幾何直觀,讓抽象的數(shù)“看得見”

1、幾何直觀，讓抽象的數(shù)“看得見”新課標(biāo)明確指出： “幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析 問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有 助于探索解決問題的思路， 預(yù)測結(jié)果。 幾何直觀可以幫助學(xué)生直 觀地理解數(shù)學(xué)， 在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。 ”可 見幾何直觀就是依托、 利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象， 它在本 質(zhì)上是一種通過圖形來展開的想象能力。對于小學(xué)生而言， 數(shù)無疑是抽象的。 如何借助直觀來把握抽 象，已是多數(shù)教師的共識。 比如，認(rèn)識整數(shù)時， 我們常借助實物、 小棒、點子圖、計數(shù)器等，理解整數(shù)的意義；認(rèn)識分?jǐn)?shù)時，我們 常借助具體的物體、圖形或計量單位，引導(dǎo)學(xué)生在折一折、分

2、一 分、涂一涂等具體活動中，感受分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵。相對而言，小數(shù)的 意義則更抽象，而在日常教學(xué)中，我們能夠給學(xué)生提供的具體、 直觀的支撐也相對貧乏。 如何借助具體、 直觀的圖形幫助學(xué)生在 分一分、畫一畫、說一說等數(shù)學(xué)活動中，建立小數(shù)和十進(jìn)分?jǐn)?shù)之 間的聯(lián)系，自主建構(gòu)小數(shù)的含義，筆者進(jìn)行了如下嘗試。一、分享小數(shù)，喚醒已有經(jīng)驗 師：生活中，你在哪兒見過小數(shù)？ 生 1：我在超市里見過小數(shù)。 生 2：我在菜場上見過小數(shù)。生 3：數(shù)學(xué)書的背面也有小數(shù)。師：既然見過這么多小數(shù)， 小數(shù)會寫嗎？自己試著寫幾個小 數(shù)，并試著讀一讀。學(xué)生寫小數(shù)、讀數(shù)，并全班匯報。生 1：我寫的是 0.8 、1.2 、4.5 ，這些都是小

3、數(shù)。生 2：我寫的是 0.3 、0.03 、0.003 ，這些也是小數(shù)。生 3：我寫的是 99.9 、3.1415926 ，這些也是小數(shù)。 師：看來，同學(xué)們不僅會寫小數(shù)，而且還會讀。仔細(xì)觀察， 這些小數(shù)有什么共同特點？生 1：小數(shù)都有小數(shù)點。生 2：小數(shù)都被小數(shù)點分成兩部分。 師：小數(shù)點左邊的是整數(shù)部分，右邊的是小數(shù)部分。生：我發(fā)現(xiàn)， 小數(shù)的整數(shù)部分可以是 0，也可以是其他整數(shù)； 數(shù)的小數(shù)部分，可以只有一個數(shù)字，也可以是兩個數(shù)字、三個數(shù) 字甚至好多數(shù)字。師：小數(shù)部分只有一個數(shù)字的，我們稱它為一位小數(shù)；猜猜 看，如果有兩個數(shù)字，是什么小數(shù)？生 1：如果有兩個數(shù)字，就是兩位小數(shù)；如果有三位數(shù)字，

4、就是三位小數(shù)。生 2：小數(shù)部分有幾個數(shù)字，就是幾位小數(shù)。 學(xué)生對于小數(shù)并不陌生， 生活中， 他們有很多機會接觸到小 數(shù)。教學(xué)中，教師沒有忽視學(xué)生的生活經(jīng)驗，而是通過分享生活 中的小數(shù)， 喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗儲備， 進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生自己嘗試著 寫一寫、讀一讀小數(shù)。通過這樣的活動設(shè)計，了解學(xué)生的經(jīng)驗究 竟處怎樣的水平，為教師后續(xù)實施更精準(zhǔn)的教奠定科學(xué)的基礎(chǔ)。 教學(xué)過程中， 我們也發(fā)現(xiàn)， 學(xué)生對小數(shù)的認(rèn)識已遠(yuǎn)超教材設(shè)定的 水平，也超出了教師的心理預(yù)期一一他們不僅能準(zhǔn)確地讀寫小 數(shù)，有些學(xué)生甚至能夠?qū)懗鰞晌恍?shù)、多位小數(shù)，還有學(xué)生甚至 對圓周率這樣的特殊小數(shù)也有所涉獵。 難以想象， 如果我們的教 學(xué)不給學(xué)生

5、預(yù)留足夠的時間和空間， 僅僅基于數(shù)學(xué)知識的邏輯順 序，零起點展開教學(xué)， 這樣的課堂將屏蔽掉學(xué)生很多寶貴的經(jīng)驗， 原本豐富多彩、 充滿活力的學(xué)習(xí)活動將被簡化為非常無趣、 呆板 的師生問答。這樣的課堂，是我們難以接受的，也是我們需要著 力重建的。二、表征小數(shù)，建構(gòu)數(shù)學(xué)意義 師：認(rèn)識小數(shù)，我們不能只停留在會寫、會讀小數(shù)，還得弄 清每個小數(shù)具體表示什么含義。 老師手中的這把尺子， 它的價格 是 0.3 元。你能試著畫一幅圖表示 1 元，然后在圖中表示出 0.3 元嗎？學(xué)生獨立嘗試，組內(nèi)分享后，全班進(jìn)行匯報。生 1：我畫了一個長方形，用它表示 1 元，我覺得 0.3 元就 是其中的一小部分。 （在長方形

6、中直接分出一小部分，涂色表示 0.3 元）生 2：我覺得就這樣畫一條線不準(zhǔn)確，也許這是 0.2 元，也 許這是 0.4 元。我覺得應(yīng)該把這個長方形平均分成 10 份，然后 給其中的 3 份涂上顏色，這里就是 0.3 元。生 3：我也覺得應(yīng)該先把長方形平均分成 10 份。不過，我 畫的是圓，我把圓平均分成 10 份，然后涂了其中的 3份，這就 是 0.3 元。生 4：我畫了一個平行四邊形，也平均分成 10 份，這 3 份 就是 0.3 元。生 5：我畫的是一條線段，我把它平均分成 10 段，這 3 段 就是 0.3 元。師：觀察后面幾位同學(xué)的作品，選擇的圖形不同，分的方法 也不一樣，但在表示 0

7、.3 元時，有沒有相同的地方？生 5：他們都把一個圖形平均分成 10 份，表示了其中的 3 份。師：為什么要平均分成 10 份？生 1：因為 1 元等于 10 角。生 2：因為 1 元等于 10 角，平均分成 10 份后，每一份是 1 角，也就是 0.1 元，3 份是 3角，也就是 0.3 元。生 3：因為 0.3 元就是 3 角，把 1 元平均分成 10 份，其中 的 3 份就是 3 角，也就是 0.3 元。結(jié)合學(xué)生的交流，教師引導(dǎo)得出： 0.3 元=3 角=元。 在數(shù)學(xué)中， 為了能讓小數(shù)系統(tǒng)和整數(shù)系統(tǒng)統(tǒng)一起來， 教師更 多選擇以告知的方式，幫助學(xué)生在十進(jìn)分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間建立聯(lián) 系，進(jìn)而借助十

8、進(jìn)分?jǐn)?shù)理解小數(shù)的含義。在筆者看來，這樣的教 學(xué)符合數(shù)學(xué)發(fā)展的基本規(guī)律， 但卻忽視了學(xué)生的已有經(jīng)驗。 事實 上，學(xué)生不僅在生活中經(jīng)常見到小數(shù)， 而且他們對于 0.3 元就表 示 3 角、6.25 元就表示 6 元 2 角 5 分，以及 1.3 米就表示 1 米 3 分米等，都已經(jīng)積累了豐富的經(jīng)驗。這些經(jīng)驗的存在，對于學(xué)生 如何在小數(shù)和十進(jìn)分?jǐn)?shù)之間建立聯(lián)系， 具有舉足輕重的作用。 實 踐證明，這樣的聯(lián)系，學(xué)生是完全可以憑借經(jīng)驗儲備，自主建構(gòu) 起來的。因而，上述教學(xué)，教師選擇以任務(wù)驅(qū)動的方式，引導(dǎo)學(xué) 生用圖形表示 1 元，進(jìn)而在圖形中表征 0.3 元。這樣的數(shù)學(xué)活動 和任務(wù)設(shè)計，雖然不是每個學(xué)生都能

9、夠準(zhǔn)確完成的，但是，不同 學(xué)生所呈現(xiàn)出的不同表征水平、 不同理解， 恰恰為后續(xù)的生生對 話提供了豐富的教學(xué)資源和契機。 0.3 元的含義就是在這樣自主 建構(gòu)、生生互動、相互碰撞、 歸納概括的基礎(chǔ)上得以自我實現(xiàn)的。 在筆者看來，這就是有意義的學(xué)習(xí)，也是充滿創(chuàng)造力的學(xué)習(xí)。三、比較概括，抽象數(shù)學(xué)理解師：如果我們把這個長方形看作 1 米，涂色的這 3 份又表示 多少？為什么？生：我覺得可以表示 0.3 米，因為把 1 米平均分成 10 份， 每份是 3 分米，也就是 0.3 米。師：除了把長方形看作 1 米，我們還可以把長方形看作什 么？相應(yīng)的，涂色部分又可以表示多少？生 1：我們還可以把長方形看作

10、1 分米，那么涂色部分就可 以表示 0.3 分米。生 2：我們還可以把長方形看作 1 角，那么涂色部分就可以 表示 0.3 角。生 3：我們還可以把長方形看作 1 天，那么涂色部分就可以 表示 0.3 天。生 4：我反對，我覺得不能把長方形看作 1 天，因為 1 天不 能平均分成 10 份。生 5：我覺得 1 天能平均分成 10 份，但平均分成 10 份后， 每一份不知道是多少，所以，我也覺得不能把長方形看作 1 天。師：看來，重要的不是平均分成 10 份后，每一份是多少， 而是這樣的 1 份或幾份，我們可以用十分之一或十分之幾來表 示，而十分之幾就可以表示為零點幾。生 1：如果這樣的話，我們

11、還可以把長方形看作 1 千克，那 么涂色部分就可以表示 0.3 千克。生 2：我們還可以把 ?L 方形看作 1 塊黑板， 那么涂色部分就 可以表示 0.3 塊黑板。生 3：我們還可以把長方形看作 1 支鉛筆，那么涂色部分就 可以表示 0.3 支鉛筆。師：現(xiàn)在，如果我們把所有單位都去掉，就把這個長方形看作 1，那么，涂色部分又表示多少？為什么？師：想一想，在這幅作品中，除了 0.3 這個小數(shù)外，你還可 以表示出哪一個小數(shù)？怎么表示？生 1：我覺得還可以表示 0.5 ，只要再涂上 2 份。生 2：我覺得還可以表示 1.0 ，只要再涂上 7 份。生 3：我覺得 1.0 其實就是 1，因為全部涂滿后，

12、就是 1 個 完整的長方形。生 4：我覺得如果再在長方形后面添上這樣 1 小份，就可以 表示 1.1 了。師：你覺得，第一個長方形還需要平均分成10 份嗎？生 1：我覺得不需要，只要是一個完整的長方形就可以了。生 2：我覺得，如果平均分成 10 份也沒有關(guān)系，而且，這 樣我們還能夠發(fā)現(xiàn)， 1.1 里面其實就有 11個 0.1。生 3：我還發(fā)現(xiàn)， 1.1 里面的兩個 1 表示的意思是不一樣的， 前面這個 1表示 1個一，后面這個 1表示 1個0.1。生 4：我覺得，前面這個 1 是后面這個 1 的 10 倍。 師：現(xiàn)在，如果我們把這個數(shù)增加到 111.1 ，你又覺得這四 個 1 之間有怎樣的關(guān)系

13、？生：我發(fā)現(xiàn)，前面的 1總是后面的 1的 10倍，后面的 1滿 了 10 個就變成了前面的 1 。師：能具體說明一下嗎？生 1：比如，第一個 1 表示 1 個百，第二個 1 表示 1 個十，1 個百是 1 個十的 10 倍。后面也是一樣的。生 2：我發(fā)現(xiàn)，整數(shù)里的滿十進(jìn)一的規(guī)則，在小數(shù)里也是同 樣適用的。師：你的發(fā)現(xiàn)非常了不起！有了滿十進(jìn)一的統(tǒng)一規(guī)則，小數(shù)就和整數(shù)建立起統(tǒng)一的關(guān)系。 除了 1.1 ，你還能表示別的小數(shù)嗎？生 1：我覺得還可以表示 2.3 ，只要拿 2 個這樣的長方形， 然后再加上 3 小份。當(dāng)然，這 2 個長方形不用平均分成 10 份， 它就表示 2。生 2：我覺得還可以表示

14、9.9 ，只要用 9 個完整的長方形， 加上 1 個長方形的。認(rèn)識小數(shù)， 從帶單位的具體數(shù)量入手， 最后還要回歸到抽象 的數(shù)。這樣，才算是完成了對小數(shù)含義的基本把握。然而，這一 過程對學(xué)生來說是相當(dāng)困難的， 教師需要精心設(shè)計教學(xué)活動、 組 織學(xué)習(xí)素材，引導(dǎo)學(xué)生在大量感性活動、直觀經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通 過觀察、比較、歸納、概括，最終建構(gòu)起對小數(shù)含義的數(shù)學(xué)理解。 上述教學(xué)中，教師通過不斷地假設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生變換對“單位1”的理解， 在不斷變換的過程中感受到， 選擇什么單位名稱并不重 要，只要把一個對象平均分成 10份，其中的 3 份就可以表示為 0.3 。這樣的教學(xué)設(shè)計， 既遵循了學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的基本規(guī)

15、律， 同時也觀照了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中抽象能力的培養(yǎng)， 發(fā)展了學(xué)生的數(shù) 學(xué)思考。四、拓展延伸，嘗試建立模型 師：今天我們研究的小數(shù)，有什么共同特點？ 生 1：我們研究的都是一位小數(shù)。生 2：我們研究的小數(shù)都可以表示成十分之幾，或十分之幾 和一個整數(shù)的和。師：生活中，還有很多不是一位小數(shù)的小數(shù)，就以張老師的 身高為例， 1.72 米，如果還是用長方形表示 1 米，那么， 1.72 米又該如何表示呢？學(xué)生獨立思考，然后小組熱烈討論，全班匯報。生 1：我覺得一位小數(shù)表示十分之幾，我猜兩位小數(shù)就應(yīng)該 表示百分之幾，所以，我們只要用 1 個完整的長方形表示 1 米， 然后再拿出 1 個完整的長方形， 把它平均

16、分成 100份，取其中的 72 份，就是米，也就是 0.72 米。合起來就是 1.72 米。生 2：我覺得不用這么麻煩，剛才我們已經(jīng)知道1.7 米該怎么表示了?，F(xiàn)以，它的后面又多了一個 2，我們知道，這個 2 表 示的是 2 厘米，所以，我們只要把 1.7 米后面的這個 0.1 再平均 分成 10份，取其中的 2份，這樣就是 1.72 米了。生 3：我覺得 1.72 米表示 1 米 7 分米 2 厘米。1 米就是 1 個 完整的長方形， 7 分米就是把 1 個長方形平均分成 10 份，取其 中的 7份；2 厘米就是把剛才的 1小份，也就是 1分米再平均分 成 10 份，取其中的 2 小份。合起

17、來， 就是 1.72 米了。（邊描述， 并在長方形中表示了出來）生 4：我懂了，如果是 1.725 米，我們就只要把 1.72 米后 面最小的 1 份再平均分成 10份，然后取其中的 5 份。（邊描述， 邊在長方形中表示了出來，但已經(jīng)看不太清楚了）生 5：我發(fā)現(xiàn)了，小數(shù)就是這樣不斷地往下分出來的。10生 6：我補充，小數(shù)在分的過程中，每次都要平均分成 份。比如，一位小數(shù)就是平均分成 10 份；兩位小數(shù)，就是把前 面分好的 1 小份再平均分成 10份；三位小數(shù)，就是把前面分好 的 1 小份再平均分成 10 份。這樣 10 份、 10 份地不斷分下去， 我們就可以得到三位小數(shù)、四位小數(shù)和更多位的小數(shù)。生7:我聽說過圓周率，它是一個無限小數(shù)，3.1415926 我現(xiàn)在知道該怎么表示它了，只要 1 0份、 1 0份地不斷分下去， 就能得到這個小數(shù)。師：通過剛才的分享，大家都認(rèn)識到，原來小數(shù)本質(zhì)上就是 把 1 這個數(shù) 10 份、 10 份地不斷分出來的。再回頭看看整數(shù)，整 數(shù)又是把 1 怎樣得出來的？生：我知道了，其實整數(shù)和小數(shù)是一樣的！只要我們把它們 連在一起，從前往后看，都是化一當(dāng)十；從后往前看，其實都是 滿十進(jìn)一。從一位小數(shù)拓展為兩位小數(shù)， 我們欣喜地發(fā)現(xiàn)了學(xué)生思維所 呈現(xiàn)出的可貴的遷移能力與創(chuàng)造性。 更重要的是， 通過這樣的拓 展與延伸， 學(xué)生有機會