抽象函數(shù)專題分析

1、 課題：課題： 抽象函數(shù)抽象函數(shù)1已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f(xy)f(x)f(y)，則 f(x)是()AA奇函數(shù)B偶函數(shù)C既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)2函數(shù) f(x)滿足 f(x)f(x2)13，若 f(1)2，則 f(99)()A13B213C.22D.13C3設(shè)奇函數(shù) f(x)滿足：對(duì)xR 有 f(x1)f(x)0，則 f(5)_.04已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，對(duì) xR 都有 f(2x)f(2x)，當(dāng) f(3)2 時(shí)，f(2 013)的值為_(kāi).25已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R，并且對(duì)任意正數(shù) x，y 都有f(xy)f(x)f(y

2、)，則(1)f(1)_；012考點(diǎn)1 正比例函數(shù)型抽象函數(shù)例1：設(shè)函數(shù) f(x)對(duì)任意 x，yR，都有 f(xy)f(x)f(y)，且 x0 時(shí)，f(x)0，f(1)2.(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)試問(wèn)在3x3 時(shí)，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果沒(méi)有，說(shuō)出理由(1)證明：令xy0，則有f(0)2f(0)f(0)0.令yx，則有f(0)f(x)f(x)即f(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)(2)解：任取x10f(x2x1)0.f(x1)f(x2)yf(x)在R上為減函數(shù)因此f(3)為函數(shù)的最小值，f(3)為函數(shù)的最大值f(3)f(1)f(2)3f(1)6，f(3)f(3)6.函數(shù)最

3、大值為6，最小值為6.(1)正比例函數(shù)型抽象函數(shù)的一般步驟為 f(0)0f(x)是奇函數(shù)f(xy)f(x)f(y)單調(diào)性(2)小技巧判斷單調(diào)性：設(shè)x10f(x2x1)0f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)，得到函數(shù)單調(diào)遞減【互動(dòng)探究】1已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f(xy)f(x)f(y)，則下列錯(cuò)誤的是()D考點(diǎn)2 對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；(2)求證：f(x)在(0，)上是增函數(shù)；(3)解不等式 f(2x21)1時(shí)f(x)0，f(2)1.(1)證明：對(duì)定義域內(nèi)的任意x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x，x21

4、，則有f(x)f(x)f(1)證明抽象函數(shù)的單調(diào)性通常是用單調(diào)性的定義結(jié)合比較法(作差法、作商法)，函數(shù)的單調(diào)性是比較大小的常用方法運(yùn)用不等式性質(zhì)時(shí)應(yīng)從結(jié)論出發(fā)，尋找解題的切入點(diǎn)【互動(dòng)探究】當(dāng) f(x)lgx 時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是_.考點(diǎn)3 指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)例3：定義在 R 上的函數(shù) yf(x)，f(0)0，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)1，且對(duì)任意的 a，bR，有 f(ab)f(a)f(b)(1)求證：f(0)1；(2)求證：對(duì)任意的 xR，恒有 f(x)0；(3)求證：f(x)是 R 上的增函數(shù)；(4)若 f(x)f(2xx2)1，求 x 的取值范圍(1)指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)的一般步驟為

5、 f(0)1(4)由f(x)f(2xx2)1，f(0)1得f(3xx2)f(0)又f(x)是R上的增函數(shù)，3xx20.0 x3.(2)小技巧判斷單調(diào)性：設(shè)x1x2，x1x20，則f(x1x2)1.f(x1)f(x2x1x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)，得到函數(shù)是增函數(shù)【互動(dòng)探究】3設(shè)指數(shù)函數(shù) f(x)ax(a0 且 a1)，則下列等式正確的有_(填序號(hào))考點(diǎn)考點(diǎn)4 一次一次函數(shù)模型函數(shù)模型:f(x+y)=f(x)+f(y) xy令)()()0(,xfxff則0 yx又令0)0(f得 fxf x()( )2)1()1(ff故，ff()() 221424 12)(，上的值域?yàn)椋?，在xf)(

6、)()(yfyxfxf得，由)()()(yfxfyxf2121,xxxx且任取21xx )()()()()()(2121yfyxfyfyxfxfxf則)()()(2121xxfyxfyxf021xx0)(21 xxf則根據(jù)題意有為增函數(shù)在函數(shù)Rxxf)(12)(2)1(0)(，在求，xffxf都有對(duì)任意的實(shí)數(shù)已知函數(shù)yxxf,)(時(shí)且當(dāng)0)()()(xyfxfyxf例例4 4: :上的值域解：解：)()()(yfyxfxf得，由)()()(yfxfyxf解法解法2：0)(12xxfRxxxx2121，且設(shè)012 xx則, 0)(0 xfx時(shí)，由條件知當(dāng)，)()(1122xxxfxf又 的增函數(shù)

7、。為Rxxf)()()()(1112xfxfxxf54)1(32)1()2()12()3(fffff又)1()22(2faaf則的解集。求不等式時(shí)，當(dāng)有對(duì)任意已知函數(shù)3)22(, 5)3(2)(0),(2)()(,)(2aaffxfxyxfyfxfRyxxf例例5： 解解： 31|3)22(2aaaaf的解集為：因此不等式 2)()()(yfyxfxf得，由2)()()(yxfyfxf2121,xxxx且任取2)()(2)()()()(2121yfyxfyfyxfxfxf則)()()(2121xxfyxfyxf21xx021xx0)(21 xxf則根據(jù)題意有3)1( f為增函數(shù)在函數(shù)Rxxf)

8、(1222aa即31a例例6 6 若奇函數(shù)若奇函數(shù) f(x)在在(0,+)上是增函數(shù)，又上是增函數(shù)，又 f (-3)=0，則，則 x| x f(x)3 或或 -3 x 0 B. x|0 x 3 或或 x 3或或 x-3 D. x|0 x3或或 -3 x 3，有，有 f (x) 0. 得得x f (x) 0，故，故 x 3不符合要求不符合要求.按奇函數(shù)的對(duì)稱性，按奇函數(shù)的對(duì)稱性，x -3也符合要求也符合要求. 從而淘汰從而淘汰A、B、C. 答案是答案是D. 這就是所謂的淘汰法這就是所謂的淘汰法.【例】【例】 若奇函數(shù)若奇函數(shù) f(x)在在(0,+)上是增函數(shù)，又上是增函數(shù)，又 f (-3)=0，

9、則，則 x| x f(x) 3 或或 -3 x 0 B. x|0 x 3 或或 x 3或或 x -3 D. x|0 x 3或或 -3 x 0【手段【手段2】（直選與篩選并用）（直選與篩選并用）按對(duì)稱性，按對(duì)稱性，0 x 0. 此時(shí)有此時(shí)有x f (x) 0. 故故-3 x 0為所求為所求.由由 x f (x) 0，知點(diǎn)（，知點(diǎn)（ x ，y）在第二或第四象限）在第二或第四象限. 【說(shuō)明】【說(shuō)明】 手段手段2變成了直選法變成了直選法. 和手段和手段1一樣，都可通過(guò)觀察法完成，不需動(dòng)筆一樣，都可通過(guò)觀察法完成，不需動(dòng)筆.【手段【手段3】 （圖解法（圖解法1）據(jù)題設(shè)條件作據(jù)題設(shè)條件作 y=f (x)草

10、圖草圖(右右). 在圖中找出在圖中找出 f(x)與與x異異號(hào)的部分號(hào)的部分,可以看出可以看出 x f(x) 0的解集為的解集為 x|0 x 3或或 -3 x 0，選，選D. 【例】【例】 若奇函數(shù)若奇函數(shù) f(x)在在(0,+)上是增函數(shù)，又上是增函數(shù)，又 f (-3)=0，則，則 x| x f(x) 3 或或 -3 x 0 B. x|0 x 3 或或 x 3或或 x -3 D. x|0 x 3或或 -3 x 0時(shí)的圖象時(shí)的圖象(右右) 即可即可.不等式不等式 x f(x) 0. f(x) 0，借助圖象得，借助圖象得0 x 3. 由對(duì)稱性得由對(duì)稱性得x f(x) 0的解集為的解集為 x|0 x

11、 3或或 -3 x 0，故選，故選D.【例】【例】 若奇函數(shù)若奇函數(shù) f(x)在在(0,+)上是增函數(shù)，又上是增函數(shù)，又 f (-3)=0，則，則 x| x f(x) 3 或或 -3 x 0 B. x|0 x 3 或或 x 3或或 x -3 D. x|0 x 3或或 -3 x 0【手段【手段5】（特殊值法）】（特殊值法）借助圖（借助圖（2）, 取特殊值取特殊值 x=2, 知知 f(2) 0符合條件符合條件 x f(x) 0，故，故0 x 3為所求為所求.按對(duì)稱性，按對(duì)稱性，-3 x 0，則有，則有x f(x) 0，從而淘汰，從而淘汰C.答案為答案為D.【手段【手段7】（特殊式法）】（特殊式法）

12、符合抽象函數(shù)符合抽象函數(shù) f(x)性質(zhì)的一個(gè)具體函數(shù)為性質(zhì)的一個(gè)具體函數(shù)為 y=x-3 （x 0時(shí)），令時(shí)），令 xy = x(x -3) 0 ，解得解得 0 x 3按對(duì)稱性還有按對(duì)稱性還有 -3 x 0答案為答案為D.【說(shuō)明】【說(shuō)明】 手段手段6，體現(xiàn)的，體現(xiàn)的“不擇手段不擇手段”極為有趣極為有趣. 朦朧中碰上了朦朧中碰上了“列不等式列不等式”和和“解不等式解不等式”. 此時(shí)，若你要去問(wèn)這個(gè)理論，則你不是個(gè)書(shū)呆子，就是個(gè)老學(xué)究此時(shí)，若你要去問(wèn)這個(gè)理論，則你不是個(gè)書(shū)呆子，就是個(gè)老學(xué)究.思想與方法6轉(zhuǎn)化與化歸思想解信息給予題例題：對(duì)定義在0,1上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f(x)稱為 G 函數(shù)：對(duì)任意的x0,1，總有f(x)0；當(dāng)x10，x20，x1x21時(shí)，總有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立已知函數(shù)g(x)x2與h(x)2xb是定義在0,1上的函數(shù)(1)試問(wèn)函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)？并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù)，求實(shí)數(shù)b組成的集合一般地，一個(gè)抽象函