三角函數(shù)1 (2)

1、意大利比薩爾塔在1350年落成時就已傾斜，其塔頂離中心偏離垂直中心線2.1m，1972年比薩地區(qū)發(fā)生地震，這座高54.5m的斜塔在大幅度搖擺后仍巍然屹立，但塔頂中心點偏離垂直中心線增至5.2m，而且還以每年增加1cm的速度繼續(xù)傾斜，隨時都有倒塌的危險。為此，意大利當局從1990年起對斜塔進行維修糾偏，2001年竣工，使塔頂中心點偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了43.8cm。 如果要你根據(jù)上述信息，用“塔身中心線與垂直中心線所成的角（如圖）“來描述比薩斜塔的傾斜程度，你能完成嗎？ 從數(shù)學角度看，上述問題就是：已知直角三角形的某些邊長，求其銳角的度數(shù)，對于直角三角形，我們知道三邊之間的關系和兩個

2、銳角之間的關系，但我們不知道”邊角之間的關系“，因此，這一問題的解答需要學習新的知識。塔身中心線垂直中心線10m1m 5m10m（1）（2）梯子在上升變梯子在上升變陡陡的過程中，的過程中，傾傾斜角，斜角，鉛直高度與梯子的鉛直高度與梯子的比比,水水平寬度與梯子的平寬度與梯子的比比,鉛直高度與鉛直高度與水平寬度的水平寬度的比比,都發(fā)生了什么變都發(fā)生了什么變化？化？ 水平寬度水平寬度鉛直高度鉛直高度傾斜角傾斜角鉛直高度鉛直高度水平寬度水平寬度梯子在上升變梯子在上升變陡陡的過程中，的過程中，傾傾斜角，斜角，鉛直高度與梯子的鉛直高度與梯子的比比,水水平寬度與梯子的平寬度與梯子的比比,鉛直高度與鉛直高度與

3、水平寬度的水平寬度的比比,都發(fā)生了什么變都發(fā)生了什么變化？化？ 鉛直高度鉛直高度水平寬度水平寬度梯子在上升變梯子在上升變陡陡的過程中，的過程中，傾傾斜角，斜角，鉛直高度與梯子的鉛直高度與梯子的比比,水水平寬度與梯子的平寬度與梯子的比比,鉛直高度與鉛直高度與水平寬度的水平寬度的比比,都發(fā)生了什么變都發(fā)生了什么變化？化？ 鉛直高度鉛直高度水平寬度水平寬度梯子在上升變梯子在上升變陡陡的過程中，的過程中，傾傾斜角，斜角，鉛直高度與梯子的鉛直高度與梯子的比比,水水平寬度與梯子的平寬度與梯子的比比,鉛直高度與鉛直高度與水平寬度的水平寬度的比比,都發(fā)生了什么變都發(fā)生了什么變化？化？ 鉛直高度鉛直高度水平寬度

4、水平寬度梯子在上升變梯子在上升變陡陡的過程中，的過程中，傾傾斜角，斜角，鉛直高度與梯子的鉛直高度與梯子的比比,水水平寬度與梯子的平寬度與梯子的比比,鉛直高度與鉛直高度與水平寬度的水平寬度的比比,都發(fā)生了什么變都發(fā)生了什么變化？化？ 梯子梯子越陡越陡傾斜角傾斜角傾斜角傾斜角越大越大鉛直高度與梯子的比鉛直高度與梯子的比傾斜角傾斜角越大越大水平寬度與梯子的比水平寬度與梯子的比傾斜角傾斜角越大越大鉛直高度與水平寬度鉛直高度與水平寬度的的比比鉛直高度鉛直高度水平寬度水平寬度越大越大越大越大越小越小越大越大 AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形ABC

5、有什么關系有什么關系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么關系有什么關系? (3)如果梯子的傾斜角不變，如果梯子的傾斜角不變，只改變只改變B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢?BCAB111B CABACAB11ACABBCAC111B CAC AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么關系有什么關系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么關系有什么關系?(3)如果梯子的傾斜角不變，如果梯子的傾斜角不變，只改變只改變B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢?BCAB111B CABACAB11ACAB111B CACBCAC AB1

6、C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么關系有什么關系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么關系有什么關系?(3)如果梯子的傾斜角不變，如果梯子的傾斜角不變，只改變只改變B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢?BCAB111B CABACAB11ACAB111B CACBCAC AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么關系有什么關系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么關系有什么關系?(3)如果梯子的傾斜角不變，如果梯子的傾斜角不變，只改變只改變B在梯子上的位置呢在梯子上

7、的位置呢?BCAB111B CABACAB11ACAB111B CACBCAC AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么關系有什么關系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么關系有什么關系?(3)如果梯子的傾斜角不變，如果梯子的傾斜角不變，只改變只改變B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢?BCAB111B CABACAB11ACAB111B CACBCAC 結論：由相似三角形的性質(zhì)得，只要結論：由相似三角形的性質(zhì)得，只要A不變，那不變，那么都有：么都有：BCAB111B CABACAB11ACABBCAC111B CAC=ABB1

8、CC1 即在直角三角形中，當銳角即在直角三角形中，當銳角A取一定度數(shù)時，不管三角形的大取一定度數(shù)時，不管三角形的大小如何，小如何，A的對邊與斜邊的比是的對邊與斜邊的比是一個固定值，叫做一個固定值，叫做A的正弦，記的正弦，記作作sinA；鄰邊與斜邊的比是一個；鄰邊與斜邊的比是一個固定值，叫做固定值，叫做A的余弦，記作的余弦，記作cosA；對邊與鄰邊的比是一個固；對邊與鄰邊的比是一個固定值，叫做定值，叫做A的正切，記作的正切，記作tanA。 AB CAA的的對邊對邊AA的的鄰邊鄰邊AA的的對邊對邊AA的的鄰邊鄰邊tanAcosAAA的鄰邊的鄰邊AA的對邊的對邊斜邊斜邊sinA斜邊斜邊斜邊斜邊1。銳

9、角銳角A A的正弦、余弦、和正切叫做的正弦、余弦、和正切叫做A A的的銳角銳角三角函數(shù)三角函數(shù)2。銳角的銳角的三角函數(shù)三角函數(shù)的值都是正實數(shù)，并且的值都是正實數(shù)，并且 0sin 1 1，0cos1 ，定定義義注意：注意：三角三角函數(shù)的函數(shù)的定義，定義，必須在必須在直角三角形直角三角形中中. . AB C例例1 如圖如圖,在在RtABC中中,C=90C=90AB=5,BC=3, 求求A, B的正弦的正弦,余弦和正切余弦和正切. 觀察以上計算結果觀察以上計算結果,你發(fā)現(xiàn)了什么你發(fā)現(xiàn)了什么?若若AC=5,BC=3呢呢?解：在解：在RtABC中中,4352222BCABAC因此因此43tan54cos

10、53sinAAA34tan53cos54sinBBB1tantansincoscossinBABABA例例2 2 如圖如圖: :在在RtRtABCABC中中,B=90,B=900 0,AC=200,sinA=0.6.,AC=200,sinA=0.6.求求:BC:BC的長的長. .200ACB解：解：12060200sinsinAACBCACBCA1.1.如圖如圖: :在在等腰等腰ABCABC中中,AB=AC=5,BC=6.,AB=AC=5,BC=6.求求: sinB,cosB,tanB: sinB,cosB,tanB. .解：過點解：過點A作作AD垂直于垂直于BC于于D.556ABCDAB=A

11、C=5 BD=1/2BC=3在在RtABD中中4352222BDABAD34tan,53cos,54sinBBB.54sinA2.2.在在RtRtABCABC中中,C=90,C=900 0,BC=20,BC=20,求求:ABC的周長的周長.ABC解：解：152025255420sinsin2222BCABACABCABABBCA因此，因此，ABC的周長的周長=25+20+15=60w3.如圖,在RtABC中,銳角A的對邊和鄰邊同時擴大100倍,sinA的值（ ）wA.擴大100倍 B.縮小100倍 wC.不變 D.不能確定w4.已知A,B為銳角w(1)若A=B,則sinA sinB;w(2)若

12、sinA=sinB,則A B.ABCC=5.5.如圖, C=90C=90CDABCDAB. .6.在上圖中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.ACBD.sinB( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )w7.7.如圖,分別根據(jù)圖(1)和圖(2)求A的三個三角函數(shù)值. .w8.在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90, , (1)AC=(1)AC=3 3,AB=,AB=6 6, ,求求sinAsinA和和cosBcosB(2)BC=3,sinA= ,(2)BC=3,sinA= ,求求ACAC和和ABAB.w老師提示:w求銳角三角函數(shù)時,勾股定理的運用是很重要的.ACB34ACB3

13、4(1)(2)135談談今天的收獲談談今天的收獲 AB CAA的的對邊對邊AA的的鄰邊鄰邊AA的的對邊對邊AA的的鄰邊鄰邊tanAcosAAA的鄰邊的鄰邊AA的對邊的對邊斜邊斜邊sinA斜邊斜邊斜邊斜邊定定義義回味無窮 定義定義中應該注意的幾個問題中應該注意的幾個問題: :w 1.sinA,cosA,tanA, 1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定義的是在直角三角形中定義的, , AA是銳角是銳角( (注意數(shù)形結合注意數(shù)形結合, ,構造直角三角形構造直角三角形).).w 2.sinA,cosA,tanA, 2.sinA,cosA,tanA, 是一個完整的符號是一個完整的符號, ,表示表示AAw 的正切的正切, ,習慣省去習慣省去“”號；號；w 3.sinA,cosA,tanA, 3.sinA,cosA,tanA, 是一個比值是一個比值. .注意比的順序注意比的順序, ,w 且且sinA,cosA,tanAsinA,cosA,tanA, , 均均