導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：含參函數(shù)的單調(diào)性討論(一)

1、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：含參函數(shù)的單調(diào)性討論 (一)、思想方法:f'(x) 0 x A B .f(x)增區(qū)間為 A,B和f'(x) 0 x C D . f(x)增區(qū)間為 C, D和xD時(shí)f'(x)0f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù)xD時(shí)f'(x)0f (x)在區(qū)間D上為減函數(shù)xD時(shí)f'(x)0f(x)在區(qū)間D上為常函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可化歸為求解導(dǎo)函數(shù)正或負(fù)的相應(yīng)不等式問題的討論。、典例講解a例1 討論f (x) x a的單調(diào)性，求其單調(diào)區(qū)間 xa解：f(x) x 的定義域?yàn)?，0) (0,)x2f'(x) 1 芻 x 2 a (x 0)(它與 g(x) x2 a

2、同號) x xI)當(dāng) a 0時(shí)，f'(x) 0(x 0)恒成立，此時(shí)f (x)在(，0)和(0,)都是單調(diào)增函數(shù)，即f (x)的增區(qū)間是(，0)和(0,);II)當(dāng) a 0時(shí) f'(x) 0(x 0) x<a或x <'af '(x) 0(x 0)Va x 0或 0 x Va此日f(x)在(，ja)和(ja,)都是單調(diào)增函數(shù)， f (x)在(ja,。)和(0,小)都是單調(diào)減函數(shù), 即f(x)的增區(qū)間為(，ja)和(ja,)；f(x)的減區(qū)間為(ja,0)和(0,右).步驟小結(jié)：1、先求函數(shù)的定義域，2、求導(dǎo)函數(shù)(化為乘除分解式，便于討論正負(fù))，3、先討

3、論只有一種單調(diào)區(qū)間的(導(dǎo)函數(shù)同號的)情況，4、再討論有增有減的情況(導(dǎo)函數(shù)有正有負(fù)，以其零點(diǎn)分界)5、注意函數(shù)的斷點(diǎn)，不連續(xù)的同類單調(diào)區(qū)間不要合并。變式練習(xí)1 :討論f (x) x aln x的單調(diào)性，求其單調(diào)區(qū)間解：f (x) x aln x的定義域?yàn)?0,)a x af'(x) 1 a a(x 0)(它與 g(x) x a 同號) x xI)當(dāng) a 0時(shí)，f'(x) 0(x 0)恒成立，此時(shí)f (x)在(0,)為單調(diào)增函數(shù)，即f(x)的增區(qū)間為(0,),不存在減區(qū)間；II)當(dāng) a 0時(shí) f'(x) 0(x 0) x a; f'(x) 0(x 0)0 x a此

4、日f (x)在(a,)為單調(diào)增函數(shù)， f (x)在(0, a)是單調(diào)減函數(shù),即f(x)的增區(qū)間為(a, );f(x)的減區(qū)間為(0, a).例2.討論f (x) ax ln x的單調(diào)性解：f (x) ax In x的定義域?yàn)?0,)一1 ax 1 一f'(x) a - (x 0)(它與 g(x) ax 1 同號)x x, 1 -、I) 當(dāng)a 0時(shí)，f'(x) 0(x 0)恒成立 (此時(shí)f'(x) 0 x一沒有意義)a此時(shí)f (x)在(0,)為單調(diào)增函數(shù)，即f(x)的增區(qū)間為(0,)II) 當(dāng) a 0 時(shí)，f'(x) 0(x 0)恒成立， 1 (此時(shí)f'(

5、x) 0 x 不在定義域內(nèi)，沒有意義) a此日f(x)在(0,)為單調(diào)增函數(shù)，即 f(x)的增區(qū)間為(0,)，C ,人、1III) 當(dāng) a 0時(shí)，令 f'(x) 0 x 一 a于是，當(dāng)x變化時(shí)，f'(x), f (x)的變化情況如下表：(結(jié)合g(x)圖象定號)x(0,-) a1 a(-,) af'(x)0f(x)增/減、1、1所以， 此時(shí)f(x)在(0,一)為單調(diào)增函數(shù)，f(x)在(一，)是單倜減函數(shù)，aa1、1即f(x)的增區(qū)間為(0, ，)；f(x)的減區(qū)間為(,，). aa小結(jié)：導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的相應(yīng)區(qū)間也可以由導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)來分界，但要注意其定義域和連續(xù)性。即先求出f&#

6、39;(x)的零點(diǎn)，再其分區(qū)間然后定f'(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的符號。一般先討論f'(x) 0無解情況，再討論解f'(x) 0過程產(chǎn)生增根的情況(即解方程變形中諸如平方、去分母、去對數(shù)符號等把自變量x范圍擴(kuò)大而出現(xiàn)有根，但根實(shí)際上不在定義域內(nèi)的)，即根據(jù)f'(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)從少到多， 相應(yīng)原函數(shù)單調(diào)區(qū) 間個(gè)數(shù)從少到多討論，最后區(qū)間(最好結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象)確定相應(yīng)單調(diào)性。變式練習(xí)2.討論f(x) 1ax2 lnx的單調(diào)性 2八一、12 ， 一、，解：f(x) - axlnx 的te 乂域?yàn)?0,)1 ax2 12f'(x) ax 一 (x 0),它與 g(x)

7、ax 1 同號.x x2令 f'(x) 0 ax2 1 0(x 0),當(dāng)a 0時(shí)，無解；當(dāng)a 0時(shí),x 1 1(另一根不在定義域內(nèi)舍去,a a21i)當(dāng)a 0時(shí)，f'(x) 0(x 0)恒成立 (此時(shí)f'(x) 0 x2沒有意義)a此時(shí)f (x)在(0,)為單調(diào)增函數(shù)，即f(x)的增區(qū)間為(0,)ii)當(dāng) a 0 時(shí)，f'(x) 0(x 0)恒成立，2(此時(shí)方程ax1 0判別式 0,方程無解)此日f(x)在(0,)為單調(diào)增函數(shù)，即 f(x)的增區(qū)間為(0,)iii) 當(dāng) a0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f'(x), f (x)的變化情況如下表：(結(jié)合g(x)圖象定號

8、)xaq I )f'(x)0f(x)增/減、所以， 此時(shí)f (x)在(0, J J)為單調(diào)增函數(shù)，f (x)在(J -,)是單調(diào)減函數(shù), aa即f(x)的增區(qū)間為(0 N)；f(x)的減區(qū)間為(-,). a, a小結(jié)：一般最后要綜合討論情況，合并同類的，如 i),ii)可合并為一類結(jié)果。 一 一2對于二次型函數(shù)(如 g(x) ax 1)討論正負(fù)一般先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)分三種類型討論。例3.求f (x) a2x3 ax2x 1的單調(diào)區(qū)間解：f(x)a2x3 ax2 x 1的定義域?yàn)镽,_ 2 2_f'(x) 3a x 2ax 1 (3ax 1)(ax 1)I)當(dāng)a 0時(shí)，f'

9、(x)1 0 f (x)在R上單調(diào)遞減，f (x)減區(qū)間為R,無增區(qū)間。_,_2_II)當(dāng)a 0時(shí)3a 0, f'(x)是開口向上的二次函數(shù)，因此可知(結(jié)合f'(x)的圖象)13a.一 .11令 f (x) 0得x1一，x2(a 0),3a a1) 當(dāng) a 0 時(shí)，x1x2-11 一f'(x) 0 x 4fcx ;f '(x) a 3a5. 1 1所以此時(shí),f (x)的增區(qū)間為)；f(x)的減區(qū)間為(，)3aii)0時(shí),XiX2f'(x)13af'(x)3a所以此時(shí),f(x)的增區(qū)間為(1);f(x)的減區(qū)間為(,3a小結(jié):，常見的是化為求函數(shù)單

10、調(diào)區(qū)間可化為導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)討論(即分討論其相應(yīng)不等式的解區(qū)間)二次型不等式討論，當(dāng)二次函數(shù)開口定且有兩根時(shí)，一般要注意討論兩根大小(分大、小、 種情況)。含參二次不等式解時(shí)要先看能否因式分解，若能則是計(jì)算簡單的問題，需看開口及兩根大小，注意結(jié)合圖象確定相應(yīng)區(qū)間正負(fù)。變式練習(xí)3.求f(x) 1x3 1ax2 321的單調(diào)區(qū)間解:f(x)的定義域?yàn)镽, f'(x)axf'(x)是開口向上的二次函數(shù),I)當(dāng) 0所以此時(shí)2 a 2 時(shí),f'(x)II)令 f'(x)f (x)在R上單調(diào)遞增，a 2或a 2時(shí)0 得 a %；a2 420恒成立f(x)增區(qū)間為R,無減區(qū)間。a

11、 .a24,又2 , x X22x(,x1)x1(x1，x2)x2(x2 ,)f'(x)00f(x)增/減、增/(結(jié)合f'(x)的圖象)f(x)與f'(x)隨x變化情況如下表因此可知所以此時(shí)，f(x)的增區(qū)間為()和(a "J 4,)；2a a2 4f(x)的減區(qū)間為(2小結(jié)：三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是常見二次函數(shù)，當(dāng)二次函數(shù)開口定時(shí)對其正負(fù)進(jìn)行討論的，要根據(jù)判別式討 論：無根的或兩根相等的導(dǎo)函數(shù)只有一種符號，相應(yīng)原函數(shù)是單調(diào)的較簡單應(yīng)先討論；然后再討論有x1 , x2代替復(fù)雜的式，最后結(jié)論才寫回。兩不等根的，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象列變化表，注意用根的符號個(gè)別點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0不影

12、響單調(diào)性。只有在某區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)恒為0時(shí)，相應(yīng)區(qū)間內(nèi)原函數(shù)為常數(shù),般中學(xué)所見函數(shù)除分段函數(shù)和常函數(shù)外不會出現(xiàn)此種情況。三、鞏固作業(yè):a 一1.已知函數(shù)f(x) ln x .，求f(x)的單調(diào)區(qū)間. x解：函數(shù)的定義域?yàn)?0,+ ) , f x 14 Ja, x x x令f x0得：x a若 a 0即a 0,則f x 0, f x在(0,)上單調(diào)遞增；若 a 0即a 0,則由f x 0得x>-a，由f x0得乂<勺f x在(a,)上單調(diào)遞增，在0,-a 上單調(diào)遞減.總之，當(dāng)a 0時(shí)，f x在(0,)上單調(diào)遞增；當(dāng)a 0時(shí)，f x在(a,)上單調(diào)遞增，在0,-a上單調(diào)遞減1 .2.已知函數(shù)

13、f(x)= 1x2 -ax+(a-1)lnx,討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性，求出其單調(diào)區(qū)間。 2解：f(x)的定義域?yàn)?0,).、a 1x2 ax a 1 (x 1)(x 1 a) x 1 x a 1f (x) x a =xxxx令 f' x0 得: 1, x2 a 1若a 1 0即a 1時(shí)，f'(x) 0 x 1; f'(x) 00 x 1此時(shí)f(x)在(1,)單調(diào)遞增，在(0,1)單調(diào)遞減(2)若a 1 0即a 1時(shí)，-' (x 1)2若a 1 1即a 2時(shí)，f (x) A)->0,故f(x)在(0,)單調(diào)遞增.x若0<a 1 1,即1 a 2時(shí)，由 f'(x) 0得，a 1 x 1；由 f'(x) 0得，0 x a 1 或x 1故f(x)在(a 1,1)單調(diào)遞減，在(0,a 1),(1,)單調(diào)遞增.若a 1 1,即a 2時(shí)，由 f'(x) 0得，1 x a 1；由 f'(x) 0得，0 x 1 或x a 1故f