含絕對值的方程

1、主備人：主備人：劉小英劉小英 授課人授課人：劉小英劉小英授課時間：授課時間：2012014 4年年3 3月月第二講第二講 含絕對值的方程含絕對值的方程從數(shù)軸上看，從數(shù)軸上看，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點離開原點的距離的點離開原點的距離但除零以外，任但除零以外，任何何一個一個絕對值都是表示兩個不同數(shù)的絕對值絕對值都是表示兩個不同數(shù)的絕對值即即一個一個數(shù)與它相反數(shù)的絕對值是一樣的數(shù)與它相反數(shù)的絕對值是一樣的由于這個性由于這個性質(zhì)，所以含有絕對值的方程的求解過程又出現(xiàn)質(zhì)，所以含有絕對值的方程的求解過程又出現(xiàn)了一些新特點本講主要介紹方程中含有絕對了一些新特點本講主要介紹

2、方程中含有絕對值的處理方法值的處理方法一個實數(shù)一個實數(shù)a a的絕對值記作的絕對值記作a a，指的是，指的是由由a a所唯一確定的非負實數(shù)：所唯一確定的非負實數(shù)：由于絕對值的定義，所以含有絕對值的代數(shù)式無由于絕對值的定義，所以含有絕對值的代數(shù)式無法進行統(tǒng)一的代數(shù)運算通常的法進行統(tǒng)一的代數(shù)運算通常的方方法是分別按照法是分別按照絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式取值的正、負情況，去絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式取值的正、負情況，去掉掉絕時值符號，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的代數(shù)式進行運絕時值符號，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的代數(shù)式進行運算算，即含有絕對值的方程的求解，常用，即含有絕對值的方程的求解，常用分類討論分類討論法法在進行分類討論時，要

3、注意所劃分的類別之在進行分類討論時，要注意所劃分的類別之間應(yīng)該間應(yīng)該不重、不漏不重、不漏下面結(jié)合例題予以分析下面結(jié)合例題予以分析例例1 已知：有理數(shù)已知：有理數(shù)x、y、z滿足滿足xy0,并且并且丨丨x丨丨=3，丨，丨y丨丨=2，丨，丨z+1丨丨=2，求，求x+y+z的值。的值。分析：分析：本題本題x，y，z,的符號難以確定，但三者的的符號難以確定，但三者的符號密切聯(lián)系，可圍繞其中一個進行分類討論。符號密切聯(lián)系，可圍繞其中一個進行分類討論。解：由丨解：由丨z+1z+1丨丨=2=2，得，得z+1=z+1=2 2，所以，所以z=1z=1或或z=-3z=-3 由由xy0 xy0yz0知，知，y y，z

4、 z同號；同號； 又丨又丨x x丨丨=3=3，丨，丨y y丨丨=2=2，故，故當(dāng)當(dāng)z=1z=1時，時，x=-3,y=2x=-3,y=2，此時，此時x+y+z=-3+2+1=0 x+y+z=-3+2+1=0當(dāng)當(dāng)z=-3z=-3時，時，x=3,y=-2x=3,y=-2。此時。此時x+y+z=3+(-2)+(-3)=-2x+y+z=3+(-2)+(-3)=-2x+y+zx+y+z的值為的值為0 0或或-2.-2.1 1解下列方程：解下列方程：(1)(1)x-x-5 5+2x+2x= =-5-5； ( (2 2) )3x-3x-1 1= =丨丨2 2x+x+1 1丨丨；練習(xí)一：練習(xí)一：x=-10 x=

5、0或或x=2例例2 2： 解方程解方程x-2x-2+ +2x+12x+1=7=7分析分析： 解含有絕對值符號的方程的關(guān)鍵是去絕對值解含有絕對值符號的方程的關(guān)鍵是去絕對值符號，這可用符號，這可用“零零點分段法點分段法”，即令即令x-2=0,2x+1=0 x-2=0,2x+1=0，分別得到，分別得到x=2,x= x=2,x= 用用2 2，將數(shù)軸分成三段：將數(shù)軸分成三段：x2x2， x x2 2，x x ，然后在每一段上去掉絕對值符號再求解。然后在每一段上去掉絕對值符號再求解。21212121解解: :說明說明： 若在若在x x的某個范圍內(nèi)求解方程時，若求出的未知數(shù)的值的某個范圍內(nèi)求解方程時，若求出

6、的未知數(shù)的值不屬于此范圍內(nèi)，則這樣的解不是方程的解，應(yīng)舍去不屬于此范圍內(nèi)，則這樣的解不是方程的解，應(yīng)舍去（1 1）當(dāng)當(dāng)x x 時，原方程化為時，原方程化為 - -(x-2)(x-2)- -(2x+1)=(2x+1)=7 7，解得：解得：x=-2,x=-2,在所給的范圍在所給的范圍x x 之內(nèi)，之內(nèi)，x=-2x=-2是方程是方程的解；的解；2121（2 2）當(dāng)當(dāng) x x2 2時，原方程化為時，原方程化為 - -(x-2)+(2x+1)=(x-2)+(2x+1)=7 7，解得：解得：x=4,x=4,它不在所給的范圍它不在所給的范圍 x x2 2之內(nèi)，之內(nèi)，所以所以x=4x=4不是方程的解，應(yīng)舍去；

7、不是方程的解，應(yīng)舍去；2121( (3 3) )當(dāng)當(dāng)x22時，原方程化為時，原方程化為 ( (x-2)+(2-2)+(2x+1)=+1)=7 7，解得：解得：x= ,= ,所以在所給的范圍所以在所給的范圍x22之內(nèi)，之內(nèi)，x= =是方程的解；是方程的解；3838綜上所述，原方程的解為綜上所述，原方程的解為x= x= 或或x=-2x=-2381 1解下列方程：解下列方程：(1)(1)x+3x+3- -1 1- -x x=x+1=x+1；( (2 2) )x-2x-2+ +2 2x+1x+1= =8 8；練習(xí)二：練習(xí)二：x=2.5或或x=-1.5x=3或或x=37例例3 3：求方程求方程x-x-2

8、x+12x+1=3=3的不同的解的個數(shù)的不同的解的個數(shù)分析：分析：此方程有兩層絕對值符號，先由此方程有兩層絕對值符號，先由2x+1=02x+1=0得：得：x=-1/2,x=-1/2,然后分別對然后分別對x=-1/2,x-1/2,x-1/2,x-1/2-1/2時，原方程化為時，原方程化為 丨丨1+x1+x丨丨= =3 3，解得：解得：x=2x=2或或x=-4,x=-4,而而x=-4x=-4不在不在x-1/2x-1/2之內(nèi)，應(yīng)舍去；之內(nèi)，應(yīng)舍去；（3 3）當(dāng)當(dāng)x x-1/2-1/2時，原方程化為時，原方程化為 丨丨x+x+(2x+1)(2x+1)丨丨= =3 3，即丨即丨3x+13x+1丨丨=3=

9、3解得：解得：x=2/3x=2/3或或x=-4/3,x=-4/3,而而x=2/3x=2/3不在不在x x-1/2-1/2之內(nèi)，應(yīng)舍去；之內(nèi)，應(yīng)舍去；綜上所述，所求方程的解為綜上所述，所求方程的解為x=2x=2或或x=-4/3x=-4/3，所以原方程，所以原方程不同的解的個數(shù)為不同的解的個數(shù)為2 2個。個。1 1、適合關(guān)系式丨、適合關(guān)系式丨3x-43x-4丨丨+ +丨丨3x+23x+2丨丨=6=6的整數(shù)的整數(shù)x x的值有的值有多少個？多少個？練習(xí)三：練習(xí)三：2個個綜上可知，綜上可知，a=1a=1例例4 4 ：若關(guān)于若關(guān)于x x的方程的方程x-2x-2-1-1=a=a有三個整數(shù)解有三個整數(shù)解則則a

10、 a的值是多少？的值是多少？解解 若若a a0 0，原方程無解，所以，原方程無解，所以a0a0由絕對值的定義由絕對值的定義可知可知x-2x-2-1=-1=a a，所以，所以 x-2x-2=1=1a a(1)(1)若若a a1 1，則，則x-2x-2=1-a=1-a0 0，無解，無解x-2x-2=1=1a a，x x只能有兩個解只能有兩個解x=3+ax=3+a和和x=1-ax=1-a(2)(2)若若0a10a1，則由，則由x-2x-2=1+a=1+a，求得，求得x=1-ax=1-a或或x=3+ax=3+a；由由x-2x-2=1-a=1-a，求得，求得x=1+ax=1+a或或x=3-ax=3-a原

11、方程的解為原方程的解為x=3+ax=3+a，3-a3-a，1+a1+a，1-a1-a，為使方程有三個，為使方程有三個整數(shù)解，整數(shù)解，a a必為整數(shù)，所以必為整數(shù)，所以a a只能取只能取0 0或或1 1當(dāng)當(dāng)a=0a=0時，原時，原方程的解為方程的解為x=3x=3，1 1，只有兩個解，與題設(shè)不符，所以，只有兩個解，與題設(shè)不符，所以a0a0當(dāng)當(dāng)a=1a=1時，原方程的解為時，原方程的解為x=4x=4，0 0，2 2，有三個解，有三個解練習(xí)四：練習(xí)四：設(shè)設(shè)a a、b b為有理數(shù)，且丨為有理數(shù)，且丨a a丨丨00，方程丨丨，方程丨丨x-ax-a丨丨-b-b丨丨=3=3有三個不相等的解，求有三個不相等的解

12、，求b b的值。的值。b=3例例5 5 : :已知方程已知方程x x=ax+1=ax+1有一負根，且無正根，有一負根，且無正根，求求a a的取值范圍的取值范圍綜上可知，若使原方程有一負根且無正根，必須綜上可知，若使原方程有一負根且無正根，必須a1a1所以應(yīng)有所以應(yīng)有a a-1-1反之，反之，a a-1-1時，原方程有負根時，原方程有負根 解解 設(shè)設(shè)x x為方程的負根，則為方程的負根，則-x=ax+1-x=ax+1，即，即 設(shè)方程有正根設(shè)方程有正根x x，則，則x=axx=ax1 1，即，即 所以所以a a1 1反之，反之，a a1 1時，原方程有正根時，原方程有正根練習(xí)五：練習(xí)五：已知關(guān)于已知

13、關(guān)于x x的方程丨的方程丨x x丨丨-ax=1-ax=1同時有一個正根和一個同時有一個正根和一個負根，求整數(shù)負根，求整數(shù)a a的值。的值。a=0所以，只有當(dāng)所以，只有當(dāng)a3a3時，原方程有解時，原方程有解例例6 6 : :當(dāng)當(dāng)a a取哪些值時，方程取哪些值時，方程x+2x+2+ +x-1x-1=a=a有解？有解？解解 (1) (1)當(dāng)當(dāng)x-2x-2時，時， x+2x+2+ +x-1x-1=-2x-1-2(-2)-1=3=-2x-1-2(-2)-1=3(2)(2)當(dāng)當(dāng)-2-2x x1 1時，時，x+2x+2+ +x-1x-1=x+2-x+1=3=x+2-x+1=3(3)(3)當(dāng)當(dāng)x1x1時，時，x+2x+2+ +x-1x-1