李群,拓?fù)渑c微分幾何

1、【doc】李群，拓?fù)渑c微分幾何李群, 拓?fù)渑c微分幾何; f/ 廠 ;重壟璧( 南開大學(xué)數(shù)學(xué)系天津 S00071)摘要該文介紹產(chǎn)志達(dá)院士的若千工作 , 以慶賀他的八十壽辰 .q在西南聯(lián)大時 , 轉(zhuǎn)入算學(xué) 嚴(yán)志達(dá)教授是江蘇南通人 .1936 年考入清華大學(xué)物理 系.系.1941 年畢業(yè)后在云南大學(xué)任教 .1946 年赴法留學(xué) , 獲法國家博士學(xué)位 .1952 年回國后在南開大學(xué)任教 .1993 年當(dāng)選中國科學(xué)院院士 . 嚴(yán)志達(dá)的第一篇數(shù)學(xué)論文是他在學(xué)生時代與當(dāng)時西南聯(lián)大教授陳省身合作的 . 此文得到的關(guān)于積分幾何運(yùn)動基本公式lz(D.nD)dKJ0?型01 一 z(Do)V1+.l,z(D)Vo+

2、?M,:被稱為豫一嚴(yán)公式 .當(dāng)時, 陳省身,華羅庚等在西南聯(lián)大舉辦了在國內(nèi)外都很先進(jìn)的李群討論班 , 代 數(shù)討論班(內(nèi)容有典型群的表示理論等 ). 這些討論班無疑對嚴(yán)志達(dá)以后從事李群和 般分幾何的研究產(chǎn)生了重要影響 .如果一個群G同時還有微分流形的結(jié)構(gòu)，而且群的兩種運(yùn)算（乘法與求逆）是解 析 的,則稱G為李群.李群G的左不變向量場構(gòu)成一個李代數(shù),記為LieGg.李群G 的左不變向量場x完全由它在單元處的值x決定.因而，我們也可以將g視為G在處的 切空間 . 粗糙地說 ,G 的包含的連通分支可由 g 經(jīng)過指數(shù)映射得到 . 從上面所說 , 可 以看到李群與數(shù)學(xué)中的許多分支相聯(lián)系 . 因而是數(shù)學(xué)理論

3、中極深刻的部分 . 幺模群 （ 行 列式為 1的線性變換或矩陣所成的群 ）, 正交群 , 酉群及辛群都是很重要的一類李群一單 李群中的部分 , 它們被稱為典型群 . 除典型群外的單李群還有 G,E6,E 和最等五種類型 . 它 們的結(jié)構(gòu)是很復(fù)雜的 . 它們被稱為例外單李群 .大家知道 ,Betti 數(shù)是一個非常重要的拓?fù)洳蛔兞?. 李群有微分流形結(jié)構(gòu) , 自然就 有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) . 因而單李群的 Betti 數(shù)一時成為數(shù)學(xué)中的焦點(diǎn) . 典型群的 Betti 數(shù)為數(shù) 學(xué)大師Brauer,Pontrjajtn 等逐一地確定 . 然而 " 例外單李群的 Betti 數(shù)的確定有不可 比擬的難度

4、,因此困擾了許多研究這方面工作的領(lǐng)袖 ".嚴(yán)志達(dá)另辟途徑 , 將李群的表示理論用于研究李群與齊性空間的拓?fù)湫再|(zhì)給出 了計算李群 Betti 數(shù)的一般方法 , 從而算出了例外單李群及某些齊性空間的 Betti數(shù). 這是很有199自7然0 科 7g 學(xué) O 基 B 金目 lg7l.45磊猻丁I” 、:群拳362 數(shù)學(xué)物理 V0I.17創(chuàng)造性的歷史性的工作 .C.Cheval!ey 在 1950年世界數(shù)學(xué)家大會作報告時 , 一上 講臺就在黑板上寫下了嚴(yán)志達(dá) "三個字,足見這個工作的重要 .陳省身稱:" 志達(dá)對李群的 拓?fù)涞墓ぷ魇且粋€里程碑 .陳-嚴(yán)公式, 用表示理論研究

5、李群及齊性空間的拓?fù)湫再|(zhì)使嚴(yán)志達(dá)一舉成為世界 著名的數(shù)學(xué)家 .在法國期間 , 嚴(yán)志達(dá)關(guān)于二次外微分形式的等價問題的研究成果也很引人注目.幾何學(xué)的發(fā)展從 Euclid 幾何開始 ,之后到璋面幾何 . 兩者雖有很大差別 , 但有很多共同點(diǎn).例如它們都有可度量性 （即有長度 ,角度等）, 勻齊性（即空間每點(diǎn)的地位都的）和對稱性 （即空同中任意一點(diǎn)都有對稱映射 ,或者說,任意一點(diǎn)都是整個空間 的對稱中心）.由可度量性發(fā)展起來了 Riemann幾何，或者Riemann流形的理論.由勻齊性發(fā)展起來了齊性空間的理論.這類空間可以表示為一個李群 G與它的 閉群的商（陪集空間）G/K形式.這里有兩點(diǎn)是至關(guān)重要的

6、.1）V?/K,z 的迷向子群K=g?Glg）=z均與同構(gòu)2）V.27,Y?G/K, 定有 g?G使得g（）=Y.如果g,?分別為G,K的李代數(shù)G/在一點(diǎn)處的切空間就是g/e.由對稱性發(fā)展起來對稱空間的理論 . 對于對稱空間中任意兩點(diǎn) z, 一定有對稱變換 0 使得 (z)=Y,()=z.從這里知道是對合變換 ( 即作為變換群中元素 , 階為 2)l 對稱空間一定是齊性空 間.既有可度量性又有對稱性的空間稱為 Riemann對稱空間Euclid空間,環(huán)面,球 面, 雙曲空間,射影空間，Grassma流形等等都是Riemann對稱空間.Riemann對稱空間既然是齊性空間,故可表示為G/K的形式

7、.除Euclid空問,環(huán) 面這 兩種簡單情形外,主要研究的Riemann對稱空間歸結(jié)為G是單李群,K是G的 一個對合自同構(gòu)的不動點(diǎn)集 . 即?AutG,儼=.d,K=A?GF)=).若G是緊的,則G/K也是緊的若G是非緊的,則G/K是非緊的,是G的最大緊子 群.這樣,lemann對稱空間的問題歸結(jié)為如何尋找(非緊)單李群及其對合自同構(gòu) 的問 題.如通常一樣,我們是將李群的問題轉(zhuǎn)化為李代數(shù)的問題設(shè)g是實半單李代數(shù)9.是9的復(fù)化.r是g.對g的共軛g在共軛的意義下有唯 一的緊致實形式可選取g的緊致實形式g.使得g對的共軛與r交換此時=?是g.的對合自同構(gòu).0在g,9.上的限制分別為g,g的對合自同

8、構(gòu),而且g,釓對 分別有 分懈g=+,?嘻 llll刪No.4 孟道驥: 李群, 拓?fù)渑c微分幾何 363?gl(),:?gl() 一一 ).稱為g的Caan分解.g的Killing 型在E,P上的限制分別是負(fù)定，正定的.后者正好是G/的切空間的 度 量(不計正常數(shù)因子 ).反過來,若是緊半單李代數(shù)的對合自同構(gòu) , 分別為的屬于 1,一 1 的特征子 空間, 則e+? 1是實半單李代數(shù),這也是它的Caan分解.這樣,Riemann對稱空間,實半單李群,實半單李代數(shù)的分類,在一定意義上說,都 歸 結(jié)是緊單李代數(shù)的對合自同構(gòu)的分類 . 所謂分類問題 , 就是要在每一類中找出一 個代表來 . 當(dāng)然這個

9、代表越簡單明了越好 .設(shè)u是一個緊單李代數(shù)，bo是它的Caftan子代數(shù).g,9分別是u,b.的復(fù)化.于是 是g的Caftan子代數(shù)，而且g+9+?g.?d其中？為g對9的根系.我們可以決定素根系？.g因而u完全？決定,也就由？確定 的 Dynkin 圖決定.從Gantmacher的一個定理可以得到u的任何一對合自同構(gòu)共軛于 缸，這里是保持Dynkin圖不變的對合自同構(gòu),即所謂正則對合自同構(gòu)；日?b.,且Oo(H)日.這里的形式已經(jīng)相當(dāng)簡單 . 但是, 不同的日對應(yīng)的對合自同構(gòu)仍有共軛的可能 . 嚴(yán)志達(dá)用不同于Gantmaeher的方法完全解決了緊單李代數(shù)的對合自同構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)形中, 日還應(yīng)滿足的

10、條件 :有q?使得nl（日）一?,（日）一 0,啦？11,五?1?（2）q在最高權(quán)中的系數(shù)m 1或2.此時,由0則可得到一個有Cartan分解（1）的實單李代數(shù)g而且.ne+np是g的最大緊（或正常）Gartan子代數(shù)，即.n是b的Caxtan子代數(shù).用上面緊 單李代數(shù)對合自同構(gòu)的嚴(yán)志達(dá)標(biāo)準(zhǔn)形不僅可以解決實單李代數(shù) , 因而實單李群,進(jìn)而Riemann對稱空間的分類，而且可以明確決定一模P:的結(jié)構(gòu)，因而明 確 決定g的結(jié)構(gòu).而且實單李代數(shù)的分類可在復(fù)單李代數(shù)的Dynkin圖的基礎(chǔ)上，簡單地用圖來表示.關(guān)于實單李代數(shù)分類的另一種表示是所謂 Satake 圖.嚴(yán)志達(dá)還建立 嚴(yán)志達(dá)與Satake 圖之間的關(guān)系 .嚴(yán)志達(dá)關(guān)于實半單李代數(shù)的研究不僅得到了漂亮的結(jié)果 , 而且對微分幾何中對 稱空間,局部對稱空間；李代數(shù)理論中實半單李代數(shù)的 Caxtan子代數(shù),Weyl群,表示 理論等都產(chǎn)生了很大的影響 . 可以說, 五, 六十年代形成了我國李群李代數(shù)研究很有特色 的群體 . 這種影響還將繼續(xù)下去 , 并日漸擴(kuò)大 .七十年代 , 嚴(yán)志達(dá)轉(zhuǎn)而研究微分幾何在齒輪嚙