地球擾動(dòng)引力場(chǎng)的計(jì)算

1、地球擾動(dòng)引（重）力場(chǎng)的計(jì)算方法一、研究擾動(dòng)引（重）力場(chǎng)的意義物理大地測(cè)量的主要目標(biāo)是確定地球外部重力場(chǎng)（全球重力場(chǎng)模型）和大地水準(zhǔn)面（尤其是區(qū)域性高分辨率、高精度大地水準(zhǔn)面模型），這兩項(xiàng)任務(wù)緊密相關(guān)，是一個(gè)問題的兩個(gè)方面。這兩種模型的建立，理論上都?xì)w結(jié)為求解重力邊值問題。建立了一個(gè)地球重力位模型，即擾動(dòng)位模型，也就確定了由這個(gè)模型定義的大地水準(zhǔn)面。二、擾動(dòng)引（重）力場(chǎng)的定義由于地球形狀的不規(guī)則和內(nèi)部質(zhì)量分布的不均勻，地球重力場(chǎng)是很復(fù)雜的。它可以分解為兩部分。一部分是規(guī)則的，可以看作是一個(gè)形狀和質(zhì)量分布都很規(guī)則的質(zhì)體所產(chǎn)生的重力 場(chǎng)，而且它占了地球重力場(chǎng)的絕大部分，通常稱之為正常重力場(chǎng)； 剩余的

2、微小部分極不規(guī)則，稱之為擾動(dòng)重力場(chǎng)。因正常重力場(chǎng)是己知的，只要求得了擾動(dòng)重力場(chǎng)，加上己知的正常重力 場(chǎng)，實(shí)際的地球重力場(chǎng)就可求得。引入正常橢球作為地球形狀及其重力場(chǎng)的一個(gè)近似體，它所產(chǎn)生的重力位稱為正常重力位，記為U,相應(yīng)的正常重力記為卜真正的地王重力位 W和正常重力位 U之差就是擾動(dòng)重力場(chǎng)中的重力位值，稱為擾動(dòng)位，記為T,即擾動(dòng)位在地球表面的外部空間中是調(diào)和函數(shù)，它滿足Laplace方程由地面上測(cè)量的重力與正常重力之差的數(shù)值提供了求解上面方程的邊界條件。因?yàn)橹?力g與正常重力 出別是重力位與正常重力位對(duì)外法線反方向的偏導(dǎo)，即有式中， £和-±分別為沿大地水準(zhǔn)面的外法線方向

3、（正高方向）和沿參考橢球面的外法線fh fn方向的偏導(dǎo)，上式對(duì)沿這兩種方向的偏導(dǎo)做了近似相等的處理。通常稱為純重力異常或擾動(dòng)重力，g由重力測(cè)量得到，丫則通過正常重力公式計(jì)算得到。三、擾動(dòng)重力與重力異常之間的關(guān)系擾動(dòng)重力與重力異常具有近乎相同的頻譜特征，尤其在高頻段，兩者可以說是相等的， 它們?cè)诟黝悊栴}的實(shí)際應(yīng)用中能夠發(fā)揮相同的作用。不過，擾動(dòng)重力較重力異常更易于重力場(chǎng)計(jì)算。對(duì)比以擾動(dòng)重力為輸入量的Hotine積分和以重力異常為輸入量的Stokes積分，前者的核函數(shù)較更簡(jiǎn)單，因此更便于計(jì)算。在平面近似時(shí)兩者完全相同。目前在重力場(chǎng)計(jì)算中 引入的各種快速算法（如 FFT）也同時(shí)適用于以擾動(dòng)重力為輸入

4、量的Hotine積分。此處不加證明，直接給出兩者之間的關(guān)系式如下或上式中，Ag為重力異常，為高程異常。利用該式對(duì)重力異常進(jìn)行轉(zhuǎn)換所引起的誤差約為 05.mGal。四、地球擾動(dòng)引力場(chǎng)的計(jì)算確定地球擾動(dòng)引力場(chǎng)的基本思路是：根據(jù)一種或多種重力數(shù)據(jù)作為邊值條件，建立關(guān)于擾動(dòng)位的相應(yīng)重力的大地測(cè)量邊值問題。1. 物理大地測(cè)量邊值問題數(shù)學(xué)上，邊值問題是指已知某一物理量在某一空間內(nèi)滿足的微分方程（稱為泛定方程）的形式，并給定該物理量在該空間邊界上滿足的方程（稱為邊值條件或約束條件），進(jìn)而確定符合邊值條件的微分方程的解，即確定該物理量在該空間內(nèi)的解析形式。根據(jù)邊值條件的形式，邊值問題又分為3類：（1） 第一類

5、邊值問題（Dirichlet邊值問題）：直接給出邊界上該物理量的值。（2） 第二類邊值問題（Neumann邊值問題）：給出邊界上該物理量垂直于該邊界面的偏導(dǎo) 數(shù)值。（3） 第三類邊值問題（Robin邊值問題、混合邊值問題）：給出邊界上該物理量及其垂直 偏導(dǎo)的線性組合。具體到物理大地測(cè)量學(xué)中，該待定的物理量就是描述地球擾動(dòng)引力場(chǎng)的擾動(dòng)位T,泛定方程為Laplace方程。不同類型的觀測(cè)值（或可通過計(jì)算得到的數(shù)據(jù)）實(shí)際上定義了不同類 型的邊值問題，不同的邊界面則構(gòu)成了特定的空間，并可能對(duì)某一類型的邊值問題進(jìn)行進(jìn)一步的細(xì)分。傳統(tǒng)的作業(yè)方法是通過測(cè)量地球表面固定點(diǎn)的重力值、水平坐標(biāo)和高程得到重力異常來求

6、解混合邊值問題。隨著三維定位技術(shù)的發(fā)展，一些新的重力數(shù)據(jù)類型，例如地球表面的擾 動(dòng)重力數(shù)據(jù)、航空重力數(shù)據(jù)以及衛(wèi)星重力數(shù)據(jù)等相繼出現(xiàn)，數(shù)據(jù)精度、計(jì)算方法都有了很大的進(jìn)步，需要解決的邊值問題類型也得以擴(kuò)充。利用這些數(shù)據(jù)來求定高精度的地球外部重力場(chǎng)顯得越來越重要。以下將對(duì)物理大地測(cè)量中涉及到的主要邊值問題一一解釋。2. Neumann邊值問題由于前文曾證明故若計(jì)算得到擾動(dòng)重力 6g ,便可得到第二類邊值問題。具體描述為其中，第一式為泛定方程（Laplace方程），第二式為邊界條件，它決定了邊值問題的類 型，第三式正則條件本質(zhì)上也是一種邊界條件（無窮遠(yuǎn)處為地球表面外部空間的另一邊界）但該邊界條件并不決

7、定邊值問題的類型。擾動(dòng)重力6g由前文公式 可計(jì)算得到，其中，地面點(diǎn)a的重力gA由重力測(cè)量得到，地面點(diǎn)的正常重力？A可由正常重力向上延拓計(jì)算得到 式中為地面點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橢球面上的正常重力。若需更精密的計(jì)算，上式還可以進(jìn)一步增加 二階項(xiàng)、三階項(xiàng)等。該邊值問題的球近似解為 式中H （甲）為Hotine積分核函數(shù)，a為單位球面，中為待定點(diǎn)和積分面元之間的球面角距。H （中）具體形式為3. Stokes問題該問題的數(shù)學(xué)描述為若將大地水準(zhǔn)面近似為正球體，則Stokes問題的邊界條件可以球近似為式中，R為正球體的半徑,故可知：:r表示沿徑向的偏導(dǎo)。該正球體應(yīng)與地球橢球體的體積相等,Stokes問題有多種解算方法

8、，Stokes解出的結(jié)果為（1894）式中S促）為Stokes積分核函數(shù)，其具體形式為4. Molodensky 問題Stokes問題存在一些缺陷。 首先是Stokes的邊界面（大地水準(zhǔn)面）是未知的，因此Stokes 問題實(shí)際上是一個(gè)自由邊值問題。其次，正高不能精確地確定。地面點(diǎn)到平均橢球體表面的高度（即大地高 H）可分為大地水準(zhǔn)面高 N和正高h(yuǎn)兩部分。N通過解算Stokes問題得到， 而h定義為地面點(diǎn)的位基數(shù)C與沿地面點(diǎn)的垂線方向至大地水準(zhǔn)面這一路徑上的平均重力gm的比值，無法精確確定。其次是只能通過水準(zhǔn)測(cè)量近似得到。此外，在進(jìn)行重力歸算時(shí)要對(duì)重力梯度及地形質(zhì)量的密度作假設(shè)，并且要移動(dòng)質(zhì)量，

9、使得大地水準(zhǔn)面外部不再存在質(zhì)量。因此，Molodensky以正常高為基礎(chǔ)，提出一種以（似）地球表面為邊界面的邊值問題來研究地球的形狀和外部擾動(dòng)重力場(chǎng)。具體來說，Molodensky理論已知邊界面上所有點(diǎn)的重力位（水準(zhǔn)測(cè)量結(jié)合重力測(cè)量得到）和重力向量（重力測(cè)量得到） ，從而確定其表面及其 外部位。其數(shù)學(xué)描述為上式中的邊值條件已經(jīng)利用了球近似，并忽略了正常重力長計(jì)算中的橢球扁率f項(xiàng)，這對(duì)解算高程異常I的影響可達(dá) cm級(jí)。例如，美國大地水準(zhǔn)面的橢球改正范圍為-5.63.1cm,精密解算則需要加橢球改正。其解為一般取前2項(xiàng)加和式中，中0和叼分別為地球表面層的密度與萬有引力常數(shù)的乘積中的零次近似值和一次

10、近似值，G0和G則為重力異常 少的零次近似值和一次近似值。Molodensky提出一個(gè)巧妙的方法（1962）,計(jì)算二次和三次的趨近值，但試驗(yàn)表明，在很多情況下一次趨近已有足夠精度。5. Bjerhammar 問題計(jì)算Molodensky邊值問題的主要困難在于邊界面（似地球表面，或者說地球表面）的形狀很復(fù)雜，其解可看成是將地面重力異常按其空間梯度值歸算到了一個(gè)球面后再按Stokes邊值問題解算的結(jié)果。Bjerhammar進(jìn)一步發(fā)展了這種思想，他假設(shè)地球外部擾動(dòng)位也可由一個(gè)以球面為邊界U » 一、 . Z . » . .V . U - >-*. . . . . .9 . 面的邊值問題解出。構(gòu)造球面上的重力異