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1、精品文檔當求解函數(shù)的最值問題時,所用的一般都是配方法、二次函數(shù) 圖象、反函數(shù)法、換元法、判別式法或基本不等式等常用的方法,但 有些問題僅用上述初等方法不能解決或解答起來較繁瑣,學了導數(shù) 后,這種困惑大多可迎刃而解。本文以幾道典型題目為例,和大家共 同探討用導數(shù)求最值的方法步驟以及需要注意的問題。一、求函數(shù)在特定區(qū)間上的最值例1:求函數(shù)f(x)= X2-4X+6在區(qū)間1 , 5內(nèi)的最大值和最小值。題目分析:函數(shù)在特定區(qū)間上的最值一般有兩種情況:(1)如果函數(shù)f (x)在a, b上單調(diào)增加(減少),則f (a)是f(x)在a, b上的最小值(最大值),f (b)是f (x)在a, b上的最大值(最
2、小值)。(2)如果函數(shù)在區(qū)間a, b內(nèi)有極值,將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個最小值.正確解答:f'(x)=2x-4,令 f'(x)=0,即 2x-4=0 ,得 x=2。x1(1, 2)2(2, 5)5y'負0正y3減2增11故函數(shù)f(x)在區(qū)間1 , 5內(nèi)有極小值為2,最大值為11,最小值為2??偨Y升華:求f(x)在閉區(qū)間a,b上的最值的步驟: 求f(x)在區(qū)間(a ,b)內(nèi)的極值(極大值或極小值)(2)求出區(qū)間端點處的函數(shù)值;(3)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個為最大 值,最小的一個最
3、小值。趁熱打鐵:求函數(shù)y = x3 + 3 x29x在上4,4 的最大值 和最小值。題目解析:(1)由 f '(x)=3x2 +6x9,得駐點為x1 二 3, x2=1駐點處的函數(shù)值為f (-3)=-27, f (1)= -4(2)區(qū)間端點4,4 處的函數(shù)值為f (4)=20 , f (4)=76(3)比較以上各函數(shù)值,可知函數(shù)在4, 4 上的最大值為f (4)=76,最小值為 f ( 3)=27 。警鈴長鳴:1、看清楚題目中給的條件到底是開區(qū)間還是閉區(qū)間,若 是閉區(qū)間,則將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一 個為最大值,最小的一個最小值;若是開區(qū)間,則不需要和
4、端點值比 較。2、求函數(shù)極值時,導數(shù)值為0的點是該點為極值點的必要條件,但 不是充分條件。二、實際應用中的最值問題例2:把長度為16cm的線段分成兩段,各圍成一個正方形,它們的面積之和的最小值為多少?題目分析:建立面積和正方形的周長的函數(shù)關系,再求最小值.正確解答:設一段長為xcm,則另一段長(16x)cm.MS A6-X.2- 324 25ti / 。5;+ (-)= -2x4 ZC(O < x4416名.S' = 4-2,令 S' =0 有 x=8.列表:x(。,8)8(8, 16)S,一0十 當x = 8時,S有最小值8cm2.總結升華:這是解實際應用題的一般方法.先構造函數(shù)關系,再求 滿足條件的解,極值或最值。趁熱打鐵:如圖所示,在二次函數(shù)f(x)=4x-x 2的圖象與x軸所圍成圖形中有個內(nèi)接矩形ABCD求這個矩形面積的最大值。題目解析:設點B的坐標為(x,0)且0<x<2, f(x)=4x-x 2圖象的對稱軸為x=2, 點C的坐標為(4-x,0), . |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2。矩形面積為 y=(4-2x)(4x-x 2)=16x-12x 2+2x3y' =16-24x+6x2=2(3x 2-12x+8) 2 r-2 lx = 2 ± 3x = 2 3令 y' =
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