D14無窮小量與無窮大量1ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一章 二、二、 無窮小的等價代換無窮小的等價代換 三三 、無窮大量、無窮大量 一、一、 無窮小量及其階無窮小量及其階 第四節(jié)無窮小量與無窮大量目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng) 1. 定義定義1 . 假設(shè)假設(shè)0 xx 時, 函數(shù)( )0,x則稱函數(shù)( )x0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函數(shù) 1x當(dāng)1x時為無窮小;,01limxx函數(shù) x1x時為無窮小;,011limxx函數(shù) x11當(dāng)x)x(或為時的無窮小量,簡稱無窮小 .時為無窮小.)x(或一、一、 無窮小量及其階無窮小量及其階 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1 . 假設(shè)假設(shè)0 xx 時, 函數(shù)

2、( )0,x則稱函數(shù)( )x0 xx )x(或為時的無窮小量,簡稱無窮小 .)x(或0limsin0 xx1lim0 xx0limln(1)0 xx0limarcsin0 xx0limarctan0 xx1lim( )02nn22lim(4)0 xx1limsin0nn以零為極限的數(shù)列也是當(dāng)n時的無窮小目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1 . 假設(shè)假設(shè)0 xx 時, 函數(shù)( )0,x則稱函數(shù)( )x0 xx )x(或為時的無窮小量,簡稱無窮小 .)x(或說明說明: 2.無窮小量不是一個非常小的數(shù)，0是可以作為無窮小的唯一常數(shù) ! 1.無窮小首先是一個函數(shù)，其次要指明自變量趨向于什么。只有在

3、自變量趨向確定下并引起函數(shù)值趨于0，才能稱函數(shù)為無窮小。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1 . 假設(shè)假設(shè)0 xx 時, 函數(shù)( )0,x則稱函數(shù)( )x0 xx )x(或為時的無窮小量,簡稱無窮小 .)x(或說明說明: 除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小 ! 因為0)(lim0 xfxx,0,0當(dāng)00 xx時, 0)(xf顯然 C 只能是 0 !CC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其中(x) 為一個無窮小定理定理 1 . ( 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 )lim( )( )( )f xaf xax證證: :僅就 的情形證明,其他情形類似.0 xx 必要性必要性 設(shè)設(shè)0

4、lim( )xxf xa, ,那那么么0lim( ) 0 xxf xa令令( )( )xfxa，那那么么其中(x) 是當(dāng) 的無窮小,并且0 xx ( )( )f xax充分性充分性 設(shè)設(shè)( )( )f xax, ,(x) 是當(dāng) 的無窮小0 xx 那那么么0lim( )xxf x0lim( )xxax0lim( )xxax a2. 無窮小量的性質(zhì)無窮小量的性質(zhì)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 無限個無窮小之和不一定是無窮小無限個無窮小之和不一定是無窮小 !例如，例如，1211lim222nnnnnn1(1)有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量;定理定理 2. 自變量相同變化趨勢的無窮小量有如

5、下性質(zhì)自變量相同變化趨勢的無窮小量有如下性質(zhì):(2)有限個無窮小量的乘積是無窮小量;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證: :由已知, f在x0處是局部有界的,故0,0,M0(, ),xU x 恒有( ).f xM從而0(, ),xU x ( ) ( )|( )|,x f xMx故|( )|( ) ( )|( )|.Mxx f xMx0lim( )0,xxx由于0lim( ) ( )0,xxx f x由加逼性得知所以(x) f(x) 是當(dāng) 時的無窮小.0 xx (x) 是當(dāng) 的無窮小,0 xx 定理定理 3. 設(shè)設(shè)f是在x0處局部有界的函數(shù),那么(x) f(x) 是當(dāng) 時的無窮小.0 xx 目錄

6、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (x) 是當(dāng) 的無窮小,0 xx 定理定理 3. 設(shè)設(shè)f是在x0處局部有界的函數(shù),那么(x) f(x) 是當(dāng) 時的無窮小.0 xx (x) 是當(dāng) 的無窮小,x 定理定理. 設(shè)設(shè)f是在 內(nèi)有界(即 ) 那么(x) f(x) 是當(dāng) 時的無窮小.x ( )U 0,( ),( )MxUf xM 恒有可以簡記作：有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 求求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 3 可知.0sinlimxxx說明說明 : y = 0 是是xxysin的漸近線 .Oxyxxysin目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

7、,0時xxxxsin,32都是無窮小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )o記作,0, )0(C,1lim0,kC是 的高階無窮小，是 的低階無窮小是 的同階無窮小是 的等價無窮小,是 的 k 階無窮小記作( )lim( )xx特別取(x)=x-x0,假設(shè) 則稱(x)是當(dāng)xx0時的k階無窮小.00( )limc,()kxxxxx設(shè)(x)與(x)是自變量x有相同變化趨勢的無窮小,且(x) 0.定義定義2(無窮小的階無窮小的階). 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 當(dāng)當(dāng)x0時時,試比較下列無窮小的階試比

8、較下列無窮小的階:322(1) ( )2,( )2;xxxxx(2) ( )sin ,( );xxxx(3) ( )tan ,( );xxxx21(4) ( )1 cos ,( );2xxxx 解解: (1)32200( )2limlim1;( )2xxxxxxx由于3223220,22,22,xxxxxxx所以當(dāng)時與是等價無窮小 即3220.xxx并且是當(dāng)時的二階無窮小(2)00( )sinlimlim1;sin.( )xxxxxxxx由于所以目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 00( )tanlimlim1;tan.( )xxxxxxxx由于所以(4)2002( )1 cos1limlim1;1

9、 cos.1( )22xxxxxxxx由于所以1 cos0.xx并且是當(dāng)時的二階無窮小例例2. 當(dāng)當(dāng)x0時時,試比較下列無窮小的階試比較下列無窮小的階:322(1) ( )2,( )2;xxxxx(2) ( )sin ,( );xxxx(3) ( )tan ,( );xxxx21(4) ( )1 cos ,( );2xxxx 解解: (3)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由上例中(2)(3)(4)可得,當(dāng)x0時,sintan ,xxx211 cos.2xx根據(jù)高階無窮小的定義,上式還可以表示為:當(dāng)x0時,221sin( ),tan( ),1 cos().2xxxxxxxxx注意: 并非每個無窮小

10、都有階數(shù),比如當(dāng)x0時,1sinxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 3. 證明證明: :當(dāng)當(dāng)0 x時,11nx.1xn證證: 0limx11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx1,0時當(dāng) x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb1x分子目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 證明證明: e1 (0)xx x證證:, 1e xy令, )1ln(yx則,0,0yx時且xexx1lim0)1ln(lim0yyyyyy1)1ln(1lim0eln11xx1e ln(1) (0)xx x 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 因而 即有等價關(guān)系: 說明說明: 上述證

11、明過程也給出了等價關(guān)系上述證明過程也給出了等價關(guān)系: )1ln(1lim10yyy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 無窮小的等價關(guān)系具有如下性質(zhì)：無窮小的等價關(guān)系具有如下性質(zhì)：(1) 自反性：,那么,那么(2) 對稱性：假設(shè)(3) 傳遞性：假設(shè)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明提示證明提示:二、二、 無窮小的等價代換無窮小的等價代換 定理定理4 . 設(shè)設(shè)(x)與與(x), 都是自變量有相都是自變量有相同變化趨勢的無窮小同變化趨勢的無窮小,假設(shè)假設(shè) 并并且且( )( )xx與( )( )( )( ),xxxx( )lim( ),xx存在那么( )lim( ),xx也存在并且( )( )limlim(

12、 )( )xxxx( )( )( )( )( )( )( )( )xxxxxxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 利用無窮小等價代換定理求以下極限利用無窮小等價代換定理求以下極限解解: 因為因為0()020121(1)limarcsinarctan23xxxx222112122xxx0arcsin2lim2xxx(arcsin)2xu 0lim1sinxuu所以所以arcsin,arctan.2233xxxx同理2200121limlim6arcsinarctan232 3xxxxxxx x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)co

13、s1 (tanlimxxxx2132210limxxxx(2)解解: 原式 注意注意: 應(yīng)用無窮小等價代換定理求極限時應(yīng)用無窮小等價代換定理求極限時,只能對待只能對待求極限函數(shù)中的無窮小因子進(jìn)行求極限函數(shù)中的無窮小因子進(jìn)行.若待求極限的函數(shù)若待求極限的函數(shù)表達(dá)式中含有函數(shù)的加減法運算表達(dá)式中含有函數(shù)的加減法運算,則不能對其中的相則不能對其中的相加與相減的無窮小項進(jìn)行等價代換加與相減的無窮小項進(jìn)行等價代換.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 231x221x(3).1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時當(dāng) x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32目錄 上頁 下

14、頁 返回 結(jié)束 三、三、 無窮大量無窮大量(絕對值無限趨大的變量絕對值無限趨大的變量)定義定義3 . 設(shè)設(shè)0:()f U xR是一個函數(shù),假設(shè)0lim( ),xxf x 即0|0 xx|0,0,M使得當(dāng)則稱函數(shù)f(x)是當(dāng) 時的無窮大量,簡稱無窮大 .0 xx時,恒有|( )|,f xM定義定義3 . 設(shè)設(shè)0:()f U xR 是一個函數(shù),假設(shè)lim( ),xf x即xX0,0,XM 使得當(dāng)則稱函數(shù)f(x)是當(dāng) 時的無窮大量,簡稱無窮大 .x 時,恒有|( )|,f xM若在定義中改為Mxf)(則記作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx, )(Mxf目錄 上頁 下頁 返回

15、 結(jié)束 注意注意:1. 無窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2. 函數(shù)為無窮大 , 必定無界 . 但反之不真 !例如例如, 函數(shù)函數(shù)),(,cos)(xxxxf)2( nf)(n當(dāng)2n但0)(2nf,時所以x)(xf不是無窮大 !xxycosOxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 證明證明11lim1xx證證: 任給正數(shù)任給正數(shù) M ,要使,11Mx即,11Mx只要取,1M則對滿足10 x的一切 x , 有Mx11所以.11lim1xx11xy假設(shè) ,)(lim0 xfxx則直線0 xx 為曲線)(xfy 的鉛直漸近線 .鉛直漸近線說明說明:xyO1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

16、 假設(shè) lim( ),xf xa則稱直線ya為曲線)(xfy 的水平漸近線 .如下圖Oxyxy1. 01limxx.10的水平漸近線為xyy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 假設(shè))(xf為無窮小, 且,0)(xf那么)(1xf為無窮大.)(1xf假設(shè))(xf為無窮大,為無窮小 ;那么據(jù)此定理(1) , 關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為 無窮小來討論.定理定理5. 在自變量的相同變化趨勢下在自變量的相同變化趨勢下,有下述結(jié)論有下述結(jié)論:說明說明:(1)有限個無窮大量的乘積是無窮大量有限個無窮大量的乘積是無窮大量;(3) 無窮大量與有界量之和是無窮大量無窮大量與有界量之和是無窮大量.目錄 上頁 下頁 返回

17、結(jié)束 兩個無窮大量的代數(shù)和不一定是無窮大量;無窮大量與有界量的乘積不一定是無窮大量.注意注意:大O記號設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)定義在x0的某去心鄰域 中,假設(shè) 在x0處是局部有界的,則記作 .特別地,假設(shè)f(x)在x0處是局部有界的,則記作f(x)=O(1).0()U x( )( )f xg x( )( ( )f xO g x例如例如:sin(1), sin( )11OxO xxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考題思考題任何兩個無窮小都可以比較嗎？不能不能例例: : 當(dāng)當(dāng) 時時 x,1)(xxf xxxgsin)( 都是無窮小量但 )()(limxfxgxxxsinlim 不存在且不為無窮大

18、故當(dāng) 時 x)(xf和和)(xg不不能能比比較較.解解.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6 6、xaxnx1)1(lim10 = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7 7、當(dāng)、當(dāng)0 x時，時，)0(3 aaxa 對于對于x是是_階無窮小階無窮小 . .8 8、當(dāng)、當(dāng)0 x時，無窮小時，無窮小xcos1 與與nmx等價，則等價，則 ._, nm 二、求下列各極限：二、求下列各極限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、 證明：若證明：若 ,是無窮小，則是無窮小，則)(0 . .四、