第一章量子力學基礎知識

1、12結結 構構 化化 學學 的的 主主 要要 內內 容容 結構化學是研究原子、分子和晶體的微觀結構與性結構化學是研究原子、分子和晶體的微觀結構與性能之間關系的科學。能之間關系的科學。具體地說，結構化學研究原子、分具體地說，結構化學研究原子、分子和晶體內電子的排布及運動的規(guī)律，探討分子和晶體子和晶體內電子的排布及運動的規(guī)律，探討分子和晶體中化學鍵的成因、特性及其與構型、構象的關系，探討中化學鍵的成因、特性及其與構型、構象的關系，探討微觀體系中各力學量的量值或相對關系及其對結構與性微觀體系中各力學量的量值或相對關系及其對結構與性能的影響等。能的影響等。結構決定性能，性能反映結構。結構決定性能，性能

2、反映結構。 構幾何結幾何結電子結構電子結構結構結構3u 重視理論與實踐之間的密切聯(lián)系。重視理論與實踐之間的密切聯(lián)系。u 擺脫宏觀世界生活經驗的束縛。擺脫宏觀世界生活經驗的束縛。u 學會抽象思維和運用數(shù)學工具處理問題的方法。學會抽象思維和運用數(shù)學工具處理問題的方法。u 恰當?shù)剡\用類比等科學方法。恰當?shù)剡\用類比等科學方法。u 學以致用。學以致用。如何學習本課程如何學習本課程4課程教學安排課程教學安排n 總學時：總學時：72n 作業(yè)及要求：作業(yè)本上請寫清楚本人作業(yè)及要求：作業(yè)本上請寫清楚本人姓名、班級姓名、班級及學號及學號；作業(yè)要求：；作業(yè)要求：字跡工整、清晰；字跡工整、清晰；書寫規(guī)書寫規(guī)范；范；

3、抄題；抄題；每上完一章交一次作業(yè)每上完一章交一次作業(yè)5參參 考考 書書1.周公度，周公度， 段連運段連運編著編著結構化學基礎結構化學基礎，第二版，北京大學，第二版，北京大學 出版社，出版社，1995年；年；2.徐光憲，王祥云，徐光憲，王祥云，物質結構物質結構（第二版），高等教育出版社（第二版），高等教育出版社, 1987；3. 潘道皚，潘道皚，物質結構物質結構（第二版），高等教育出版社（第二版），高等教育出版社, 1987；4. 倪行，高劍南，倪行，高劍南，物質結構學習指導物質結構學習指導，科學出版社，科學出版社，199961.1 微觀粒子的運動特征 1.1.1 黑體輻射和能量量子化 1.1.

4、2 光電效應和光子學說 1.1.3 實物微粒的波粒二象性 1.1.4 不確定度關系1.2 量子力學基本假設1.3 箱中粒子的薛定諤方程及其解第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識71.1 微微 觀觀 粒粒 子子 的的 運運 動動 特特 征征經典物理學經典物理學經典力學經典力學電磁場理論電磁場理論統(tǒng)計物理學統(tǒng)計物理學熱力學熱力學8第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識19世紀末，物理學理論（經典物理學）已相當完善：Newton力學：宏觀粒子的機械運動Maxwell電磁場理論：電磁現(xiàn)象和光Gibbs熱力學：熱現(xiàn)象Boltzmann統(tǒng)計物理學：熱現(xiàn)象“物理學大廈已經建成，以后只需對這

5、座大廈做點小小的修補工作就行了”9 經典物理學遇到了難題：上述理論可解釋當時常見物理現(xiàn)象，但也發(fā)現(xiàn)了解釋不了的新現(xiàn)象。10第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識經典物理學的一些基本觀點： 質量恒定，不隨速度改變；物體的能量連續(xù)變化；物體有確定的運動軌道；光現(xiàn)象只是一種波動。研究范圍：質量m原子分子 速度v光速經典物理向高速領域推廣物體接近光速時相對論力學 觀點經典物理向微觀領域推廣研究對象向微觀發(fā)展量子力學 觀點 11 微觀物體運動遵循的規(guī)律量子力學，被稱為是20世紀三大科學發(fā)現(xiàn)（相對論、量子力學、DNA雙螺旋結構）之一。 100多年前量子概念的誕生、隨后的發(fā)展及其產生的革命性巨變，是

6、一場激動人心又發(fā)人深省的史話。第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識12第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征1.1.1 黑體輻射和能量量子化一種能全部吸收照射到它上面的各種波長輻射的物體。在加熱它時，又能最大程度地輻射出各種波長的電磁波（黑體輻射）。）。帶有一微孔的空心金屬球，非常接近于黑體，進入金屬球小孔的輻射，經過多次吸收、反射、使射入的輻射實際上全部被吸收。當空腔受熱時，空腔壁會發(fā)出輻射，極小部分通過小孔逸出。13第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征 由圖中不同溫度的曲線可見，隨溫度增加，輻射能E值增大，且其

7、極大值向高頻移動（藍移）。E 單位時間、單位表面積上的能量Ed 頻率在 + d 范圍內、單位時間、單位表面積上的能量14 用Maxwell的分子速度分布公式，在短波處與實驗比較接近，但在長波處又與實驗曲線相差很大(Wien)。 如應用經典物理學中能量連續(xù)的概念推導出來的輻射強度公式(Rayleigh-Jeans)來解釋，在長波長處與實驗曲線很接近，但在短波長處嚴重不符。第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征15第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征黑體中原子或分子輻射能量時作簡諧振動；每個特定頻率的諧振子的能量E總是某個最小能

8、量 單位0的整數(shù)倍E =n 0，這個基本單位叫能量子；每個能量子的能量與諧振子的振動頻率的關系為 0 h h。 h :Planck常數(shù)，h6.6261034 Js基于以上假設就可以推導出普朗克黑體輻射 公式：1/8133kthcheE普朗克能量量子化假設：16黑黑 體體 輻輻 射射 和和 能能 量量 量量 子子 化化 若某物理量的變化是不連續(xù)的，而是若某物理量的變化是不連續(xù)的，而是以某一最小單位作跳躍式的增減，就稱這以某一最小單位作跳躍式的增減，就稱這物理量的變化是物理量的變化是 “量子化量子化” 的，這一最小的，這一最小單位就叫做這個物理量的單位就叫做這個物理量的 “量子量子” 。 量子說量

9、子說17第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識黑體輻射研究中理論發(fā)展過程：181.1.2光電效應和光子學說光電效應和光子學說光電效應光電效應 光照射到金屬表光照射到金屬表面上時，金屬表面發(fā)射出電子面上時，金屬表面發(fā)射出電子的現(xiàn)象。金屬中的電子從照射的現(xiàn)象。金屬中的電子從照射光獲得足夠的能量而逸出金屬，光獲得足夠的能量而逸出金屬，稱為稱為光電子光電子。( Hertz 1887年年)191.1.2光電效應和光子學說光電效應和光子學說規(guī)律：規(guī)律： （1）每種金屬都有一個）每種金屬都有一個臨閾頻率臨閾頻率0 。當入射光頻率。當入射光頻率 大于大于0 時，有光電流產生；否則，無論光強度多大都不時

10、，有光電流產生；否則，無論光強度多大都不會有光電流產生。會有光電流產生。（2）產生的光電流強度和入射光強度成正比。）產生的光電流強度和入射光強度成正比。 （3）電子動能和入射光頻率成線性增長關系，和入）電子動能和入射光頻率成線性增長關系，和入射光強度無關，光的強度只影響光電子的數(shù)量。射光強度無關，光的強度只影響光電子的數(shù)量。經典物理學觀點：光的頻率僅僅決定了光的顏色，而光的能量經典物理學觀點：光的頻率僅僅決定了光的顏色，而光的能量則是由光的強度決定的。則是由光的強度決定的。201.1 微微 觀觀 粒粒 子子 的的 運運 動動 特特 征征21第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識 著名的

11、物理學家愛因斯坦 （Einstein）應用、推廣了普朗克的量子概念，1905年提出了光子學說，成功地解釋了光電效應。1.1 微觀粒子的運動特征22第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識2201cvmm（1）光是一束光子流，每一種頻率的光其能量都有一個最小單位，稱為光子，光子的能量與其頻率成 正比： h。（2）光子不但有能量，還有質量（m），但光子的靜 止質量為零。根據相對論的質能聯(lián)系定律mc2，得光子的質量為：m / c 2 =h/c2，不同頻率的光子具有不同的質量。1.1 微觀粒子的運動特征1905年Einstein提出光子學說：靜止質量靜止質量: 對于光子，對于光子，v = c，所

12、以，所以 的粒子稱為的粒子稱為實物粒子實物粒子。0000 mm。23 （3）光子具有一定的動量：p mc h/c h/。 （4）光的強度取決于單位體積內光子的數(shù)目（光子密度）。24第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識 電子吸收的能量，一部分用于克服金屬對電子的束縛能 W（或者稱電子逸出金屬表面的功),另一部分轉變?yōu)楣怆娮拥膭幽蹺K ，即：1.1 微觀粒子的運動特征25第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識 當 h W （ o ）時，金屬中發(fā)射的電子具有一定的動能，發(fā)生光電流，并隨 增加而增加,與光的強度無關。1.1 微觀粒子的運動特征261.1 微微 觀觀 粒粒 子子 的的

13、運運 動動 特特 征征光的波粒二象性光的波粒二象性 在一些場合光的行為像粒子，在另一些場合光的在一些場合光的行為像粒子，在另一些場合光的行為像波。行為像波。波性和粒性的區(qū)別波性和粒性的區(qū)別 粒子在空間定域，而波卻不能定域。粒子在空間定域，而波卻不能定域。波性和粒性的聯(lián)系波性和粒性的聯(lián)系 由方程（由方程（1.1.6）和（）和（1.1.7）通過）通過Planck常數(shù)常數(shù) h 聯(lián)聯(lián)系。系。光電效應和光子學說27第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征1.1.3 實物微粒的波粒二象性 1924年，英國哲學雜志9月號刊登了一位不知名的法國物理學家L.deBroglie的文

14、章。它指出“整個二十世紀來，在光學上，比起波動的研究方法來，是過于忽略了粒子的研究方法；在實物理論上，是否發(fā)生了相反的錯誤呢？是不是我們把粒子的圖象想的太多，而又過分忽略了波動的圖象呢？281.1 微微 觀觀 粒粒 子子 的的 運運 動動 特特 征征 de Broglie 提出：實物微粒（即靜止質量不等于提出：實物微粒（即靜止質量不等于0的微粒）如電子、中子、質子、原子、分子等也有具的微粒）如電子、中子、質子、原子、分子等也有具有波粒二象性的假設，即存在下列關系：有波粒二象性的假設，即存在下列關系：)6 . 1 . 1 (hE )7 . 1 . 1 (/hp 式（式（1.1.8）稱為）稱為 d

15、e Broglie 關系式關系式，滿足該關系式的實，滿足該關系式的實物粒子的波稱為物粒子的波稱為物質波物質波或或 de Broglie 波波。實 物 微 粒 的 波 粒 二象形29第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征例：（1）求以1.0106ms-1的速度運動的電子的波長。 這個波長相當于分子大小的數(shù)量級，說明分子和原子中電子運動的波動性是顯著的。 這個波長與粒子本身的大小相比太小，觀察不到波動效應。 （2）求m=1.010-3kg的宏觀粒子以v=1.010-2ms-1的速度運動時的波長。 30 物質波的實驗證明：物質波的實驗證明：戴維遜革末電子衍戴維遜革末

16、電子衍射實驗射實驗 Thomson實驗實驗1.1 微微 觀觀 粒粒 子子 的的 運運 動動 特特 征征實 物 微 粒 的 波 粒 二 象 性1927年，戴維遜(Dawison)革末(Germer)用單晶體電子衍射實驗，湯姆遜(G.P.Thomson)用多晶體電子衍射實驗，發(fā)現(xiàn)電子入射到金屬晶體上產生與光入射到晶體上同樣產生衍射條紋，證實了德布羅意假說。31第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征P=mvP=h/=u/EE=p2/2m =mv2/2E=hP=mcpEE=pcP=h/E=h =c/ L.deBroglie和Einstein關系式的差別u 傳播速度（傳

17、播速度（相速度相速度）v 運動速度（運動速度（群速度群速度）v = 2u32第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征物質波是什么波？ L.deBroglie所說的物質波當然不是機械波，因為這種波可以象電磁波一樣在絕對的真空中傳播，但它也不是電磁波，因為它產生于所有的物體包括不帶電的物體的運動。那時物理學家們除了機械波和電磁波以外并不知道還有什么別的波。因此， L.deBroglie的物質波觀念實在是太革命了！331.1 微微 觀觀 粒粒 子子 的的 運運 動動 特特 征征 一切微觀體系都是粒性和波性的對立統(tǒng)一體。一切微觀體系都是粒性和波性的對立統(tǒng)一體。 E =

18、h ，p = h/ ，兩式具體揭示了波性和粒性的內，兩式具體揭示了波性和粒性的內在聯(lián)系：等式左邊體現(xiàn)粒性，右邊體現(xiàn)波性；它們在聯(lián)系：等式左邊體現(xiàn)粒性，右邊體現(xiàn)波性；它們彼此聯(lián)系，互相滲透，在一定條件下又可互相轉化，彼此聯(lián)系，互相滲透，在一定條件下又可互相轉化，構成矛盾的對立統(tǒng)一體。構成矛盾的對立統(tǒng)一體。 波粒二象性是微觀粒子運動的本質波粒二象性是微觀粒子運動的本質特征。特征。實 物 微 粒 的 波 粒 二 象 性34第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征實物微粒波代表的物理意義對L.deBroglie 物質波所做的正確解釋是1926年德國物理學家Born提出的

19、“統(tǒng)計解釋”。 為了說明“統(tǒng)計解釋”，我們再來考察電子衍射實驗。35第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征L.deBroglie物質波的統(tǒng)計解釋 電子一個一個地通過晶體發(fā)生衍射，因為電子有粒子性，所以開始時，電子只能到達底片的一個個點上，不能一下子得到衍射圖。但是，電子每次到達的點不是都重合在一起的，經過足夠長的時間，通過了大量的電子，在照片上便得到衍射圖，顯出波動性，因此可見，波動性乃是和粒子行為的統(tǒng)計性規(guī)律聯(lián)系在一起的。 統(tǒng)計解釋就是認為在空間任意點的波的強度和粒子出現(xiàn)的幾率成正比，所以物質波又稱為“幾率波”。 電子運動的波性和宏觀的波有相似的地方，即都是

20、實物或場的某種性質在空間和時間方面周期性的表現(xiàn)。36第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征實物微粒二象性的描述1.實物微粒具有一定的靜止質量m0,當實物微粒以速度v運動時，它的質量是m= m0/1-(v/c)21/22. 它的動能是 ()mv2=E3. 它的動量是 P=mv4. 它服從能量守恒和質量守恒定律，所以表現(xiàn)有粒子性。5. 但是微觀粒子如高速運動的電子不服從Newton力學，它沒有確定的軌道，它所服從的是大量粒子行為的統(tǒng)計規(guī)律（這就是我們要學到的量子力學規(guī)律），這個規(guī)律告訴我們，物質微粒的運動狀態(tài)可用波函數(shù)來描述。6. 與動量為mv的粒子相聯(lián)系的物質波

21、的波長為=h/mv7. 在空間任一點物質波的強度和粒子出現(xiàn)的幾率成正比。37第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征1.1.4 不確定度關系 波粒二象性的必然結果1927年，海森堡提出“一個粒子不可能同時具有確定的坐標和動量”。 在經典力學中，物體的坐標和動量可以同時具有確定的值，但是，對于微觀粒子來說，由于它具有波粒二象性，軌道的概念已失去了意義。 如果要同時測量微觀粒子的位置和動量，則其測量結果有：位置的不確定量與動量的不確定量的乘積必須大于或等于普朗克恒量，即： x px h 這也就是說，不能同時準確地測量微觀粒子的位置與動量。所以上式也稱為測不準關系。3

22、8測不準原理測不準原理1.10)1.10)(1(1.hpxx 電子單縫（一級）衍射條件電子單縫（一級）衍射條件：結合以上二式，得結合以上二式，得DhDppppxxsin2/OCAPOPDDAOOC 2/2/sinDx 考慮二級衍射等，則有考慮二級衍射等，則有1.11)1.11)(1(1.hpxx39hpzhpyhpxzyx海森堡測不準關系式： 上式表明：對于微觀粒子的坐標描述得愈準確（即上式表明：對于微觀粒子的坐標描述得愈準確（即坐標不確定量愈小），其動量的描述就愈不準確（即動坐標不確定量愈?。鋭恿康拿枋鼍陀粶蚀_（即動量的不確定量愈大）。反之，動量的描述愈準確，坐標量的不確定量愈大）。反

23、之，動量的描述愈準確，坐標的描述就愈不準確。的描述就愈不準確。測不準關系的產生來源于物質的波粒二象性。測不準關系的產生來源于物質的波粒二象性。 對于能量對于能量 E 和時間和時間 t 的同時測定，有類似的不確定的同時測定，有類似的不確定關系：關系：1.12)1.12)(1(1.2/ tE 測不準原理測不準原理40第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征說明：1. 坐標與同一方向上的動量分量不能同時確定。x與 Py 之間不存在上述關系。2. 測不準原理在宏觀體系中也適用，只不過是測不準量小到了可忽略的程度，無實際意義。測不準關系式可用于判斷哪些物體其運動規(guī)律可用經

24、典力學處理，而哪些則必須用量子力學處理。 41第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征所以，子彈位置的不確定范圍是微不足道的?？梢娮訌椀膭恿亢臀恢枚寄芫_地確定，不確定關系對宏觀物體來說沒有實際意義。 11smkg0 . 2smkg20001. 0 mvp1414smkg100 . 2smkg2100 . 1%01. 0ppm103 . 3m1021063. 630434phx例.一顆質量為10g的子彈，具有200ms-1的速率，若其動量的不確定范圍為動量的0.01%(這在宏觀范圍已十分精確)，則該子彈位置的不確定量范圍為多大?解: 子彈的動量動量的不確定范圍由

25、不確定關系式，得子彈位置的不確定范圍42第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征我們知道原子大小的數(shù)量級為10-10m，電子則更小。在這種情況下，企圖精確地確定電子的位置和動量已沒有實際意義。 128131smkg108 . 1smkg200101 . 9 mvp1321284smkg0 . 18 . 1 smkg0 . 18 . 1100 . 1%01. 0ppm107 . 3m108 . 11063. 623234phx例. 一電子具有200ms-1的速率，動量的不確定范圍為動量的0.01%(足夠精確)，則該電子的位置不確定范圍有多大?解 : 電子的動量為動

26、量的不確定范圍由不確定關系式，得電子位置的不確定范圍43第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.1 微觀粒子的運動特征 宏觀物體宏觀物體 微觀粒子微觀粒子具有同時確定的坐標和動量具有同時確定的坐標和動量 沒有同時確定的坐標和動量沒有同時確定的坐標和動量可用牛頓力學描述。可用牛頓力學描述。 需用量子力學描述。需用量子力學描述。 有連續(xù)可測的運動軌道，可有連續(xù)可測的運動軌道，可 有概率分布特性，不可能分辨有概率分布特性，不可能分辨 追蹤各個物體的運動軌跡。追蹤各個物體的運動軌跡。 出各個粒子的軌跡。出各個粒子的軌跡。體系能量可以為任意的、連體系能量可以為任意的、連 能量量子化能量量子化

27、。續(xù)變化的數(shù)值。續(xù)變化的數(shù)值。不確定度關系無實際意義不確定度關系無實際意義 。 遵循不確定度關系。遵循不確定度關系。微觀粒子和宏觀物體的特性對比44第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.2 量子力學基本假設45第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.2 量子力學基本假設1. 波函數(shù)和微觀粒子的狀態(tài)2. 力學量和算符3. 本征態(tài)、本征值和Schrodinger方程4. 態(tài)疊加原理5. Pauli（泡利）原理46第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.2 量子力學基本假設1. 波函數(shù)和微觀粒子的狀態(tài)假定假定 I： 對于一個微觀體系，它的微觀狀態(tài)和有關情況可用波函數(shù)

28、(x,y,z,t)表示。 是體系的狀態(tài)函數(shù)，是體系中所有粒子的坐標函數(shù)，也是時間的函數(shù)。它決定著體系的全部可觀測的性質。 (x1,y1,z1,x2,y2,z2,t)-兩個粒子體系波函數(shù)47第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.2 量子力學基本假設單粒子一維運動波函數(shù)單粒子一維運動波函數(shù)具有一定能量E和動量P的自由粒子沿著x方向運動，相當于一個平面單色波，平面單色波的波動方程為：L.deBroglie關系式： P=h/ E=h=A expi2(x/- t)=A exp（i2/h）(x px-Et)48第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.2 量子力學基本假設一般為復數(shù)形式

29、： fig，f和g均為坐標的實函數(shù)。 的共軛復數(shù)*fig， *f2g2，因此*是實函數(shù), 且為正值。為書寫方便，常用2代替*，故有： 。不含時間的波函數(shù)(x, y, z) 稱為定態(tài)波函數(shù)。 如在化學中，對于孤立的原子或分子體系，在不受外力的情況下，其電子在空間各點的概率密度分布不隨時間改變?；瘜W中一般研究的是不含時間的定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)并不等于靜止。22* 49第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.2 量子力學基本假設1. 在原子、分子等體系中，將稱為原子軌道或分子軌道2. 幾率密度(概率密度)：單位體積內找到電子的幾率，即*；3. 幾率(概率)：空間某點附近體積元d中電子出現(xiàn)的 概

30、率，即 *d；4. 電子云：用點的疏密表示單位體積內找到電子的幾 率,與 *是一回事。505. 5. 的具體形式：的具體形式：雖然不能把雖然不能把 看成物理波，但看成物理波，但 是狀態(tài)的是狀態(tài)的一種數(shù)學表達，能給出關于體系狀態(tài)和該狀態(tài)各種物理量一種數(shù)學表達，能給出關于體系狀態(tài)和該狀態(tài)各種物理量的取值及其變化的信息，對了解體系的各種性質極為重要。的取值及其變化的信息，對了解體系的各種性質極為重要。因此，用量子力學處理微觀體系，就是要設法求出因此，用量子力學處理微觀體系，就是要設法求出 的具的具體形式。體形式。6. （x,y,z）在空間某點的數(shù)值可能是正、也可能是負，微）在空間某點的數(shù)值可能是正、

31、也可能是負，微粒的波性通過粒的波性通過的的+ +、- -號反映出來，這和光波是相似的。號反映出來，這和光波是相似的。 + +、- -號涉及狀態(tài)函數(shù)的重疊。號涉及狀態(tài)函數(shù)的重疊。7. *具有幾率密度的意義，據此可引出具有幾率密度的意義，據此可引出一個很重要的性一個很重要的性質：質： 與與KK描述同一狀態(tài)描述同一狀態(tài) 為此波函數(shù)必須歸一化為此波函數(shù)必須歸一化 。(x,y,z)?51第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.2 量子力學基本假設合格波函數(shù)要滿足的條件合格波函數(shù)要滿足的條件單值性| | |2 2表示粒子在空間某點出現(xiàn)的概率密度，必須是一個確定的值；連續(xù)性從物理上，粒子在空間各處

32、出現(xiàn)的概率密度呈波動性，是連續(xù)變化的，因此波函數(shù)必須在變數(shù)變化的全部區(qū)域內是連續(xù)的，并且具有連續(xù)的一級微商；52第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.2 量子力學基本假設平方可積即在整個空間的積分*d應為一有限數(shù)，通常要求波函數(shù)歸一化，即*d1。53如： *d=Kd=K 則需將則需將歸一化歸一化 設設=c=c， 已歸一化已歸一化 *d=1=cd=1=c2 22 2d=cd=c2 2K=1K=1 c=1/K c=1/K1/2 1/2 c c為歸一化系數(shù)為歸一化系數(shù)54 關 于關 于 的 物 理 意 義的 物 理 意 義 , 目 前 流 行 的 是目 前 流 行 的 是M.Born的解

33、釋：的解釋：*代表時刻代表時刻t在空間在空間q點發(fā)點發(fā)現(xiàn)粒子的現(xiàn)粒子的概率密度概率密度,*d是時刻是時刻t在空間在空間q點點附近微體積元附近微體積元d內發(fā)現(xiàn)粒子的內發(fā)現(xiàn)粒子的概率概率. M. Born為此獲為此獲1954年諾貝爾物理學獎年諾貝爾物理學獎. 概率作為一種基本法則進入了物理學概率作為一種基本法則進入了物理學,被稱為波函數(shù)被稱為波函數(shù), 這種波被認為是一種這種波被認為是一種概率波概率波.波函數(shù)的概率解釋55例：下列三個函數(shù)，是否符合合格化條件?56第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.2 量子力學基本假設2. 物理量和算符假設假設II：對一個微觀體系的每個可觀測的物理量都

34、對應著一個線性自軛（厄米）算符。57第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.2 量子力學基本假設 算符：對某一函數(shù)進行運算算符：對某一函數(shù)進行運算,規(guī)定運算操作性質的符號。規(guī)定運算操作性質的符號。 例：例：+、tg、d/dx 和和 C6（旋轉（旋轉60）等）等 一個算符作用于一個函數(shù)通常得到另一個函數(shù)：一個算符作用于一個函數(shù)通常得到另一個函數(shù)： d/dx (3x25x +3 + cosx) = 6x 5 sinx 通常給字母上加一尖號表示算符通常給字母上加一尖號表示算符 ，如，如 表示某一算符，表示某一算符， U是被是被 施以運算的對象，則寫成施以運算的對象，則寫成 U，并稱為算符，

35、并稱為算符 作作用于用于U58 在量子力學中，物理量在量子力學中，物理量 A 對應的算符寫作對應的算符寫作 。當。當 滿足滿足*)(dAdA時，稱時，稱 為為 線性算符線性算符。當。當 滿足滿足或或時，稱時，稱 為為 Hermite算符算符。A521*122*1).()( dAdA AAAA第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.2 量子力學基本假設(12) 1 259 xdxeedxedxdiedxAxdxeedxedxdiedxAeixixixixixixixixix)()()()()(* 則若,ixedxdiA例：例：算符。算符。為為Hermitedxdi第一章第一章 量子力學

36、基礎知識量子力學基礎知識1.2 量子力學基本假設60例例. , , exp, 中那些是線性算符中那些是線性算符? dxddxd解答解答: 和和 是線性算符是線性算符.61第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.2 量子力學基本假設力學量算符力學量算符位置x，時間t勢能 V動量的x軸分量px動能T=p2/2m角動量的z軸分量總能量E=T+Vxixp 22222222222mzyxmTxyyxiMzVmH222ttxx,VV 力學量與算符的對應關系如下表：量子力學需用線性自軛算符，目的是使算符對應的本征值為實數(shù)。62那么對那么對所描述的這個微觀體系的狀態(tài)，物理量所描述的這個微觀體系的狀態(tài)

37、，物理量A就有就有確定的數(shù)值確定的數(shù)值 a 。).(721 aA 本征方程本征方程本征函數(shù)本征函數(shù)本征值本征值 假定假定 III 若某一物理量若某一物理量A的算符的算符 作用于某一狀作用于某一狀態(tài)函數(shù)態(tài)函數(shù)，等于某一常數(shù)，等于某一常數(shù) a a 乘以乘以，即，即A第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識3. 本征態(tài)、本征值和Schrodinger方程1.2 量子力學基本假設63本征 方程 當當是是 的本征函數(shù)時，該物理量的實驗測量值就的本征函數(shù)時，該物理量的實驗測量值就對應于對應于 的本征值的本征值 a a。如，當氫原子處于。如，當氫原子處于1s1s軌道時，有軌道時，有sssseVEH11

38、11613 . 所以此時氫原子的能量為所以此時氫原子的能量為- -13.6 eV。本本 假假 設設AA64第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.2 量子力學基本假設Schrdinger方程 能量算符的本征方程，是決定體系能量算符的本征值（體系中某狀態(tài)的能量E）和本征函數(shù)的方程，是量子力學的基本方程。具體形式為：),(),(zyxEzyxH含時間的含時間的Shrdinger方程為：方程為：).(1121 tiH 能量算符的本征方程能量算符的本征方程EVmh)8(222定態(tài)定態(tài)Schrdinger方程方程65 量子力學可證明：量子力學可證明：常數(shù)常數(shù)E E是粒子的能量，等于粒子是粒子的

39、能量，等于粒子 的動能和的動能和勢能之和。勢能之和。該方程為該方程為Schrdinger方程方程一般表達式一般表達式，對于每一，對于每一個指定的具體體系，將該體系的勢能個指定的具體體系，將該體系的勢能V公式代入，則可得該體公式代入，則可得該體系的系的Schrdinger 方程方程該方程為體系能量算符的本征方程。該方程為體系能量算符的本征方程。方程的物理意義：方程的物理意義： 對一個質量為對一個質量為m的粒子來說，當它處于勢能為的粒子來說，當它處于勢能為V(x,y,z)力場中運動時，其每一個定態(tài)可以用滿足這個方程合理解的力場中運動時，其每一個定態(tài)可以用滿足這個方程合理解的波函數(shù)波函數(shù)來描述，與每

40、一個來描述，與每一個 相應的常數(shù)相應的常數(shù)E就是粒子處在該就是粒子處在該定態(tài)時的總能量。定態(tài)時的總能量。66第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.2 量子力學基本假設 =a *da*d ( )*d=a* * d對于自扼算符： *d=( )*d a=a*，即a一定是實數(shù)自扼算符的重要性質：自扼算符的本征值一定是實數(shù)。67 例例1：某粒子的運動狀態(tài)可用波函數(shù)：某粒子的運動狀態(tài)可用波函數(shù) 來表示，求來表示，求其動量算符其動量算符 的本征值。的本征值。解：解： xPixNedxdiPx/ixixixNeNeiNedxdi2本征值為本征值為 68 例例2. 某一體系的哈密頓算符為某一體系的哈

41、密頓算符為 ， 證明：證明： 是是 的本征函數(shù)，并求其相應的本征值的本征函數(shù)，并求其相應的本征值(A 為歸一化因子為歸一化因子0 x 0； 按經典力學粒子在箱內所有位置都一樣，按量子力學箱內各處粒子的幾率密度是不均勻的； 可正可負，=0稱節(jié)點，節(jié)點數(shù)隨量子數(shù)增加，經典力學難理解。0000n=3n=2n=1xl0000*E2E1E3n=3n=2n=1xl86第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.3 箱中粒子的薛定諤方程及其解 受一定勢能場束縛的粒子的共同特征 粒子可以存在多種運動狀態(tài)，它們可由1，2， ，n等描述； 能量量子化； 存在零點能: 沒有經典運動軌道，只有幾率分布； 存在節(jié)

42、點，節(jié)點越多，能量越高。 當En=n2h2/8ml2中m、l增大到宏觀數(shù)量時，能級間隔變小，能量變?yōu)檫B續(xù)，量子效應消失。量子效應2218mlhE 87一維勢箱波函數(shù)的一維勢箱波函數(shù)的正交歸一化正交歸一化波函數(shù)的正交性：當波函數(shù)的正交性：當 m n 時，時，0)cos()cos(1sinsin2)()(000 lllnmdxxlnmxlnmlxdxlnxlmldxxx 結合波函數(shù)的正交性和歸一性，可寫出結合波函數(shù)的正交性和歸一性，可寫出 )(0)(1)()(nmnmdxxxmnnmlo 本征函數(shù)本征函數(shù)n(x) 的全體構成正交歸一的的全體構成正交歸一的完備集完備集 n(x) 。1.3 箱中粒子的

43、箱中粒子的Shrdinger方程及其解方程及其解88第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.3 箱中粒子的薛定諤方程及其解一維勢箱中粒子的各種物理量（1 1）粒子在箱中的平均位置）粒子在箱中的平均位置值：無本征值，只能求平均由于x ,cx , xx nndxlxnsinl2xlnsinl2dxxxl0nl0*nxdxx/lnxldxlxnxlll 02022cos12sin2）（22sin22cos221022llxnxnllxnnlxll粒子的平均位置在勢箱的中央，說明它在勢箱左、右粒子的平均位置在勢箱的中央，說明它在勢箱左、右兩個半邊出現(xiàn)的幾率各為兩個半邊出現(xiàn)的幾率各為0.5，即

44、，即 圖形對勢箱中心點圖形對勢箱中心點是對稱的。是對稱的。2naaxxaaxaxdxxsincoscos289第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.3 箱中粒子的薛定諤方程及其解（2）粒子動量的）粒子動量的x軸分量軸分量px cP Pnnxx也無本征值，即可以驗證，dxPPnxnx0*ldxlxnsindxd2ihlxnsinl2l0lxndsinlxnsinlihl002)/(sin02lihxxlxnl90第一章第一章 量子力學基礎知識量子力學基礎知識1.3 箱中粒子的薛定諤方程及其解（3）粒子的動量平方px2值lxnl2dxdhpnxsin422222lxncosl2lndxd4h22lx