倒易點(diǎn)陣習(xí)題集

1、倒易點(diǎn)陣習(xí)題集例題2. 1體心立方和面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣 證明體心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是面心立方點(diǎn)陣.反之，面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是體心立方點(diǎn)陣.證明選體心立方點(diǎn)陣的初基矢量如圖L 8所示,a (人 八 人、4=#+y-z) 乙“ / 人人人生=5(r +3 + z)a/八 人 公、 3=-(v-y+z)乙其中a是立方晶胞邊長，木9是平行于立方體邊的正交的單位矢量。初基晶胞體積V. = % ( % X % ) = J 4根據(jù)式(2. 1)計(jì)算倒易點(diǎn)陣矢量, 2萬 ,27r.27V4 =F&Xa3也=74*%也=F% XCl2人XA y八zaaa222aaa222AXA ）人 zaaa222aa

2、a222AX人 y人 zaaa222aaa222= a. x a.= 2/231=T（y+z）4 /八 A = 7（z + x）a /人 人、 =7(f)/?1 =出 X/ = 2%于是有:2/?，人 公、，2 /人 八、f 2/zr /八 a I =(x + y),=(y + z),a =(z + x) a- aa顯然4也也正是面心立方點(diǎn)陣的初基矢量，故體心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是 面心立方點(diǎn)陣，立方晶胞邊長是44/.同理，對(duì)面心立方點(diǎn)陣寫出初基矢量Q(人 人 q=3(x+y) 乙生= 3(a + 2)a,人 人、%=于+日如圖1.10所示。初基晶胞體積V. = % ( % X 6 ) = ；

3、/。根據(jù)式(2. 1)計(jì)算倒易點(diǎn)陣矢量*/人 八 人、/人 人 人、2 /八 人 人、4 =(x+y-zj.b,=(T +3 + z)e =(x-y + z) aaa顯然，A,%也正是體心立方點(diǎn)陣的初基矢量，故面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣 為體心立方點(diǎn)陣，其立方晶胞邊長是4萬/.2. 2 (a)證明倒易點(diǎn)陣初基晶胞的體積是(2/)3/匕，這里匕是晶體點(diǎn)陣 初基晶胞的體積；(b)證明倒易點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是晶體點(diǎn)陣自身.證明(a)倒易點(diǎn)陣初基晶胞體積為*(%x4),現(xiàn)計(jì)算*(4x4).由式(2. 1) 知，. 2乃 , 2乃. 2萬仄=寸。2義出力2 =7%乂也=6乂叼匕.vcvc此處匕而27r(3XI)

4、X(6/IXtf2) =77 1的 x a J %/一 (% x a J J % X)這里引用了公式：(AxB)x(CxD) = (AxB) Z)C-(Ax) cDo由于（3乂%）=0,故有故有（、2,24&x&= 4/、（2乃（2乃）3/、（24了/?1-（Z?2X） = =-（2X3） = %vevc或?qū)懗?（2姆,（&x4）=-ai-（a2Xa3）倒易點(diǎn)陣初基晶胞體積為晶體點(diǎn)陣初基晶胞體積倒數(shù)的（2乃）3倍。（b）現(xiàn)要證明晶體點(diǎn)陣初基矢量,4，生”滿足關(guān)系- A x a 八 b. x4 八 bixb,2 乃-f”, =24一一J,% = 2萬一一仄,(4 x4)4(與 xbj b (b2

5、 x&)有前面知:(2萬)2x4=-a令q=2會(huì)3=京兩又知偽.（仇乂/?3）=（2好，代入上式得：同理“=2，b：藍(lán)b:G = 2 4 =- = a.*(仇X&)可見，倒易點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣正是晶體點(diǎn)陣自身.2. 3面間距 考慮晶體中一組互相平行的點(diǎn)陣平面(hkl), (a)證明倒易 點(diǎn)陣矢量G(/向)=/由+奶2+他垂直于這組平面(hkl)； (b)證明兩個(gè)相鄰的點(diǎn)陣 平面間的距離(hkl)為：d(hkl) = - 27T7 G(hkl)(c)證明對(duì)初基矢量力,%，%互相正交的晶體點(diǎn)陣，有(1 (hkl)= .1 .f h f f y f / y +外,(d)證明對(duì)簡單立方點(diǎn)陣有 d(hkl)

6、= ,，力2 +6 +-證明(a)參看圖2. 3,在平面族(hkl)中，距原點(diǎn)最近的點(diǎn)陣平面A5C在三個(gè)晶 軸上的截距分別是現(xiàn)要證明G(hkl)垂直于A5C,只需證明G(hkl)垂直于平面A5C上的兩個(gè)矢量CA和CB即可.圖2.3 G。酎)垂在于手面(NI)。人啖-?CB噬若用倒易點(diǎn)陣基矢與晶體點(diǎn)陣基矢間的正交關(guān)系式(2.2),立即可得G(hkl)- CA = (hbx + kb2 +lb3)- y-y- = hb1 -lby- = 0同理，G(hkl)CB = a故G(hkl)垂直于點(diǎn)陣平面(hkl).(b)點(diǎn)陣平面(hkl)的面間距d(hkl)為以他)=。4人;猊=:hbx +kb2 +l

7、b3 _ 2/rG(hkl) G(hkl)(c)如果晶體點(diǎn)陣的初基矢量,4.，彼此正交，則倒易點(diǎn)陣的初基矢量也必然彼此正交.設(shè)仄=% 也=b2y,b3 =b3z由倒易點(diǎn)陣基矢的定義伍=U ( / X % )也=1(。3 X % )也=薩( X/) VcVcVclr k2+ 4 = 2/r/q h = 2/r/a一仇=口(/曲)| = W?4)2+(坳映=J(2町2于是面間距為d(hkl) =2/r(d)對(duì)立方晶系中的簡單立方點(diǎn)陣，a = a2 = a3= a ,用(c)的結(jié)果可得注1)= / ；jlr + k- +T2. 4二維倒易點(diǎn)陣一個(gè)二維晶體點(diǎn)陣由邊長AB=4, AC=3f夾角BAC=4

8、/3的平行四邊形A8CO重復(fù)而成，試求倒易點(diǎn)陣的初基矢量.解解法之一參看圖2. 4,晶體點(diǎn)陣初基矢量為% = 4x圖2.4二維點(diǎn)陣的一個(gè)初塞晶胞用正交關(guān)系式(2. 2)求出倒易點(diǎn)陣初基矢量即打。設(shè)由4 = 2冗,b4=。八 = 0,A=24得到下面四個(gè)方程式4伯/+45) = 2汗(4/+與5)=。Z3 A-x +24f .(4/ + %) = 0(3)(b2xx+b2yy) = 2r3 Ax +I 2X(4)由式得： 物工=2乃,九=3由式得：九+A、.=。， 22日n 3笈 3即一一+b.v =02 22 15由式得：4b2x =。也工=0代入式(4)得：b2y = 2乃也, =于是得出倒

9、易點(diǎn)陣基矢.71 入 TC4乃4二5一語也二法?解法之二選取%為？方向的單位矢量，即令于是初基晶胞體積匕為A 3八V.=弓 a2 x a3 = 4i i +xf = 65/3倒易點(diǎn)陣基矢為b =M(2X43)=%3 - 36 Ax + 一 22y xz = x=.22日f 2江 /、 47rA可向勾=語、。3=(%2)= 2必對(duì)二維點(diǎn)陣，僅取兩個(gè)方向，于是得.人人.47r公4 =-x-產(chǎn) y,b)=y226-362. 5簡單六角點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣 簡單六角點(diǎn)陣的初基矢量可以取為(a)證明簡單六角點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣仍為簡單六角點(diǎn)陣，其點(diǎn)陣常數(shù)為2開/ c和4”瘋/,并且相對(duì)于正點(diǎn)陣轉(zhuǎn)動(dòng)了 30。角；(b

10、)當(dāng)比率c / a取什么值時(shí)，正點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣的這個(gè)比率有相同數(shù)值?如果 正點(diǎn)陣的c/a比率取理想值，倒易點(diǎn)陣的這個(gè)比率又是多少？繪出簡單六角點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)，并計(jì)算其體積.解(a)選取簡單六角點(diǎn)陣的初基矢量如圖2. 5所示.人 it A人，AAa = -ax + y,a2 =- - ax + y,a3 =cz初基晶胞體積為圖2,5簡單六角點(diǎn)陣的一組初基矢量倒易點(diǎn)陣初基矢量為2乃 =一匕A X y/3aA ya2 0A za 2 c= x + A2乃八7 y20% =2乃 可% X % =7A .V0!?)a F4 y0a2A zc024人-夜，十2萬人 一y a4=2712刀qx/ = y

11、(AX 出a2 yj3d八 )a2aA z002九八=一ZC或?qū)憺?2同正點(diǎn)陣初基矢量比較看出，4也也所確定的點(diǎn)陣仍是簡單六角點(diǎn)陣，點(diǎn)陣常數(shù)為和4乃/“，并相對(duì)于正點(diǎn)陣?yán)@，轉(zhuǎn)動(dòng)了 30。角（見圖2. 6）o用2.6簡單六角點(diǎn)陣的例易點(diǎn)陣仍為簡單六用點(diǎn)陣，并相時(shí)于正點(diǎn)陣線c轉(zhuǎn)動(dòng)了 30”角.其中的為倒易點(diǎn)陣的點(diǎn)陣儂鼓（b）設(shè)倒易點(diǎn)陣的點(diǎn)陣常數(shù)比為，出可知 / / _ 2乃/ 4乃_a舊，1a -7T若c*/，=c/“ ,則有c2/a2 =E，c/a = JE =0.931故當(dāng)正點(diǎn)陣的c/a值為/時(shí)，倒易點(diǎn)陣的c、7和正點(diǎn)陣的有相同值。若正點(diǎn)陣c/a=& 則倒易點(diǎn)陣的為故當(dāng)正點(diǎn)陣的c/“為理想值時(shí)

12、，倒易點(diǎn)陣的這個(gè)比值為0.53.（C）簡單六角點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)即倒易簡單六角點(diǎn)陣的W-S晶胞.顯然 為一六角正棱柱（如圖2. 7）,其體積為。=至=V.氐 2c即倒易簡單六角點(diǎn)陣初基晶胞的體積為。=*叱4)=2. 6底心正交點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣證明底心正交點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣仍為底心正交點(diǎn)陣.證明底心正交點(diǎn)陣的慣用晶胞如圖2. 8所示.選取初基矢量為/ =or, a2 =；，應(yīng)+% =皮初基晶胞體積為匕* 2倒易點(diǎn)陣基矢為.24合（1 八 1 人 ） ,2/r4/r a . 2乃27rAb =rra2xa3 =24X 7y 也= -a3xal = -）b3 = -axa2 = 一zV.V a b J V

13、b V.c由圖2. 9可以看出，這組基矢所確定的仍是一底心正交點(diǎn)陣，點(diǎn)陣常數(shù)為圖2,8底心正交點(diǎn)陣的一組初君夫最西2,9底心正交點(diǎn)陣的回易點(diǎn)陣露尖2. 7三角點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣三角點(diǎn)陣初基矢量具有相等長度“，彼此夾角為e,試證明三角點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣仍為三角點(diǎn)陣，且倒易點(diǎn)陣初基矢量的長度為* = (l + 2coscos)其中夕是倒易點(diǎn)陣初基矢量間的夾角，6.滿足cos。=cos。/ (1+cosJ)證明三角點(diǎn)陣三個(gè)初基矢量的大小相等，且彼此夾角亦相等.現(xiàn)令初基矢量為ax = axa2= a cos Ox + a sin Oy% = a cos ax + a cos J3y + a cos 發(fā)參見圖2

14、.10, cosa,cos/?,cosy是g在X、z三個(gè)方向的方向余弦。簪= cos6得cos a = cos 6(2)y = cse 一得cos 6(1 cos 6) cos B =sinC于是有cos/ = l-cos2 cr-cos2 /712 = 1cos2 6(1-cos。)-siif 8V2(4)圖2.10三角點(diǎn)陣?yán)笆付训倪x取由倒易點(diǎn)陣基矢的定義可知4,與也分別垂直于正點(diǎn)陣初基晶胞的% 3M3-，4-42平面，且有相同長度，b=b2=by=b = aa = - a2 sin (5) 匕將 V = aA ,(/ x“3)= % ,( xa2) = sin cos /(6)代入上式得

15、 27ra-sin62 乃 1a =-=a sincos/ a cos/如燈也彼此間應(yīng)有相間夾角.設(shè)可也間的夾角為夕,cs =/；1利用公式A-(BxC) = B(CxA) = C(AxB)Ax(BxC) = (CA)B-(AB)C上式化為cos0* = - X43)(%X%) = (a2q)(a3)-3.%； = cos。a4 sin2 0a4 sin2 01 + cos 0(8)同理可以證明4也也任意二矢量間的夾角均為此值。為了計(jì)算，利用式(4)得到cos / = 1-cos2 6-cos2 6(1 -cos6)一sin2I 2cos2 0 l+cos8 1V2 1 + 2cos8cos6

16、 J代入式得.2乃l + 2cos8coseT2.8點(diǎn)陣平面上的陣點(diǎn)密度(a)證明點(diǎn)陣平面上的陣點(diǎn)密度(單位面積上的陣點(diǎn)數(shù))o = dM，這里匕是初基晶胞的體積，d是該點(diǎn)陣平面所屬的平面族中相鄰兩點(diǎn)陣平面之間的距離；(b)證明面心立方點(diǎn)陣陣點(diǎn)密度最大的平面是111面，體心立方點(diǎn)陣陣點(diǎn)密 度最大的平面是110面.證明(a)考慮晶體點(diǎn)陣中相鄰二平行點(diǎn)陣平面所構(gòu)成的平行六面體，如圖2. H 所示.設(shè)該平行六面體中包含n個(gè)陣點(diǎn)，它的體積為V=nVc或?qū)憺閂 = Ad其中A是所考慮的平行六面體底面的面積，d是它的高.由以上二式得Ad = nVc于是點(diǎn)陣平面上的密度為 db = A K(b)由(a)可知，

17、面間距較大的點(diǎn)陣平面也有較大的陣點(diǎn)密度.由倒易點(diǎn)陣 矢量與面間距d的關(guān)系0 M上島可知，倒易點(diǎn)陣矢量G(U/)越短，與之垂直的點(diǎn)陣平面(/佩)兩點(diǎn)密度也就越 大.面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是體心立方點(diǎn)陣，其初基矢量=(+y-z)b2 = -(-i+y + z)都是最短的倒易點(diǎn)陣矢量，間=網(wǎng)=同，并都在立方晶胞的方向，故111平面有最大的陣點(diǎn)密度.體心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣是面心立方點(diǎn)陣，其初基矢量A=(f) a2子(22)仄=當(dāng)+可 a也都是最短的倒易點(diǎn)陣矢量，并都沿立方晶胞的VUO方向，故110平面 是體心立方點(diǎn)陣陣點(diǎn)密度最大的平面.2.9單斜點(diǎn)陣的面間距 已知平面族(hkl)的面間距與倒易點(diǎn)陣矢量

18、G(hkl) 間的關(guān)系為I )G(hkl)其中G(hkl) = /由+kh2 +，試證明單斜點(diǎn)陣的面間距d(hkl)由下式?jīng)Q定d- (hkl) sin，)(a；怎 aa3 ) a；其中4，的,應(yīng)是單斜點(diǎn)陣慣用晶胞的三個(gè)邊長，/為4生間的夾角，。手物(參看圖2.12)證明：單斜點(diǎn)陣慣用晶腦的幾何特征是a = / = 90。, P * 90。, 工 a2。a3初基晶胞的體積為V = a2 (% x q ) = qa2a3 sin p(hkl)平面族的面間距為hkl)、27I 1卜(/用)|要計(jì)算(hkl),除了計(jì)算各倒易點(diǎn)陣基矢的長度外，還要求出它們之間的標(biāo)量積，由倒易點(diǎn)陣基矢的定義間=27ra2

19、xa3 _ 2乃q sin P2引，/%匚2兀1 3| V a3 sin p此外，有4/ (q x/).(q x%) _ 4乃% / x(/ x七)_ 442 cos0V2K2axa3 sin2 p代入d(hkl)的表達(dá)式中得4乃 24 )-二47廠 d2 (hkl)1d2(hkl)sin2 Psirr Ph2/22/?/cos 如h22hl cos P +父2. 10外斯晶帶定律 屬于同一晶帶的晶面彼此的交線相互平行，這些平 行的晶棱的共同方向稱為晶帶軸的方向，試證明,(a)晶帶軸即郵與該晶帶中的平面SA/)滿足關(guān)系uh + vk + wl = 0(b)證明晶面(貼/), (h2k212)，

20、(a3k3/3)屬于同一晶帶的條件是匕匕Ak k) /) =0 證明(a)以晶面指數(shù)(hkl)為指數(shù)的倒易點(diǎn)陣矢量G(hkl)是與晶面垂直的最短倒易 點(diǎn)陣矢量，于是G(hkl) = hbl+kb2+lbi必定在晶面(hkl)法線方向.而晶帶軸uvw的方向矢量為R =+叫+陷.既然晶帶軸是以晶帶中互相平行的交線為方向，帶軸和屬于該晶帶的晶面總是相互平行的，于是行RG(/曲)=0用晶體點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣基矢間的正交關(guān)系,fo,z jat= 2 喈7 =，tJ 2i = j直接可得uh + vk + wl = 0(b)既然(姑/J,(貼心)(他3/3)屬于同一晶帶,由(a)有叫 + 心1+ vv/j =

21、 0 =0 .4.質(zhì)網(wǎng)h2. 11 一個(gè)單胞的尺寸為4 =4,% =6,% =8,4 =分= 90。,7 = 120。，試求：(a)倒易點(diǎn)陣單胞基矢；(b)倒易點(diǎn)陣單胞體積；(c)(210)平面的面間距；(d)此類平面反射的布喇格角(己知1=1. 54A).解(a)畫出此單胞如圖2. 13所示.寫出晶體點(diǎn)陣單胞基矢如下:% = 4五 a2 = -3x+3 百。% = 8汽晶體點(diǎn)陣的單胞體積為Ve =a3 (1 xa2) = w2a3sinl20 = 96/3( A)3佟I魁較注隨星火的iiz法倒易點(diǎn)陣單胞的基矢為2萬人.2乃人=跖也=可二Z(b)倒易點(diǎn)陣單細(xì)體積為C = 402M產(chǎn)等=磊小尸(

22、c)與晶面(hkl)垂直的最短倒易點(diǎn)陣矢量G(/?y)為G(hkl) = hb1+kb2+lb3=hG(2K)f+ (5+高高+居勺67(210) =(A)46(210)=2萬 _3耳 G(210)(d)(210)面反射的布喇格角6為sin 0 =2dRI。)2x3=會(huì) 0.53426 = arcsin(0.5342) = 32.32.12 (a)從體心立方結(jié)構(gòu)鐵的(110)平面來的X.射線反射的布喇格角為22。, X-射線波長入=1. 54A,試計(jì)算鐵的立方晶胞邊長；(b)從體心立方結(jié)構(gòu)鐵的(111) 平面來的反射布喇格角是多少?(c)已知鐵的原子量是55. 8,試計(jì)算鐵的密度.解(a)求出

23、(110)平面的面間距”(110)d( 10)=-= = 2.056 A 7 2 sin 6 2sin22于是求得點(diǎn)陣常數(shù)為t/ = V2J(110) = 2.91A(b) (111)平面的面間距為于是(1H)平面反射的不喇格角為sin 6 = - = 0.458 2”(111)6 = arcsin (0.458) = 27.28(c)固體密度的公式為ZM其中a是立方慣用晶胞邊長，Z是立方慣用晶胞中的原子數(shù)，M為原于的質(zhì)量，對(duì)體心立方鐵，Z=2, M=：= = 9.27xl(T” 將這些數(shù)值代入到夕 6.02x 10的表達(dá)式中，得到p = 7.52xlOVg - nCs2. 13衍射極大值的寬

24、度 假定在一個(gè)線型晶體中，在每個(gè)陣點(diǎn) = 也處 置有全同的點(diǎn)散射中心，此處m是一個(gè)整數(shù)，總的散射波振幅正比于u = Z exp -ima - Ak m該式相當(dāng)丁式(2. 7),只是對(duì)分離的點(diǎn)散射中心，積分化為求和.利用級(jí)數(shù)A/-11 vAf次=4念 一對(duì)M個(gè)陣點(diǎn)求和后，上式化為1exp-/M (比從)1 - exp -/(a)已知散射強(qiáng)度/正比于町，試證明, sin2 M (a-M)|/| = u*u=-sin2 (a-Ak)(b)當(dāng)從=2川?(。為整數(shù))時(shí)，出現(xiàn)衍射極大值.稍稍改變從并由。從=2乃/? + 定義 ,使得給出函數(shù)從)的第一個(gè)零點(diǎn).證明“2兀/M ,對(duì)于宏觀晶體，出于M很大，因此

25、衍射極大值的寬度可以非常狹窄.以上結(jié)果對(duì)于三維晶體也是成立的.證明從一個(gè)線型點(diǎn)陣而來的散射波的振幅應(yīng)等于各個(gè)陣點(diǎn)而來的散射波振幅 之和.考慮到相鄰兩陣點(diǎn)散射波的位相差因子是總的散射波振幅正比于A/-Ini-0因?yàn)樯⑸洳◤?qiáng)度正比于時(shí)的平方，由題知sin2 （n 從）sin2 從）_6-詡(0*) =一/()lt = ll U =nrr12-e-(b)散射波強(qiáng)度的極大值出現(xiàn)在滿足衍射條件ak = 2冗h(yuǎn)處，如果從與此條件略有偏差，衍射條件不再滿足，散射波的強(qiáng)度將下降.假 設(shè)當(dāng)a-k =2frh + 時(shí)，對(duì)應(yīng)于散射波強(qiáng)度的第一個(gè)零點(diǎn)(參見圖2. 14),即滿足sin；M ( AZ:) = 0或sin

26、；M (2% + )= 0由此解得1 ” -M = 7t 2s = 211M1川,2x12萬h a0左IS 2,14掃射次大值的寬彩 昭-A*2=入+ 定義,給出散射波強(qiáng)度的第一零點(diǎn)，=2萬/ 懸很大的表征散射波極大值酌寬度，它和何成反比，對(duì)于宏觀晶體，的數(shù)值足夠大, 因而衍射極大值的寬度非常窄，即譜線十分銳.2. 14散射波的振幅 當(dāng)衍射條件叢=G滿足時(shí)，從晶體射來的X射線散 射波振幅正比于uG = je，Grn(r)d3r式小n(r)是r處的電子濃度,如果電子是定域化的，i處的電子濃度可以寫為O = ZZ,(ir)/ i式中，是第/個(gè)晶胞原點(diǎn)的位置矢量(參見圖2. 15),是第/個(gè)晶胞中第

27、i個(gè)原子的中心相對(duì)于/的位置矢量.“是和第i個(gè)原子相聯(lián)系的電于濃度.證明”.可 以寫為%=N /I其中N是晶體中所包含的晶胞數(shù).先是把晶胞中的原子選作基元，該基元的幾 何結(jié)構(gòu)因子圖2,15當(dāng)A*=G時(shí)，從各個(gè)庫點(diǎn)(或方個(gè)晶胞)來的數(shù)射波品相長干涉的,“cuNV.,.代我一個(gè)品版(皮推元)對(duì)散射波振幅的 我默% =Z(G)exp(iGy) r其中工(G) = J,i1r是第i個(gè)原子的形狀因子。試問散射波極大值的強(qiáng)度 心是多少？解把晶體分成N個(gè)晶胞，當(dāng)衍射條件滿足時(shí)，從各個(gè)晶胞而來的散射波振幅 正比于% = J產(chǎn)e可產(chǎn)(I -;)公I(xiàn) i令/ = r / 一小心=”%=母3尢(/)“二口尸G2/如

28、卜心“ (,.,”3/由于G / = 2m?(為整數(shù))，,于是/% = NZe-5/(G) /它表明當(dāng)衍射條件從=G滿足時(shí)，來自各個(gè)晶胞的散射波是相長干涉的.式中/(G)= .(r)jV是基元中第i個(gè)原子的形狀因子，代表原于中各部分電子密度的散射波相互干涉 的結(jié)果對(duì)散射波總振幅的貢獻(xiàn).于是我們得到% = N(Pg其中展 5-2(G)I是基元的幾何結(jié)構(gòu)因子，代表基元中各個(gè)原子的散射波互相干涉的結(jié)果對(duì)總振 幅的貢獻(xiàn).散射波的強(qiáng)度幾叼%(正比于基元的幾何結(jié)構(gòu)因子的平方.2. 15體心立方結(jié)構(gòu)和面心立方結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子有時(shí)為了方便，我們把 立方晶體慣用晶胞中的原子選作基元，把體心立方和面心立方結(jié)構(gòu)用簡單

29、立方 點(diǎn)陣來描寫，求相應(yīng)的基元的幾何結(jié)構(gòu)因子.說明考慮到消光規(guī)律后，這種處 理方法得到的X-射線反射譜與直接把體心立方、面心立方考慮為布喇菲點(diǎn)陣所 得到的結(jié)果是完全一樣的.解(a)體心立方結(jié)構(gòu)我們知道體心立方結(jié)構(gòu)可以直接用體心立方布喇菲點(diǎn)陣處理，其倒易點(diǎn)陣 是面心立方點(diǎn)陣，立方晶胞邊長是4勿。相應(yīng)于這個(gè)面心立方點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣 矢量G所給出的波矢改變從=G,都有勞厄衍射峰出現(xiàn).但是，為了方便，我 們常把體心立方結(jié)構(gòu)考慮為一個(gè)帶有兩點(diǎn)基元的簡單立方點(diǎn)陣，基元中兩點(diǎn)的 坐標(biāo)為4=o，g = B(+2).從這個(gè)觀點(diǎn)來看，例易點(diǎn)陣仍然是簡單立方點(diǎn)陣, 立方晶胞邊長為2乃/八 根據(jù)衍射條件，當(dāng)從等于這個(gè)簡

30、單立方倒易點(diǎn)陣的G 時(shí)，都可能有勞厄衍射的峰值.但是，既把體心立方結(jié)構(gòu)考慮為帶有基元的簡 單立方點(diǎn)陣，就必須相應(yīng)地處理基元的幾何結(jié)構(gòu)因子，計(jì)入結(jié)構(gòu)因子對(duì)散射波 振幅的影響.由式(2.11)知道，基元的幾何結(jié)構(gòu)因子為% =Z，exp(-iGH) (1) i其中號(hào)是基元中第J個(gè)原子的坐標(biāo)彳=再4 +“2 +33,(0r ；1 / . / ll _1產(chǎn)4-勺1_ r%=l + exp*(/-) =小+ (-l)卜臼為奇數(shù)在簡單立方倒易點(diǎn)陣中，去掉那些4+/,+。=奇數(shù)的點(diǎn)(在這些點(diǎn)，由于從基元 中各個(gè)原子來的散射波相互抵消的結(jié)果，使散射波的總振幅為零，于是相應(yīng)的 反射消失)，剩下的正好是一個(gè)面心立方

31、點(diǎn)陣，其立方晶胞邊長為44/，如圖2.16 所示.當(dāng)波矢改變從等于這個(gè)面心立方倒易點(diǎn)陣的G時(shí)，才有實(shí)際上的勞厄衍 射的出現(xiàn).由以上的分析看出，體心立方結(jié)構(gòu)可以直接用體心立方布喇菲點(diǎn)陣處理， 也可以作為帶有基元的簡單立方點(diǎn)陣處理，所得的X射線反射譜是完全相同的.(b)面心立方結(jié)構(gòu)面心立方結(jié)構(gòu)可以直接用面心立方布喇菲點(diǎn)陣處理，倒易點(diǎn)陣為體心立方點(diǎn) 陣，立方晶胞邊長為4句”.與其倒易點(diǎn)陣矢量G相應(yīng)的波矢改變以都有衍射 峰出現(xiàn),但是，為了方便，我們有時(shí)把面心立方結(jié)構(gòu)用簡單立方點(diǎn)陣處理，相 應(yīng)的基元包含四個(gè)點(diǎn)：4=0,弓=；(+/，)/=*，+ 2), =式2 +燈.這樣處理 乙乙乙后，相應(yīng)的倒易點(diǎn)陣是

32、簡單立方點(diǎn)陣，立方晶胞邊長為2乃/“圖2.16在倚單立方倒多點(diǎn)陣中，去掉 轉(zhuǎn)構(gòu)因子為零的點(diǎn)（。）,剩下的點(diǎn)） 正好是一個(gè)面心立方力,庫，其立方晶施邊長為4圖2.17從偏單立方倒易點(diǎn)陽中去膝結(jié) 構(gòu)忸子為零的點(diǎn)03刷下的點(diǎn)4正好 是一個(gè)體心立方點(diǎn)陣，其立方晶超的邊 長為4河/。需要注意的是，必須同時(shí)計(jì)入基元的結(jié)構(gòu)對(duì)散射波振幅的影響。計(jì)算得到面心 立方結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子為牝=/ 1 + exp -，力(，2 + 13) + exp -訪(/)+/3) + exp -沅(/,+/2)4, 1”八全為奇數(shù), /、4,/”/2，/3全為偶數(shù)，0,部分為奇數(shù)，部分為偶數(shù)當(dāng)指數(shù)44部分為奇數(shù)或部分為偶數(shù)時(shí)，結(jié)構(gòu)因

33、子為零，相應(yīng)的反射消失.在簡單立方倒易點(diǎn)陣中去掉結(jié)構(gòu)因子為零的點(diǎn)，剩下的正好是一個(gè)體心立方 點(diǎn)陣，其立方晶胞邊長為44/%如圖2. 17所示.這和把面心立方結(jié)構(gòu)直接用 面心立方布喇菲點(diǎn)陣處理所得的結(jié)果是完全一樣的.2. 16金剛石結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子金剛石結(jié)構(gòu)的慣用晶胞是立方體，其個(gè)包 含8個(gè)相同的原子.把立方慣用晶胞中的8個(gè)原子取作基元，金剛石結(jié)構(gòu)可以 作為帶有基元的簡單立方點(diǎn)陣處理，試計(jì)算基元的幾何結(jié)構(gòu)因子，并證明金剛 石結(jié)構(gòu)所允許的反射是所有指數(shù)444均為奇數(shù)，或均為偶數(shù)且/24=4，這 里是整數(shù).解金剛石結(jié)構(gòu)的布喇菲點(diǎn)陣是面心立方，基元包含兩個(gè)原于，位于4=0,G =?（+$ + 2） .若

34、把金剛石結(jié)構(gòu)的立方慣用晶胞中的8個(gè)原子選作基元，相應(yīng)地，金剛石結(jié)構(gòu)可用帶基元的簡單立方點(diǎn)陣來描寫.這8個(gè)原于的坐標(biāo)是：111 11 11 1 11 3 33 3 13 1 3（000）、（0 （0 ） （ 0）（777）、（777）、（777）、（777）。把這 82 22 22 2444444444444個(gè)原子的坐標(biāo)代入結(jié)構(gòu)因子的表達(dá)式內(nèi)乩）=產(chǎn) i利用 =/，計(jì)算得金剛石結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子為刈品）=f 1+ E+/硯加+/WM）+廣小）+和必也）+只吟曰）+）綱中）經(jīng)整理后得其中電=叫正是在面心立方陣點(diǎn)上所放置的基元（000）（二3的結(jié)構(gòu)1J444因子。力則正是面心立方點(diǎn)陣慣用晶胞中4個(gè)原子的

35、幾何結(jié)構(gòu)因子（原子形狀因子/為不所代替）。由上結(jié)果可見，由于放置在面心立方點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上的不再是形狀因子為/的同種原子，而是一個(gè)結(jié)構(gòu)因子為4的基元，用這個(gè)基元的結(jié)構(gòu)因子不代替原子的形狀因子f就得到金剛石結(jié)構(gòu)立方慣用晶胞8個(gè)原子的結(jié)構(gòu)因子?，F(xiàn)將以上結(jié)果討論如下：當(dāng)444全為偶數(shù)，且4+，2+4=4 5為整數(shù)），5, =27,5, =4,故夕（“2,3）= 8/。當(dāng)，1123全為偶數(shù)，且/ +，2 +，3 =4 + 2 （為整數(shù)），4=0,羯=4，故磯人地）=。當(dāng)/4全為奇數(shù)，且再=/（1土。，邑=4,故鞏W3）= 4/（l土，）。當(dāng)/2，3部分為偶數(shù)，部分為奇數(shù)時(shí)，&=0,故9(/修3)=。所以，

36、金剛石結(jié)構(gòu)允許的反射是所有指數(shù)4/4均為偶數(shù)且6+4 = 4，或者444全為奇數(shù).可以看到，由于金剛石結(jié)構(gòu)放置在fee點(diǎn)陣陣點(diǎn)上的不再 是同種原于，而是一個(gè)由兩個(gè)原子組成的基元，此基元中兩個(gè)原子的散射波相 互干涉的結(jié)果使fee點(diǎn)陣所允許的反射又有一部分消失.2.17氯化鈉結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子NaCl是立方晶體，把NaCl結(jié)構(gòu)立方慣用 晶胞中的原子選為基元，NaCl結(jié)構(gòu)也可以用sc點(diǎn)陣處理.試計(jì)算基元的結(jié)構(gòu)因 子仁 解NaCl結(jié)構(gòu)的布喇菲點(diǎn)陣是fee,基元包含一個(gè)Cr, 位于(000), 一個(gè)Na+,位于把這樣一個(gè)基元放置在葭。點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上，就得到NaCl結(jié)構(gòu)這 乙 乙 乙個(gè)由兩個(gè)離子組成的基元的幾何

37、結(jié)構(gòu)因子是s _ 工力,切+咕+*)=f + f 6-西/產(chǎn)伊外其中小，”分別代表C和Na+的形狀因子.現(xiàn)在把這樣一個(gè)基元放在fee點(diǎn)陣的陣點(diǎn)上，用S代替fee結(jié)構(gòu)因子中的/ 就得到NaCl結(jié)構(gòu)立方慣用晶胞的結(jié)構(gòu)因子Sg叫口 + /叫 W ) + 夕秋 A+h)=%+加(-1 嚴(yán)”11 + (7 嚴(yán)+(1 產(chǎn)+(T 產(chǎn)4(小加)當(dāng)儲(chǔ)2均為偶數(shù)時(shí)= = -(/f+/+/；)(1)4(r7對(duì)于A、B和C三種樣品，分別計(jì)算出si/e的數(shù)值如下表ABC26sin 叩 x 1029，x 102942.213028.8。6242.8。13349.21734L012373.235572.03455G.818489.043187.347669.6247115.0711現(xiàn)考慮bcc. fee和金剛石結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子.bee當(dāng)指數(shù)乙+/?+。= 2（為整數(shù)）時(shí)，有反射，前四個(gè)衍射環(huán)相應(yīng)的指 數(shù)是（110）、（200）、（211）和（220）.fee當(dāng)4/4均為奇數(shù)或均為偶數(shù)時(shí)，有反射，前四個(gè)衍射環(huán)相應(yīng)的指數(shù)是（111）、（200）、（220）、（311）.金剛石結(jié)構(gòu)一一