全等三角形證明方法歸納經(jīng)典(1)

1、【第1部分 全等基礎(chǔ)知識歸納、小結(jié)】1、全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形。兩個全等三角形中， 互相重合的頂點(diǎn)叫做 對應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫 對應(yīng)邊，互相重合 的角叫對應(yīng)角。概念深入理解：(1 )形狀一樣，大小也一樣的兩個三角形稱為全等三角形。(外觀長的像)(2 )經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折之后能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形。(位置變化)2、 全等三角形的表示方法： 若厶ABCD A B' C'是全等的， 記作“ AB3A A B' C 其中，“也”讀作“全等于”。記兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對 應(yīng)的位置上。3、全等三角形的性質(zhì)

2、：全等是工具、手段，最終是為了得到邊等或角等，從而解決某些問題。(1) 全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等。(2) 全等三角形的對應(yīng)邊上的高，中線，角平分線對應(yīng)相等。(3) 全等三角形周長，面積相等。4、尋找對應(yīng)元素的方法(1 )根據(jù)對應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個三角形全等，那么，以對應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對應(yīng)角；以對應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是對應(yīng)邊。通常情況下，兩個三角形全等時，對應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫在對應(yīng)的位置上，因此， 由全等三角形的記法便可寫出對應(yīng)的元素。(2)根據(jù)已知的對應(yīng)元素尋找全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊;（3）通過觀察，想象圖形的運(yùn)動變化狀況，確定對應(yīng)關(guān)系。通過對兩個全等三

3、角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析， 可以看出其中一個是由另一個 經(jīng)過下列各種運(yùn)動而形成的；運(yùn)動一般有3 種：平移、對稱、旋轉(zhuǎn)；5、全等三角形的判定： （深入理解）邊邊邊（SSS邊角邊（SAS角邊角（ASA 角角邊（AAS斜邊，直角邊（HL）注意：（容易出錯（1 在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應(yīng)相等（邊定全等；（2）不能證明兩個三角形全等的是，三個角對應(yīng)相等，即AAA有兩邊和其中一角對應(yīng)相等，即 SSA。全等三角形是研究兩個封閉圖形之間的基本工具， 同時也是移動圖形位置的工具。 在平 面幾何知識應(yīng)用中， 若證明線段相等或角相等， 或需要移動圖形或移動圖形元素的位置， 常 常需要借助全等三角

4、形的知識。6、常見輔助線寫法： （照著輔助線說明要能做出圖、養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密的習(xí)慣如：過點(diǎn)A作BC的平行線AF交DE于F過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為 D延長AB至C,使BC= AC在 AB上截取 AC,使 AC= DE作/ ABC的平分線，交 AC于 D取AB中點(diǎn)C,連接CD交EF于G點(diǎn)同一條輔助線，可以說法不一樣，那么得到的條件、證明的方法也不同。BDC【第2部分中點(diǎn)條件的運(yùn)用】1還原中心對稱圖形（倍長中線法）中心對稱與中心對稱圖形知識：把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點(diǎn)對稱或中心對稱，這個點(diǎn)叫做對稱中心。 這兩個圖形中的對應(yīng)

5、點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對稱點(diǎn)。中心對稱的兩條基本性質(zhì):（1） 關(guān)于中心對稱的兩個圖形， 對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分。（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形。中心對稱圖形把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心。（一個圖形）如：平行四邊形所以遇到中點(diǎn)問題，依托中點(diǎn)借助輔線段本身就是中心對稱圖形 ，中點(diǎn)就是它的對稱中心,助線還原中點(diǎn)對稱圖形，可以把分散的條件集中起來（集散思想）。例1、AD是厶ABC中BC邊上的中線，若AB 2，AC 4,貝U AD的取值圍是 例2、已知在 ABC中，A

6、D是BC邊上的中線,求證：AC BE。例3、如圖，D是厶ABC的邊BC上的點(diǎn)，且 CD=AB / ADBM BAD 人丘是厶ABD的中線。求證：AC=2AE例4 ABC中，AD BE CF是三邊對應(yīng)中線。（則0為重心）求證：AD BE CF交于點(diǎn)Q （類倍長中線）；Svaob SvBOC Svcoa練習(xí)1、在厶ABC中, D為BC邊上的點(diǎn)，已知/ BAD / CAD BD CD求證：AB AC2、如圖，已知四邊形 ABCD中, AB CD M N分別為BC AD中點(diǎn)，延長 MN與 AB CD延長線交于 E、F,求證/ BEM / CFM（基本型：同角或等角的補(bǔ)角相等、K 型）B123、如圖，A

7、B=AE AB丄AE AD=AC ADLAC 點(diǎn) M為 BC的中點(diǎn)，求證： DE=2AM2、兩條平行線間線段的中點(diǎn)（“八字型”全等）如圖，h / J , C是線段AB的中點(diǎn)，那么過點(diǎn)AD例1已知梯形ABCD AD/ BC點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接 DE、C&求證：SVDEC1s梯 ABCD例2 如圖，在平行四邊形 ABCD中, AD=2AB M是AD的中點(diǎn)，CELAB于點(diǎn)E,/ CEM=40，求/ DME的大小。（提示：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）例3已知 ABDD ACE都是直角三角形， 且/ ABD / ACE=90 ,連接DE,設(shè)M為DE的中點(diǎn)。求證： MB MC設(shè)/ BAD

8、/ CAE固定 Rt ABD讓Rt ACE移至圖示位置，此時MB MC是否成立？請證明你的結(jié)論。E練習(xí)1、已知：如圖，梯形 ABCD中 , AD/ BC / ABC=90 .若 BD=BC F是CD的中點(diǎn)，試問：/ BAF與/ BCD的大小關(guān)系如何？請寫出你的結(jié)論并加以證明；2、Rt ABC中，/ BAC=90 , M為BC的中點(diǎn)，過 A點(diǎn)作某直線l，過B作BD l于點(diǎn)D,過C作CE l于點(diǎn)E。(1) 求證：MD=ME3、如圖(1),在正方形 ABCD和正方形 CGEF( CG> BC)中，點(diǎn) B、C G在同一直線上， M 是AE的中點(diǎn)，(1 )探究線段MD MF的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明

9、；(2) 將圖(1)中的正方形 CGEF繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，使正方形 CGEF的對角線CE恰好與正 方形ABCD勺邊BC在同一條直線上，原問題中的其他條件不變。 (1)中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明。(結(jié)合前面“8字型”全等，仔細(xì)思考)3、構(gòu)造中位線三角形中位線 定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.重點(diǎn)區(qū)分：要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開，三角形中線是連結(jié)一頂點(diǎn)和它對邊（全等法）在厶ABC中，D E分別是AB AC邊的中點(diǎn)，證明：DE/ BC DE=1 BC2的中點(diǎn)；而三角形中位線是連結(jié)三

10、角形兩邊中點(diǎn)的線段。DEF/7B C證明：延長 DE至F點(diǎn)，使DE=EF連接CF （倍長中線）三角形的中位線在位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系二方面把三角形有關(guān)線段聯(lián)系起來，將題目給出的分散條件集中起來（集散思想）。注：題目中給出多個中點(diǎn)時，往往中點(diǎn)還是不夠用的。在四邊形 ABCD中, E、F、G H分別是AB BC CD DA的中點(diǎn)。A求證：四邊形EFGH是平行四邊形。HDVGBFC例10,且AC=BD M N分別是 AB CD的中點(diǎn),例2已知四邊形 ABCD勺對角線AC與BD相交于點(diǎn)MN分別交BD AC于點(diǎn)E、F.你能說出0E與0F的大小關(guān)系并加以證明嗎?C練習(xí)1、三角形ABC中，AD是/ BAC的角平

11、分線,BDLAD點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，如果 AB=6 AC=14求DE的長。2、AB/ CD BC/ AD , DEL BE ,DF=EF,甲從 B 出發(fā)，沿著 BA->AD->DF 的方向運(yùn)動，乙 B出發(fā)，沿著BC->CE->EF的方向運(yùn)動，如果兩人的速度是相同的，且同時從B出發(fā)，貝U誰先到達(dá)F點(diǎn)?3、等腰Rt ABC與等腰Rt CDE中，/ ACB=/ EDC=90，連AE、BE,點(diǎn) M為 BE的中點(diǎn)，連DM(1 )當(dāng)D點(diǎn)在BC上時，求的值A(chǔ)E(2)當(dāng)厶CDE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角時，上結(jié)論是否任然成立，試證明4、AABC CEF都為等腰直角三角形，當(dāng)

12、E、F在AC BC上，/ ACB=90，連 BE、AF,點(diǎn)M N分別為AF、BE的中點(diǎn)(1) MN與AE的數(shù)量關(guān)系MN與 AE的數(shù)量關(guān)系(2) 將厶CEF繞C點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角,4、與等面積相關(guān)的圖形轉(zhuǎn)換在涉及三角形的面積問題時，中點(diǎn)提供了底邊相等的條件，這里有個基本幾何圖形例E、F是矩形ABCD勺邊AB BC的中點(diǎn)，連AF、CE交于點(diǎn)G,則S四邊形AGCD S矩形ABCD擴(kuò)展 如圖，等腰 Rt ACD與 Rt ABC組成一個四邊形 ABCD AC=4,對角線BD把四邊形ABCD分成了二部分，求 Svabd Svbcd的值?！?、等腰三角形中的“三線合一”】它告訴我們等腰三角形與直角三角形有

13、著“三線合一”是相當(dāng)重要的結(jié)論和解題工具, 極為親密的關(guān)系例 ABC中，AB=AC BDL AC 于 D,問/CBD和/BAC 的關(guān)系?轉(zhuǎn)為同類三角形分析：/ CBD和/BAC分別位于不同類型的三角形中，可以考慮例 在厶ABC中，AB=AC=5 BC=6點(diǎn)M為BC中點(diǎn),MNLAC于點(diǎn) N,貝U MN=【6、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半】這可以作為一個定理直接運(yùn)用， 關(guān)于這個定理的證明有多種方法，包括利用前面所講中點(diǎn)的一些知識。例 如圖Rt ABC中，/ ACD=90 , CD為斜邊AB上的中線1求證：CD= AB2(1)利用垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上任一點(diǎn)到線段的二個端點(diǎn)的距離相等

14、。取AC的中點(diǎn)E,連接DE則DE/ BC (中位線性質(zhì))Q / ACB=90BCL AC , DEI AC則DE是線段AC的垂直平分線AD=CD(2)全等法，證法略。例 在三角形ABC中，AD是三角形的高，點(diǎn) D是垂足，點(diǎn)E、點(diǎn)，求證：四邊形 EFGD是等腰梯形。F、練習(xí) 1、在 Rt ABC中，/ A=90°, AC=AB M N分別在 ACO為斜邊BC的中點(diǎn)。試判斷厶OMN的形狀，并說明理由。2>A ABC中，/ A=90° ,(集散思想)D是BC的中點(diǎn)，DEL DF。求證：EFAB 上，且 AN=BMBE2 CF3、A ABC 中，AB=AC 點(diǎn)D 在 BC上,

15、 E 在 AB上，且 BD=DE的中點(diǎn)(1)若/ BAC=90，則/PMN=，并證明(2)若/ BAC=60PMN=，則/1假設(shè)給出如下定義：有一組相鄰角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形請解答下列問題:(1) 寫出一個你所學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；(2) 如圖1,在厶ABC中，AB=AC點(diǎn)D在BC上，且CD=CA點(diǎn)E、F分別為BC AD的中點(diǎn),連接EF并延長交AB于點(diǎn)G.求證：四邊形 AGEC是等鄰角四邊形；(3) 如圖2,若點(diǎn)D在厶ABC的部，(2)中的其他條件不變， EF與CD交于點(diǎn)H,是否存在 等鄰角四邊形，若存在，是哪個四邊形，不必證明；若不存在，請說明理由.2、已知：

16、 ABC和 ADE都是等腰直角三角形，/ ABC=/ADE=90，點(diǎn) M是CE的中點(diǎn)，連接BM(1)如圖，點(diǎn) D在AB上，連接DM并延長 DM交BC于點(diǎn)N,可探究得出 BD與BM的數(shù)量關(guān)系為，寫出證明過程。(2)如圖，點(diǎn) D不在AB上, (1)中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由。A3、在厶 AOB中，AB=OB=2 COD中, CD=OC=3 / ABO2 DCO 連接 AD BC,點(diǎn) M N、P 分別為OA OD BC的中點(diǎn).若A O C三點(diǎn)在同一直線上，/ ABO=60，則 PMNAD的形狀是，此時型=BC4、已知：如圖，正方形 ABCD中, E為對角線 BD上一點(diǎn)，

17、過E點(diǎn)作EF丄BD交BC于F,連接DF, G為DF中點(diǎn)，連接EG CG(1) 求證：EG=CG(2) 將圖中厶BEF繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)450，如圖所示，取 DF中點(diǎn)G,連接EG CG問(1) 中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.(3) 將圖中厶BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？(均要求證明)全等三角形綜合二知識點(diǎn)：1、全等三角形的判定及性質(zhì):2、角平分線的性質(zhì)與判定：3、常用輔助線：例題講解例 1、如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于 D, AE平分/ BAG 交 C

18、D于 K,交 BC 于E，F(xiàn)是BE上一點(diǎn)，且 BF=CE求證：FK/ AB.例 2、如圖 1 , ABC中，/ BAC=90 , BA=AC(1) D為AC的中點(diǎn)，連BD,過A點(diǎn)作AE1 BD于E點(diǎn)，交BC于F點(diǎn)，連DF,求證：/ ADB=/ CDF(2) 若D, M為AC上的三等分點(diǎn)，如圖 2，連BD過A作AE丄BD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連MF判斷/ ADB與/ CMF的大小關(guān)系并證明.例3、如圖，在 ABC中，/ C=90°, M為AB的中點(diǎn)，DMLAB, CD平分/ ACB 求證：MD=AM例4、在厶ABC中，/ ACB為銳角，動點(diǎn) D (異于點(diǎn)B)在射線BC上，連接AD以AD

19、為邊在 AD的右側(cè)作正方形 ADEF連接CF.(1 )若 AB=A(CZ BAC=90 那么如圖一，當(dāng)點(diǎn) D在線段BC上時，線段CF與BD之間的位置、大小關(guān)系是 (直 接寫出結(jié)論)如圖二，當(dāng)點(diǎn) D在線段BC的延長上時，中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.(2) 若 人片AC, / BAO 90° .點(diǎn)D在線段BC上，那么當(dāng)/ ACB等于多少度時？線段 CF 與BD之間的位置關(guān)系仍然成立請畫出相應(yīng)圖形，并說明理由.例5、如圖所示，已知 A B為直線I上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線I上方一動點(diǎn)，連接 AC BC, 分別以AC BC為直角邊向 ABC外作等腰直角 CAD和等腰直角 CBE滿足/ CAD=

20、/CBE=90，過點(diǎn) D作DD丄I于點(diǎn)D,過點(diǎn)E作EE丄I于點(diǎn)E.(1) 如圖，當(dāng)點(diǎn) E恰好在直線I上時，試說明DD=AB;(2) 在圖中，當(dāng)D, E兩點(diǎn)都在直線I的上方時，試探求三條線段 DD, EE, AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圉例5圖D例6、如圖1,已知點(diǎn)A (a, 0),點(diǎn) B ( 0, b)，且 a、b 滿足 Ja 4 |4(1) 求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 若點(diǎn)C是第一象限一點(diǎn)，且/(3) 如圖2，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0, 1),過點(diǎn)A作AEL AD且AE=AD連接BE交x軸于 點(diǎn)G,求G點(diǎn)的坐標(biāo).OCB=45，過點(diǎn) A作ADLOC于點(diǎn)F,求證:FA=FC鞏固：1如圖，已知/ B

21、AC=90 , AD丄BC于點(diǎn)D,Z仁/ 2, EF/ BC交AC于點(diǎn)F.試說明 AE=CF2、如圖， ABC 中，AD 平分/ BAC DGL BC 且平分 BC, DEI AB 于 E, DF 丄 AC于 F.(1) 說明BE=CF的理由；(2) 如果 AB=5, AC=3 求 AE BE 的長.3、如圖， ABC中，AC=2AB AD平分/ BAC交 BC于 D, E是 AD上一點(diǎn)，且 EA=EC 求證：EB丄AB.4、如圖，在 ABC中，/ ACB=90 , P為AC上一點(diǎn)，PQL AB于Q, AM丄AB交BP的延長線 于 M MN丄AC于 N, AQ=MN( 1)求證： AP=AM；

22、( 2)求證： PC=AN.5、如圖， ABC / BAC=60，/ ACB=40 , P, Q分別在 BC, CA上，并且 AP, BQ分別是/ BAC/ ABC的平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP6、將兩個全等的直角三角形ABC和 DBE按圖(1)方式擺放，其中/ ACB=/ DEB=90 ,/ A=Z D=30°,點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn) F.(1) 求證：CF=EF(2) 若將圖(1)中的 DBE繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角 a,且0°v av 60°,其他條件不 變，如圖(2).請你直接寫出 AF+EF與DE的大小關(guān)系：AF+EFDE

23、 (填“”或“=” 或 “V”)(3) 若將圖(1)中厶DBE的繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角B,且 60°v3v 180°，其他條 件不變，如圖(3) 請你寫出此時 AF、EF與DE之間的關(guān)系，并加以證明.7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)， ABC的三點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A ( 0, 5) , B(-5 , 0),C (2, 0), BD丄AC于D且交y軸于E,連接CE.(1 )求厶ABC的面積；AE(2 )求 匹 的值及 ACE的面積.8、如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A (4 , 4),點(diǎn)B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，S四邊形OBAC=16(1) z COA的值為

24、 ;(2) 求/ CAB的度數(shù)；(3) 如圖2,點(diǎn)M N分別是x軸正半軸及射線 OA上一點(diǎn)，且 OHLMN的延長線于H,滿足 / HON=/ NMO請?zhí)骄績蓷l線段 MN OH之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.9、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A ( 2, 0),點(diǎn)B (0, 3)和點(diǎn)C ( 0.2 );(1) 請寫出OB的長度：OB=;(2) 如圖：若點(diǎn) D在x軸上，且點(diǎn) D的坐標(biāo)為(-3 , 0),求證： AOBA COD(3) 若點(diǎn)D在第二象限，且厶AOB2A COD則這時點(diǎn)D的坐標(biāo)是 (直接寫答案)10、已知，在 ABC中, CA=CB CA CB的垂直平分線的交點(diǎn) O在AB上，M N分別在直線AC BC上，/ MONMA=45°(1) 如圖1,