎn)和直線屬于平面的點(diǎn)和直線 基本內(nèi)容基本內(nèi)容3.4.1 平面的表示法平面的表示法用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面baacbc不共線的三點(diǎn)不共線的三點(diǎn)baacbc一直線和線外一點(diǎn)一直線和線外一點(diǎn)baacbc相交兩直線相交兩直線aabcbc任意平面圖形任意平面圖形abcabcdd平行兩直線平行兩直線用跡線表示平面用跡線表示平面 平面與投影面的交線稱為平面的跡線平面與投影面的交線稱為平面的跡線PPVPHPVPHQ

2、VQHQHQVQ二、各種位置平面的投影特性二、各種位置平面的投影特性平行平行垂直垂直傾斜傾斜實(shí)形性實(shí)形性積聚性積聚性類似性類似性投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把實(shí)形現(xiàn)投影就把實(shí)形現(xiàn) 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影積聚成直線投影積聚成直線 平面傾斜投影面平面傾斜投影面-投影類似原平面投影類似原平面實(shí)形性實(shí)形性類似性類似性積聚性積聚性平面對于三投影面的位置可分為三類平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面斜于另兩個投影

3、面平行于某一投影面，平行于某一投影面， 垂直于另兩個投影面垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜與三個投影面都傾斜 正垂面正垂面( ( V)V) 鉛垂面鉛垂面( ( H)H) 側(cè)垂面?zhèn)却姑? ( W)W) 正平面正平面(V)(V) 水平面水平面(H)(H) 側(cè)平面?zhèn)绕矫?W)(W)3.4.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性（一）一般位置平面（一）一般位置平面abccabbaaabbccbacABC投影特性：投影特性： 三投影均具有三投影均具有類似性，且不反映類似性，且不反映 、 、 的真實(shí)角度。的真實(shí)角度。 投影圖上的一個封閉圖形通常表示空間一個面的投影投影圖上的一個封閉圖形通常表

4、示空間一個面的投影側(cè)垂面?zhèn)却姑鎂 VW WH HY YX XZ Z正垂面正垂面鉛垂面鉛垂面（二）投影面垂直面（二）投影面垂直面PPH1鉛垂面鉛垂面投影特性：投影特性： （1）水平投影積聚為斜直線，）水平投影積聚為斜直線，另外兩投影具有另外兩投影具有類似性類似性；圖形特性圖形特性 （2）水平投影）水平投影反映反映 、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小。 度量特性度量特性ABCacbabab ba b ccc鉛垂面跡線表示法鉛垂面跡線表示法: : 對特殊位置平面不畫無積聚性的跡線，對特殊位置平面不畫無積聚性的跡線， 用兩段短的粗實(shí)線表示有積聚性的跡線的位置，中間用細(xì)實(shí)線相用兩段短的粗實(shí)線表示有積聚性的跡線

5、的位置，中間用細(xì)實(shí)線相 連，并標(biāo)上相應(yīng)的符號。連，并標(biāo)上相應(yīng)的符號。PHPPHQQV 2正垂面正垂面 AcCabBb ababaccc投影特性：投影特性： (1) 正面投影積聚為斜直線，正面投影積聚為斜直線，另外兩投影具有另外兩投影具有類似性類似性；圖形特性圖形特性 (2) 正面投影正面投影反映反映、 角角的真實(shí)大小的真實(shí)大小 。 度量特性度量特性正垂面的跡線表示法正垂面的跡線表示法 QQVQVSWS 3側(cè)垂面?zhèn)却姑鍯abABcb ababaccc投影特性：投影特性： (1) 側(cè)面投影積聚為斜直線，側(cè)面投影積聚為斜直線，另外兩投影具有另外兩投影具有類似性類似性；圖形特性圖形特性 (2)側(cè)面投影

6、側(cè)面投影反映反映、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小。 度量特性度量特性側(cè)垂面的跡線表示法側(cè)垂面的跡線表示法VWSwSZXOYSwY投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性 在它垂直的投影面上的投影積聚成直在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。與另外兩投影面夾角的大小。 另外兩個投影面上的投影有類似性。另外兩個投影面上的投影有類似性。一線兩形，不反映實(shí)形一線兩形，不反映實(shí)形X XY YZ ZH HV VW W側(cè)平面?zhèn)绕矫嬲矫嬲矫嫠矫嫠矫妫ㄈ┩队懊嫫叫忻妫ㄈ┩队懊嫫叫忻?水平面水平面CABabcb

7、acabccabbbaacc投影特性：投影特性： (1) 正面投影和側(cè)面投影積聚為直線，且正面投影和側(cè)面投影積聚為直線，且OZ軸；軸； (2) 水平投影反映水平投影反映 ABC實(shí)形。實(shí)形。水平面上的點(diǎn)水平面上的點(diǎn)Z Z坐標(biāo)相等坐標(biāo)相等2正平面正平面Y坐標(biāo)相等坐標(biāo)相等cabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：投影特性： (1) 水平投影和側(cè)面投影積聚為直線，且水平投影和側(cè)面投影積聚為直線，且OY軸；軸； (2) 正面投影反映正面投影反映 ABC實(shí)形。實(shí)形。3側(cè)平面?zhèn)绕矫鎄坐標(biāo)相等坐標(biāo)相等abbbacccabcbacabcCABa投影特性：投影特性： (1) 正面投影和水平投影積聚為直線

8、，且正面投影和水平投影積聚為直線，且OX軸；軸； (2) 側(cè)面投影反映側(cè)面投影反映 ABC實(shí)形。實(shí)形。投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。 另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。的投影軸平行的直線。兩線一形，反映實(shí)形，線平行于軸。兩線一形，反映實(shí)形，線平行于軸。a c b c a abcb 例例：正垂面正垂面ABCABC與與H H面的夾角為面的夾角為5050，已知其水平投影，已知其水平投影及頂點(diǎn)及頂點(diǎn)B B的正面投影，求的正面投影，求ABCABC的正面投影及側(cè)面

9、投影。的正面投影及側(cè)面投影。50Z ZX XO OY YH HY YW W3.4.3 平面內(nèi)的點(diǎn)和直線平面內(nèi)的點(diǎn)和直線一、一、屬于一般位置平面的點(diǎn)和直線屬于一般位置平面的點(diǎn)和直線二、二、屬于特殊位置平面的點(diǎn)和直線屬于特殊位置平面的點(diǎn)和直線三、三、屬于平面的投影面平行線屬于平面的投影面平行線利用在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，可以解決三類問題：利用在平面上取點(diǎn)、直線的作圖，可以解決三類問題：判別已知點(diǎn)、線是否屬于已知平面；判別已知點(diǎn)、線是否屬于已知平面；完成已知平面上的點(diǎn)和直線的投影；完成已知平面上的點(diǎn)和直線的投影；完成多邊形的投影。完成多邊形的投影。一、一般位置平面上取點(diǎn)和直線一、一般位置平面上取點(diǎn)

10、和直線 點(diǎn)在平面上的幾何條件（必要條件）：點(diǎn)在平面內(nèi)的某一直線上。點(diǎn)在平面上的幾何條件（必要條件）：點(diǎn)在平面內(nèi)的某一直線上。即點(diǎn)在平面內(nèi)的某一直線上則必在此平面上。即點(diǎn)在平面內(nèi)的某一直線上則必在此平面上。EDddee 先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例：例：已知已知K點(diǎn)在平面點(diǎn)在平面ABC上，求上，求K點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。 面上取點(diǎn)的方法：面上取點(diǎn)的方法：d d通過在面內(nèi)作輔助線求解通過在面內(nèi)作輔助線求解首先面上取首先面上取線線kabca b c X Xk 平面上取點(diǎn)

11、：平面上取點(diǎn)：直線在平面上的幾何條件（必要條件）：直線在平面上的幾何條件（必要條件）： 通過平面上的兩點(diǎn)；通過平面上的兩點(diǎn)； 或或通過平面上的一點(diǎn)且平行于平面上的一條直線。通過平面上的一點(diǎn)且平行于平面上的一條直線。EDFddeeff 在平面上取線在平面上取線例題例題1 試判斷點(diǎn)試判斷點(diǎn)D是否屬于是否屬于 ABC平面。平面。ddee否否例例2 2 已知已知ABCDABCD給定一平面，試判斷點(diǎn)給定一平面，試判斷點(diǎn)M M是否屬于是否屬于該平面。該平面。tsabcdmabcdmts答案：否答案：否例題例題1 已知點(diǎn)已知點(diǎn)D、E兩點(diǎn)在兩點(diǎn)在 ABC上，試求其另一投影。上，試求其另一投影。例題例題2 試完

12、成四邊形試完成四邊形ABCD的水平投影。的水平投影。babaeffe二、特殊位置平面上取點(diǎn)和直線二、特殊位置平面上取點(diǎn)和直線P屬于平面的水平線和正平線屬于平面的水平線和正平線PVPH平面上投影面平行線平面上投影面平行線既在平面上又平行于投影面的既在平面上又平行于投影面的直線。直線。 平面上的投影面平行線既具有投影面平行線的投影性質(zhì)，又平面上的投影面平行線既具有投影面平行線的投影性質(zhì)，又與所屬平面保持從屬關(guān)系。與所屬平面保持從屬關(guān)系。 在一個平面上對在一個平面上對V、H、W投影面分別有三組投影面平行線。投影面分別有三組投影面平行線。 三、三、 屬于平面的投影面平行線屬于平面的投影面平行線例例1：

13、 在平面在平面ABCABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到 H面的距面的距 離為離為10mm10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？例題例題2 已知點(diǎn)已知點(diǎn)E 在在 ABC平面上，且點(diǎn)平面上，且點(diǎn)E距離距離V 面面10，距離，距離H面面15 ，試求點(diǎn)，試求點(diǎn)E的投影。的投影。mnmnrsrs1015eebckada d b c k b 例例題題3 3 已知已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形為正平線，補(bǔ)全平行四邊形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一：解法一：解法二：解法二：cada d b c X XX X基基 本本 要要 求求1 1、掌

14、握平面的幾何元素表示法和特殊位置平面的、掌握平面的幾何元素表示法和特殊位置平面的 跡線表示法；跡線表示法；2 2、熟練掌握各種位置平面的投影特性及作圖方法；、熟練掌握各種位置平面的投影特性及作圖方法；3 3、掌握平面上取點(diǎn)和直線的幾何條件和作圖方法；、掌握平面上取點(diǎn)和直線的幾何條件和作圖方法；4 4、掌握平面內(nèi)投影面的平行線的投影特性和作圖方法；、掌握平面內(nèi)投影面的平行線的投影特性和作圖方法；作業(yè)：作業(yè)：P7例題例題2 已知已知 ABC 給定一平面，試過點(diǎn)給定一平面，試過點(diǎn) C 作屬于該平作屬于該平面的正平線，過點(diǎn)面的正平線，過點(diǎn) A 作屬于該平面作屬于該平面 的水平線。的水平線。mnnm（2

15、 2）作正垂面）作正垂面（ 1 1）作正平面）作正平面（3 3）作鉛垂面）作鉛垂面abcdacdb例例4 4 過點(diǎn)過點(diǎn)A A、B B分分別作正平面、正垂別作正平面、正垂面，過面，過CDCD作鉛垂作鉛垂面面 。2.4.4 過點(diǎn)、直線作平面過點(diǎn)、直線作平面1個個無數(shù)解！無數(shù)解！abbaSbaabAB2.4.4 過點(diǎn)、直線作平面過點(diǎn)、直線作平面（二二）過一般位置直線總可作投影面的垂直面）過一般位置直線總可作投影面的垂直面過一般位置直線過一般位置直線AB作鉛垂面作鉛垂面PH過一般位置直線過一般位置直線AB作作正垂面正垂面SVPPHSVABmn(n)(m)2.過一般位置直線作投影面的垂直面過一般位置直線作投影面的垂直面(幾何元素表示法幾何元素表示法)鉛垂面鉛垂面正垂面正垂面（二）過特殊位置直線作平面（二）過特殊位置直線作平面1.過正垂線作平面過正垂線作平面 (跡線表示法跡線表示法)PVSVQVRV（a ）給題）給題（c）作側(cè)平面）作側(cè)平面 （1個）個）（ b）作水平面）作水平面 （1個）個）（d）作正垂面）作正垂面 （無窮多個）（無窮多個）2. 過正平線作平面過正平線作平面PHSHgg（a ）給題給題（c）作正垂面作正垂面（1個）個）（ b）作正平面作