拋物線單元測試題0001

1、拋腸線期耒復習草無測試題一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共6 0分在每小題給岀的四個選項中,只有一項是符 合題目要求的）h 拋物線y2 = 10x的焦點到準線的距離是（ ）A, 1B. 5C,孕D 102 以拋物線y2 = 2px（p > 0）的焦半徑I PF I為直徑的圓與y軸位置關(guān)系是（）4 相交oB 相切C.相離oD以上三種均有可能3<設AB為過拋物線y2 = 2pg > 0）的焦點的弦，則|A勻的最小值為（）A 匕B pC 2pD 無法確定24 若拋物線）2 =兀上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標為右呼C,辟O諾5. 若雙曲線匚竺1 = 1

2、的左焦點在拋物線y2=2px的準線上，則的值為（）3 1 廣A .2B 3qC.4C. 2|錮=|碼田砒卜°D.|錮*|碼|錮9. 過點M（2,4）作與拋物線y4A.2teB.C. 4aD 2aa二. 填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中的橫線上）13. 若直線心y +1 = 0經(jīng)過拋物線尸=4x的焦點，則實數(shù)a =.14 .過拋物線x2 = 2py（p>0）的焦點F作傾角為30的直線，與拋物線分別交于A、兩 點（A在y軸左側(cè)），則屠=1 5 .已知拋物線y = 6/x2 -1的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點 的三角形而積為.16.

3、 對于拋物線v2=4j±任意一點0,點P（a,0）都滿足PQ>a則"的取值范用是-三、解答題（本大題共6小題，共7 4分，解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟）17. （本小題滿分12分）已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M（-3,加） 到焦點的距離等于5,求拋物線的方程和m的值。 = 8x只有一個公共點的直線/有（）A. 0條°B. 1條。C. 2條小3條1 0.已知拋物線C:/=8.r的焦點為F,準線與x軸的交點為K,點A在C上且AK = 41AF,則 44FK 的面積為（）A.4- B. 8oC. 1 60D.3 211. 拋物線y

4、= 2x2 ±兩點人口）、B（x2o'2）關(guān)于直線y = X + m對稱，且x,-x2=-,則加等于（）23 5A, B 2C 一D 32212. 過拋物線y =（/（“ > 0）的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點,若線段PF與FQ的長分別是P、q,則丄+丄等于（）p q18. (本小題滿分12分)已知頂點在原點,焦點在x軸上的拋物線被直線y = 2x + 截得的弦 長為皿，(1)求拋物線的方程；(2)若拋物線與直線y = 2x-5無公共點，試在拋物線上求 一點,使這點到直線y = 2x-5的距離最短。1 9 .(本小題滿分12分)如圖,已知點F(1,O)，直線l:x

5、 = -9P為平面上的動點,過P作直線/的垂線，垂足為點Q.RQPQF =祁也.(I )求動點P的軌跡C的方程：(II)過點F的直線交軌跡C于4 3兩點,交直線/于點M,已知MA = AiAF.MB = A1BF,求人+人的值.20.(本小題滿分12分)已知拋物線C:y = 2x直線y =尬+ 2交C于A, 3兩點，M是線 段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N .(1)證明:拋物線C在點W處的切線與AB平行；(II)是否存在實數(shù)k使麗麗=0,若存在,求£的值;若不存在，說明理由.2 2.（本題滿分14分）如圖，在平而直角坐標系xOy中，過y軸正方向上一點C（0, c）任作21.（

6、本小題滿分12分）如圖傾斜角為&的直線經(jīng)過拋物線y2 = 8x的焦點F,且與拋物線交于A3兩點（【）求拋物線的焦點F的坐標及準線/的方程； （1【）若a為銳角，作線段43的垂直平分線加交x軸于點P,證明|尸日一|FP|cos2a為左值,并求此立值.解:雙曲線的左焦點坐標為：（-,0)拋物線y2 = 2px的準線方程為47. A解：本小題主要考查拋物線的左義解題。依題設P在拋物線準線的投影為拋物參考篆余一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1B 2p = 10, “ = 5，而焦點到準線的距離是p2. B設Q為PF中點扮別

7、過P、Q作準線/的垂線,貝 iJIQM = -(p+PM) = (p+PF) = - + -IPFI,2 2 2 2點Q到y(tǒng)軸的距離d = IQNI - £ =丄PF，故選B °2 23< C垂直于對稱軸的通徑時最短，即當x = y = ±p24.B 點P到準線的距離即點P到焦點的距離，得PO = PF，過點P所作的髙也是中線P = g，代入到 y2 = x 得 Pv = ± 扌線的焦點為F,則硝,依拋物線的定義知P到該拋物線準線的距離劃,則 點P到點A（0,2）的距離與P到該拋物線準線的距藹之和d =1 PFI + I PAI>I AF 1

8、= J(丄尸 + 22故選 A.V 228. C 解:x2, X3成等差數(shù)列得2兀2=齊+兀3,從而有2（/2+彳）=（召+彳）+ （兀3+上），2 2 2根據(jù)拋物線定義即得:2|Fg| =|碼|+|比| 故選Co9. C解：.點M（2,4）在拋物線尸=張上，.過點M（2,4）作與拋物線y2 = 8x只有一個公共點的直線/只有2條，故選C。10. B解：拋物線C:/=8x的焦點為F（2,0）,準線為x = -2二K（-2,0）設A（x0,兒），過A點向準線作垂線AB.則3（-2,，o）V AK = 42AFAF = AB = x-（-2） = x + 2.由 BK2 = AK2- AB2 得兒

9、$ =（兀 + 2）2,即 8® =（如+2）1 解得 A（2,±4）:、盤K的而積為丄«鬥|兒|=丄x4x4 = 8故選B.2 211 .a 5=7而”一牙=2（禺2召2）,得禺+召=一;，且，y）x2 - %,222在直線y = x+m上，即毛上=空嚴+阻兒+才=® +召+ 2加32（x2 + X）=吃 + 西 + 2?, 2（x2 4-xJ- - 2x2x = x2 + xx + 2m, 2m = 3jn =12. C（特例法）過拋物線），=局（a > 0）的焦點F作與y軸垂直的直線，則p = q = . la/1= 4。9 故選 C op

10、q二、填空題（本大題共4小題,每小題4分，共16分把答案填在題中的橫線上）13. 解：直線心一y + l = 0經(jīng)過拋物線于=4兀的焦點F（l,0）,則g + 1=0g = 1.14. 解:如圖，分別過點人3向拋物線準線作垂線，垂足為C,D：過 A 點作丄3£>于則 AF = AC.BF = BD,AB = AF + BF,BE = BD AC = BF AF,又ZBAE = 30所以竺=丄=>竺二 =丄=>AB 2 BF + AF 2 5 解：拋物線 y = ax2 -1 => x2 = 1 （y +1）,頂點(0.-1)焦點是坐標原點，所以=1=>&

11、#171; =-4a4拋物線=丄疋一1與兩坐標軸的三個交點為(±2,0),(0,-1),所以三角形而積 4S= x4xl = 22尸t216. (y),2設 0(-,/),由 | PQ > |«| W (- - a)2 +t2>at2(t2 + 6 一& /) > 0,尸 + 16 8。02>&/_16 恒成立,則&*一1650山52三、解答題(本大題共6小題，共74分，解答應寫岀文字說明，證明過程或演算步驟)1 7 .解法一、設拋物線方程為r=-2/?x(p>0),則焦點F(彳,0),由題意可得m2 =6p嚴得Im -

12、 2y/6= -2yj6p=4 如準線X = !L故所求的拋物線方程為=一張,加的值為土 26 .解法二、設拋物線方程為y2 = 2px p > 0)，則焦點F(-上,0),2則由拋物線泄義知:IMFI = IMM = 3 + Z = 5,.p = 42故所求的拋物線方程為y2 = -張，加的值為土 26 o1 8解：(1)設拋物線的方程為y2=2px.貝ij<j,消去，y = 2x + l4,v2 一（2一4）兀 + 1 = 0yx.+xJ=，兀x,= -24|AB| = >J + k2 |召 _£| = >/5?。ㄕ?+ 吃）'一力內(nèi)=二）2 _4

13、x = /5J牛-p- a/J,#2 一4卩一 12 = 0,p = -2,或6. y2 = -4x,或y2 = 12x(2)解法一、顯然拋物線y2 = -4x與直線y = 2x-5無公共點，設點卩(一為拋物線),2=_4尤上的任意一點，點P到直線y = 2x-5的距離為，則2x(-?) /-5r + 2t + 0當f = -1時，取得最小值，此時P（-丄,-1）為所求的點4解法二.顯然拋物線y 入 + Ay = 2 = Mx與直線y = 2x 5無公共點，設與直線y = 2x 5平行且與拋物線2 = _4 V相切的直線方程為y = 2x + b沏點為P,則點P即為所求點。 由F： X+ &#

14、39;消去y 并化簡得：4/+4（b + l）x +，=o,y=-4x直線與拋物線相切, A = 16（/? +1）2 -16/r = 0,解得：b = -L2把5 = 一丄代入方程4F+4（b + l）x + b2=0并解得：x = -l,>=-12故所求點為PC-.-1）.419解法一:（1 ）設點P（匕y）,則0（1，y）,由丙遊=帀耳得：(x+l,0)(2,-y) = (x-l, y)<-2, y),化筒得 C :y2 = 4x .(II)設直線AB的方程為:x = w +1(/77 H 0) 設 A3，yj, B(xr y，).又M -L-,K 丿= 4聯(lián)立方程組，消去x

15、得：x = my + Ly2 - Amy-4 = 0, = (-4m)2 +12 > 0 ,故Ji + y2 =4m<7i>2=-in-"皿二久/廣加二麗得：22 2 2+ =人”，”=入”，整理得:入=_1, 入=_2 4m in -4 mm-mymy2解法二：(I )由0?0?=麗施得：FQPQ + PF) = O:.（西一麗）（西+麗）= 0,:.PQ2-PF1 =0,所以點P的軌跡C是拋物線，由題意如，跡C的丿門丄為？2 =4x （II）由l2知加=&喬屈=人8尸得人幾2<0|mb| a2|bf|過點A, B分別作準線/的垂線，垂足分別為網(wǎng)網(wǎng)I

16、 af則“阿f閾二阿由得上胃W.BF BF20.解:解法一：（I ）如圖，設A（勺2彳），3也2寸）, 把y = kx + 2代入y = 2x2得2疋一也一2 = 0,L由韋達住理得召+心=一，召心=一12/. xv = xw = » +， = , :. N 點的坐標為 -,設拋物線在點N處的切線/的方程為yiV 1M 24（48,mk k 二將y = 2x2代入上式得2x2 - rnx += 0,4 8直線/與拋物線C相切，=nr 一2mk +k2 = (m-k)2 =0 ,. m = k 即/初.（II）假設存在實數(shù)I 使NANB = 0側(cè)凡4丄棚，又M是43的中點,由（I）知

17、=扣+兒）詁（鋼+2 +尬2+2）= 釵3+兀2）+ 4乙厶厶F F £+16MN 丄x 軸，.l MN 1=1 yM 一 yjV 1= + 2-=-又I AB 1= Jl + £»l xx _x21= J1 + R»J(X +x?) _4x$2=Jl + _4x(_l)=丄&2 + 1.JF + 16.2* * " = JF +1JF +16，解得k =±2. 84即存在k = ±2,使NANB = O .解法二：(I )如圖，設 A(xe2x), B(xr2xl) 把 y = kx + 2 代入 y = 2a2

18、得k2丘 _kx_2 = 0.由韋達定理得Xj + x2 = , xxx2 =-1(k k2U 8丿- 0=5 =1 = |,_- yv 點的坐標為 y = 2x2 , /. yf = 4x,.拋物線在點N處的切線/的斜率為4x = k. :A/AB. 4（II）假設存在實數(shù)k，使麗麗=0由（）知心=_ k k2,NB = X) ,2對，則4-8 丿NANB =(2 k2/.k2+2旺一一2丿亠/ 8丿可丿k+ 4 x；皆分卜4*+勺卜+£=x2-(x+x2) +1 + 4XX> + k(X + x,) -4十Fx亍応3x(-1)+"亍才(亠自(亠糾=。,£

19、3v-l-<0. .,-3 + _P=0,解得"±2.即存在£ = ±2,使麗麗=0 21. (I)解:設拋物線的標準方程為才=2/zv ,則2p = 8 從而p = 4因此焦點F上,0的坐標為(2,0),題(21)圖12丿又準線方程的一般式為% = -2從而所求準線的方程為x = -2.(II)解法一:如答21圖作AC丄/, BDAJ, 垂足分別為C, D,則由拋物線的泄義知 FA = AC, FB = BD.記人3的橫坐標分別為心，心， 則 = AC = xA + = |M|cos a + + 2 2 2=| 陽 |cosa + 4,解得 |心

20、|=.類似地有FB = 4-FB4COSG,解得|FB| =1 + cosa記直線m 與43 的交點為EJPJ|FE| = FA-AE = |斤4|也學創(chuàng)=|(|FA|-|F5|)144 4cosa 211 - cos a 1+cosa 丿 sin2 a所以£沖=衛(wèi)旦=t- cos a siir a 42 & n a故 |FP|-|FP| cos 2a = 一 (1-cos 2a)=丄二一 =8.siir asiir a解法二：設A(x”兒)，九)，直線AB的斜率為£ = tana,則直線方程為y = £(兀一2)將此式代入y2 =張得一4伙2 + 2* + 4/ = o,故小+七=“伙嚴. k記直線加與 43 的交點為 Eg 兒)，則 x£. - k = 2(<r2),yE=k(xE-2) = ,2!ck4 i (”24 故直線加的方程為y- = 一丄x亠二,-k k k24伙，+ l)_4k2 sin2 a2£ +4令y = 0，得點P的橫坐標xp =；+ 4,故FP = xp 一 xE k從而 |FP|-|FP|cos2<z =4- (1-cos 2a)=心佇=8 為定值. sirr asin a22解:(1)設直線AB的方程為y = kx+c9將該方程代入>'=X2