數(shù)學(xué)建模作業(yè)6指數(shù)增長(zhǎng)模型和Logistic模型

1、佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院上機(jī)報(bào)告課程名稱 數(shù)學(xué)建模上機(jī)項(xiàng)目 指數(shù)增長(zhǎng)模型和 Logistic 模型專業(yè)班級(jí) 姓 名 學(xué) 號(hào) 一、問題提出人口問題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問題之一。認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長(zhǎng)的前提。要求：分別建立并求解兩個(gè)最基本的人口模型，即：指數(shù)增長(zhǎng)模型和 Logistic 模型，并利用表 1 給出的近兩百年的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，畫出圖形擬合數(shù)據(jù)，對(duì)模型做出檢驗(yàn)，最后用它預(yù)報(bào)2000 年的人口。表 1 人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年（公元）1790180018101820183018401850人口（百萬）9.612.917.123.2年（公元）18601

2、87018801890190019101920人口（百萬）31.438.650.262.976.092.0106.5年（公元）1930194019501960197019801990人口（百萬）123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4模型一：指數(shù)增長(zhǎng)（ Malthus ）模型：（1）模型假設(shè)常用的計(jì)算公式：今年人口 x0, 年增長(zhǎng)率 r，k 年后人口為 xk x0（1 r）k 假設(shè)：人口增長(zhǎng)率 r 是常數(shù)（或單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的人口成正比） 符號(hào)說明：x0 t=0時(shí)的人口數(shù)， x（t）時(shí)刻 t的人口數(shù)(2) 模型建立(顯示模型函數(shù)的構(gòu)造過程)由于量大，

3、x(t )可看作連續(xù)、可微函數(shù)， t到t t 時(shí)間內(nèi)人口的增量為 x(t t) x(t)t rx(t)于是 x(t) 滿足微分方程dx1)rxdt x(0) x0(3) 模型求解(顯示模型的求解方法、步驟及運(yùn)算程序、結(jié)果) 解微分方程( 1)得 x(t) x0ert(2)當(dāng)t時(shí)， x(t) (r 0) ,即隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng)。(4) 模型的參數(shù)估計(jì)要用模型的結(jié)果( 2)式來預(yù)報(bào)人口，必須對(duì)常數(shù) r 進(jìn)行估計(jì)，可以用表 1 的數(shù) 據(jù)通過擬合得到。取 x0 3.9 ，通過( 2)式以及表中 1790-1990 的數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二 乘法擬合得 r=0.2169. 程序如下： 模型求解

4、：取初始值 x(0)=3.9Matlab 程序： 建立 M 文件 volum.m, 如下： function y=volum(beta,t) y=3.9*exp(beta(1)*t);再建立 r1.m 程序，如下：t=0:1:20;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4;beta0=0.01; beta,r,J=nlinfit(t',x', 'volum' ,beta0);beta結(jié)

5、果為 beta =0.2169(5) 模型檢驗(yàn)先建立 M 文件 renkou.m ，如下：function x=renkou(beta,t) x=3.9*exp(beta*t);再建立程序 zhishu.m ，如下：t=0:1:20;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4;beta0=0.01;beta=nlinfit(t',x', 'renkou' ,beta0) y=3.9*exp

6、(beta*t);yplot(t,x, '*' ,t,y)error=abs(y-x)寸90e寸LLreg98909Ng6 寸 80.6L0nol 卜 L SUlUn-OOgg900Lg'OL 寸C 089 寸l<0 LgOLQ9 卜0.99Lnol 6 SUlUn-OO00060nol L SUIUn-OO69L0.Om<1af1s"cl00旳"«爲(wèi)|-<=;忙|-5二c1m-Rk.il4l6f=- E -2 Err才 4T=WSH-sftMUSHB(4 r+-,q J le*lHHMu 4Qun,J口 <一 一回

7、®+ -dTH 咅 OPLW doplm 占 Sncp口50CJ. -3 o 京上 土 PLU衛(wèi)工Ero 上 IUQJ>83L<r3EnIJo<LElgc-EP<cJLIl-<0 JO4一 P 山125.2914 155.6324 193.3208 240.1359 298.2879error =Columns 1 through 80 0.4556 1.182413.6043Columns 9 through 1616.4949 22.7418 28.7925 30.8345Columns 17 through 212.12523.61515.5666

8、8.873633.632939.373241.128941.998525.4086 23.6676 10.679213.6359 46.8879圖像如下：根據(jù)擬合出的數(shù)據(jù)和原來數(shù)據(jù)填寫表格，如下：年實(shí)際人口指數(shù)增長(zhǎng)模型（公元 ）（百萬）預(yù)測(cè)人口（百萬）誤差表 2 實(shí)際人口與按指數(shù)增長(zhǎng)模型計(jì)算的人口比較17903.93.9000018005.34.84470.455318107.26.01811.181918209.67.47582.1242183012.99.28663.6134184017.111.53605.5640185023.214.33038.8697186031.417.80141

9、3.5986187038.622.113216.4868188050.227.469522.7305189062.934.123228.7768190076.042.388533.6115191092.052.655839.34421920106.565.410141.08991930123.281.253741.94631940131.7100.935030.76501950150.7125.383425.31661960179.3155.753823.54621970204.0193.480510.51951980226.5240.345313.84531990251.4298.56174

10、7.1617分析原因，該模型的結(jié)果說明人口將以指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng)。而事實(shí)上，隨著人口的增加， 自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的限制作用越來越顯著。如果當(dāng)人口較少時(shí)人口的自然 增長(zhǎng)率可以看作常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，這個(gè)增長(zhǎng)率就要隨著人口增加而 減少。于是應(yīng)該對(duì)指數(shù)增長(zhǎng)模型關(guān)于人口凈增長(zhǎng)率是常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改。下面的模型是修改 后的阻滯增長(zhǎng)模型。模型二： Logistic 模型(阻滯增長(zhǎng)模型)(1) 模型假設(shè)假設(shè) 1：人口增長(zhǎng)率 r 為人口x(t)的函數(shù)r(x) (減函數(shù))，即可假定r (x) r sx,r,s 0 (線性函數(shù))，r 叫做固有增長(zhǎng)率。假設(shè) 2：自然資源和環(huán)境條件能

11、容納的最大人口容量為 xm(2) 模型建立r當(dāng) x xm時(shí)，增長(zhǎng)率應(yīng)為 0，即 r(xm) 0 ，于是 s ，代入 r(x) r sx，得： xmxr(x) r(1 )( 4)xm將( 3)式代入( 1)式得：dxxr(1 )xdtxm( 5)x(0) x0(3) 模型求解顯示模型的求解方法、步驟及運(yùn)算程序、結(jié)果)解(4)得x(t)6)xm1 (xm 1)e rt x0根據(jù)方程( 4)作出 x曲線圖，如圖 1所示，由圖 1看出人口增長(zhǎng)率隨人口 dt數(shù)的變化規(guī)律。根據(jù)結(jié)果( 5)式作出 xt 的曲線圖，如圖 2 所示，由圖 2 可看出人 口數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律。dt0 t圖 2：阻滯增長(zhǎng)模型 xt

12、 曲線圖(4) 模型的參數(shù)估計(jì)通過表 1 中 1790-1990 年的數(shù)據(jù)對(duì) r 和 xm 進(jìn)行擬合，得到 r 0.2798 ， xm 311.9555 。程序如下：模型求解：取初始值 x(0)=3.9Matlab 程序： 建立 M 文件 volum1.m, 如下： function y1=volum1(beta,t) y1=beta(1)./(1+(beta(1)./3.9)-1).*exp(-beta(2)*t); 再建立程序 rm.m ，如下：t=0:1:20;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 1

13、06.5 123.2131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4; beta0=10 0.01'beta,r,J=nlinfit(t',x', 'volum1' ,beta0); betaIMSqE迪 W I 迺 二 J存jln ;X 二 G6石7-存o-6s-Hsr(66r5II 二目齊二.気E.芒二二.m空雖90二.呂靜E隱PS常二E =I.r-二dg &拄二I肝MP gRBCl.Cn-90廠；C=?I.1-,4L*UrXL-=TM-迦'L÷bPot(t,x,'*' JWUCha=a

14、bs(x-y)439LAJ>I+OI密Ilfir86 A9)dx *(76co(9996 LLco)+L=(9996 LLCOHA于 LgB 9.9 對(duì) 0寸 OBCO6L、09L LCOLBCO2L 990LOz6 0.9 卜 6Z9 口 09 9CCO寸 LcoBco2 L2L 6ZL 96 CLco9 6cllX o? LOIL§& ISiCUrrent Foldrr； CU¾eirsdminiStratorXDocum rtMATLAComrad WiindOWjIIIIlIn » 吩 In ICa pi_*iIf CJiI n&q虧

15、 LU盤4VfeDCIJrrCnt FOldClr口甲 X4a r»WLflILU-ILUnlDA j'iun 鳥W86 卜 0.0ggg6LoH eq-a*s-*33rtD> r,i;VuWrDtHk7*l<j廠UOS -sU-ISS4舄 Irflr+&r-r Z 6lr>薜 T Tnl g>2當(dāng) 0當(dāng)rl0 M-S ® -K->P=E 7二二巳 22-4HEX6*"- EUTColumns 1 through 83.9000 5.13846.76158.882411.643215.218919.820425.692

16、7Columns 9 through 1633.1076 42.345953.665967.257183.1819101.3160121.3073142.5731Columns 17 through 21164.3532 185.8106206.1566224.7610241.2164wucha =Columns 1 through 80 0.16160.43850.71761.25681.88113.37965.7073Columns 9 through 165.4924 7.85419.23418.74298.81815.18401.892710.8731Columns 17 throug

17、h 2113.6532 6.5106 2.1566 1.7390 10.1836根據(jù)擬合出的數(shù)據(jù)和原來數(shù)據(jù)填寫表格表 3 實(shí)際人口與按 logistic 增長(zhǎng)模型計(jì)算的人口比較年（公元 ）實(shí)際人口（百萬）logistic 模型預(yù)測(cè)人口（百萬）誤差17903.93.9000018005.35.13840.161618107.26.76150.438518209.68.88240.7176183012.911.64321.2568184017.115.21891.8811185023.219.82043.3796186031.425.69275.7073187038.633.10765.4924188050.242.34597.8541189062.953.66599.2341190076.067.25718.7429191092.083.18198.81811920106.5101.316052121.30731.8927