行列式計(jì)算方法

1、關(guān)于行列式計(jì)算方法的研究 摘要：本文探討了行列式的計(jì)算方法問題，介紹了 計(jì)算n階行列式的幾種行之有效的方法. 除比較常用的定義法，化三角形法，升階法，數(shù)學(xué)歸納法等法外，還介紹了利用降階定理，冪級(jí)數(shù)變換，換元等技巧性較高的計(jì)算方法.只要靈活地運(yùn)用這些計(jì)算技巧和方法，就可以基本上解決n階行列式的計(jì)算問題. 關(guān)鍵詞：n階行列式；遞推關(guān)系式；升階；冪級(jí)數(shù)變換；換元一、引言 行列式的計(jì)算是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一,也是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn).對(duì)于階數(shù)較低的行列式,一般可直接利用行列式的定義和性質(zhì)計(jì)算出結(jié)果.對(duì)于一般的n階行列式,特別是當(dāng)n較大時(shí)，直接用定義計(jì)算行列式往往是困難和繁瑣的，因此研究行列式的計(jì)算方法則

2、顯得十分必要.通常需靈活運(yùn)用一些計(jì)算技巧和方法，使計(jì)算大大簡化，從而得出結(jié)果.本文介紹了幾種計(jì)算方法，只要將各種方法綜合地應(yīng)用起來，就可以基本上解決n階行列式的計(jì)算問題.二、行列式的定義及性質(zhì) 1 定義：n階行列式 nnnnnnijnaaaaaaaaaaD.212222111211nnnjjjnjjjjjjaaa.21).(212121.)1(其中).(21njjj為排列njjj.21的逆序數(shù). 2 性質(zhì) (1) 行列互換，行列式不變. (2) 數(shù)k乘行列式的一行相當(dāng)于數(shù)k乘此行列式. (3) 若行列式中有兩行相同，那么行列式為零. (4) 若行列式中兩行成比例，那么行列式為零.(5) 若行列

3、式中某行（列）的每一個(gè)元素均為兩數(shù)之和，則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式分別以這兩組數(shù)作為該行（列）元素，其余各行（列）與原行列式相同. (6) 把行列式中一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變. (7) 對(duì)換行列式中兩行的位置，行列式反號(hào).三、行列式的計(jì)算方法 1 利用行列式的定義來計(jì)算 對(duì)于含零元素較多的行列式可用定義來計(jì)算. 因?yàn)樾辛惺降捻?xiàng)中有一個(gè)因數(shù)為零時(shí)，該項(xiàng)的值 就為零，故只須求出所有非零項(xiàng)即可.（法一）求出位于不同行，不同列的非零元素乘積的所有項(xiàng). 當(dāng)行列式中含大量零元素，尤其是行列式的非零元素乘積項(xiàng)只有一項(xiàng)時(shí)，用此法計(jì)算非常簡便.定理1 一個(gè)n階行列式中等于零的元素個(gè)數(shù)如

4、果比nnn多，則此行列式等于零.證明：由行列式定義，該行列式展開后都是n個(gè)元素相乘，而n階行列式共有nn個(gè)元素.若等于零的元素個(gè)數(shù)大于nnn，那么非零元素個(gè)數(shù)就小于n個(gè).因此該行列式的每項(xiàng)都至少含一個(gè)零元素，所以每項(xiàng)必等于零，故此行列式等于零.（法二）求出非零元素乘積 nnjjjaaa.2121的列下標(biāo) njjj,.,21的所有n元排列，即可求出行列式的所有非零項(xiàng).2 化三角形法 :把已知行列式通過行列式的性質(zhì)化為下列三角形行列式中的某一種形式，則其值就可求出.n.00.0.00.021n.0.0.21n.0.0.021n.21=0.0.0.0.0021n=0.0.0.21n=.0.0021n

5、=nnn.) 1(212)1( (1)箭形行列式;(2)可化為箭形行列式的行式 (3)行（列）的和相等的行列式這幾種類型的行列式均可化為三角形行列式.3. 用遞推法計(jì)算行列式 :利用行列式的性質(zhì),把某一行列 式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式的關(guān)系式(稱為遞推關(guān)系式），根據(jù)所得遞推關(guān)系式及低階某初始行列式的值便可遞推求得所需的結(jié)果. 文章給出了一類可化為21nnnbDaDD的遞歸行列式. 的計(jì)算方法。當(dāng)b等于0 時(shí)，易得11DaDnn當(dāng)b不等于0時(shí)，1211nnnCCD122121,DDCDDC02baxx,其中和為特征方程的兩根。4. 用升階法計(jì)算行列式 l 升階法指的是在原行列式中再添加一

6、行一列，使原來的n階成n+1階，且往往讓n+1階行列式的值與原n階行列式的值相等.一般來說,階數(shù)高的比階數(shù)低的計(jì)算更復(fù)雜些.但如果合理地選擇所添加的行，列元素，使新的行列式更便于“消零”的話，則升階后有利于計(jì)算行列式的值.l 凡可利用升階法計(jì)算的行列式具有的特點(diǎn)是：除主對(duì)角線上的元素外，其余元素都相同，或任兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例.升階時(shí)，新行（列）由哪些元素組成？添加在哪個(gè)位置？要根據(jù)原行列式的特點(diǎn)作適當(dāng)?shù)倪x擇.5. 用降階定理計(jì)算行列式 ,將行列式與矩陣聯(lián)系在一起，用行列式的降階定理計(jì)算n階行列式，以使方法簡單化.定理定理2 2 設(shè) DCBAP,其中A為年n階，D為m階方陣。（1）若A可逆

7、， 則BCADAP1（2）若D可逆， 則CBDADP1證明證明：（1）若A可逆，由分塊矩陣的乘法，有BCADAEBAEDCBAECAE111000010011EBAEECAE由于，所以兩邊取行列式，BCADADCBAP1，同理可證（2）。 定理定理3 3 設(shè)A與D分別為n階與m階可逆陣，B與C分 別為nm陣與mn陣，則CBDAADBCAD11證明證明：設(shè)DCBAP,由定理2BCADADCBAP1CBDAD1故，CBDAADBCAD11。6. 用冪級(jí)數(shù)變換計(jì)算行列式 把一類n階行列式轉(zhuǎn)化為差分方程，再利用冪級(jí)數(shù)變換求解差分方程，即可求出行列式的值. 任給一個(gè)數(shù)列 na,則可相應(yīng)地作出一個(gè)冪級(jí)數(shù)

8、0)(nnnxaxF,將)(xF叫做數(shù)列 na的冪級(jí)數(shù)變換.給定一個(gè)冪級(jí)數(shù)0)(nnnxaxF唯一確定數(shù)列 na數(shù)列與冪級(jí)數(shù)有對(duì)應(yīng)關(guān)系. 數(shù)列之間的運(yùn)算關(guān)系同冪級(jí)數(shù)變換之間的運(yùn)算關(guān)系是對(duì)應(yīng)的.差分方程的結(jié)構(gòu)是由數(shù)列項(xiàng)之間的遞推關(guān)系而確定的，把行列式轉(zhuǎn)化為差分方程，引入冪級(jí)數(shù)變換，通過冪級(jí)數(shù)的分析運(yùn)算可求出行列式的值. 例1.計(jì)算行列式 解： 將按第1列展開得： 此行列式序列是斐波那契數(shù)列，開始項(xiàng)為1,2，以后各項(xiàng)均為前兩項(xiàng)之和.式變形為， 設(shè) 110.0001110.00001110.00.0.0111000.011100.001110.00011nD21111, 121DD21nnnDDD.

9、)5 , 4 , 3(021nDDDnnn.)(33221nnxDxDxDxDxF用-x乘式得: 用 乘式得: +，得:又 所以方程 的兩根為： 且有 .)(1433221nnxDxDxDxDxxF)(2x.)(25342312nnxDxDxDxDxFx.)(.)()()1)(21312321212nnnnxDDDxDDDxDDxDxxxF.)5 , 4 , 3.(021nDDDnnn21111, 121DD1111)(222xxxxxxxF012xx251,25121xx5, 1.1221xxxx1)11()(11)(1111)(2112212xxxxxxxxxxxxxF1)11()(111

10、2212xxxxxxxx= 比較式與式的系數(shù)，得7. 用換元法計(jì)算行列式:此法應(yīng)用于當(dāng)以同一個(gè)數(shù)改變行列式的所有元素時(shí)，其各元素的代數(shù)余子式容易計(jì)算的情形，它基于下面的定理.定理定理4 4 設(shè)則 其中 是元素 的代數(shù)余子式. 1) 1(.) 1(.)(101102212nnnnnnnxxxxxxxx=nnnnnxxxxx1121112)() 1()251()251(5) 1()() 1(11121112nnnnnnnxxxxD)251()251(5111nn=nnnnnnaaaaaaaaaD.212222111211xaxaxaxaxaxaxaxaxaDnnnnnn.2122221112111

11、njiijAxDD1,1ijAija 例2 計(jì)算行列式 解：把 的所有元素都加上-x，得 D的非主對(duì)角線元素的代數(shù)余子式等于零，而每一個(gè)主對(duì)角線元素的代數(shù)余子式等于主對(duì)角線其余元素的積，所以8. 用拉普拉斯定理計(jì)算行列式用拉普拉斯定理計(jì)算行列式 定理5 在行列式D中任選k行（或k列），由這k行（或k列）元素組成的一切k階子式（共可組成 個(gè)k階子式）與它的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式D.xaxaxaDn.00.0.00.021)1.111( )(211xaxaxaxxaxnniiknCnnaxxxaxxxaD.21 niniinnxaxaxaxaxxaxaxaD111121)()()()()(

12、nD例3 計(jì)算解：將 按第n, n+1行展開，則 繼續(xù)依上法展開，直到推出 可得 9. 用數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算行列式：數(shù)學(xué)歸納法一般是在已知行列式的結(jié)果，或猜出其結(jié)果作出嚴(yán)格證明時(shí)用的方法.(論文中附有例12)10 用逐行（或列）相加減法計(jì)算行列式：此法適合這樣一類行列式，每相鄰兩行（列）之間有許多元素相同，且這些相同元素都集中在某個(gè)角上，用此法可化出許多零元素來. 312.4231.1122nnnnnnnnDnnD242312nD2DnnnnnnD)2(312645353424231.2312.5342.112nnnnnnnn例4.計(jì)算階行列式 分析：構(gòu)成本行列式的特點(diǎn)是：第i行元素 即相鄰兩行的

13、對(duì)應(yīng)元素或差為零或差為1，只有一個(gè)元素差為1-x.因此用逐行相減的方法可化出許多零元素及1來. 解解：從第2行起，每一行的（-1）倍都加到上一行上，有 每相鄰兩列之間有許多相同元素(1或0)，且最后一行有(n-1)1.21.23.112.211.321xxxxxxxnnxxnnxnnDn)1,2,.,(iij1ij時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)ijxaij1.11.000.11.10011.11011.111xxxxxxxxD個(gè)元素都是x,因此可再用相鄰兩列逐列相減的方法：從第(n-1)列起，每一列的(-1)倍加到后一列上. (按第1列展開) 注：對(duì)于本題第一次所作的變換逐行相減的結(jié)果，第二次作了逐列相減變換，得出的行列式，再按第一列展開后，成了兩個(gè)n-1階的特殊行列式.若第二次仍然作逐行相減，再按第一列展開，就沒這么簡單.xxxxxxxxxxxxxxn1.00.00.1000.100.0) 1(10.001.00.00.1000.1)1 (1nnnxx1) 1()1 (xxxxxxxxxD10.001.000.00.10000.1000.01結(jié)束語結(jié)束語 綜上所述，筆者介紹了