彈性力學(xué)基本概念和考點(diǎn)匯總

1、基本概念：(1)面力、體力與應(yīng)力、應(yīng)變、位移的概念及正負(fù)號(hào)規(guī)定(2)切應(yīng)力互等定理：作用在兩個(gè)互相垂直的面上，并且垂直于改兩面交線的切應(yīng)力是互等的(大小相 等，正負(fù)號(hào)也相同)。(3 )彈性力學(xué)的基本假定：連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性和小變形。(4)平面應(yīng)力與平面應(yīng)變；設(shè)有很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力或約束。同時(shí) ，體力也平行與板面并且不沿厚度方向變化。這時(shí)，zO, zxO, zyO，由切應(yīng)力互等，zO, xzO, yzO，這樣只剩下平行于Xy面的三個(gè)平面應(yīng)力分量，即x, y, xyyx，所以這種問題稱為平面應(yīng)力問題。設(shè)有很長(zhǎng)的柱形體，它的橫截面不沿長(zhǎng)度

2、變化，在柱面上受有平行于橫截面且不沿 長(zhǎng)度變化的面力或約束，同時(shí)，體力也平行于橫截面且不沿長(zhǎng)度變化，由對(duì)稱性可知，ZX 0, zyO，根據(jù)切應(yīng)力互等，xzO, yzO。由胡克定律，zxO, zyO，又由于z方向的位移W處處為零，即z0。因此，只剩下平行 于xy面的三個(gè) 應(yīng)變分量，即x, y, xy，所以這種問題習(xí)慣上稱為平面應(yīng)變問題。(5) 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；過一個(gè)點(diǎn)所有平面上應(yīng)力情況的集合，稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。(6 )圣維南原理；(提邊界條件)如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力(主失相同，主矩也相同)，那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受到 的影響可以

3、忽略不計(jì)。(7)軸對(duì)稱；在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況，以及所受的外力作用，都是對(duì)稱于某一軸(通過該軸的任一平面都是對(duì)稱面)，則所有的應(yīng)力、變形和位移也就對(duì)稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對(duì)稱問題。平衡微分方程:（1）平面問題的平衡微分方程;（記xyX（2）平面問題的平衡微分方程（極坐標(biāo)）；f o1、平衡方程僅反映物體內(nèi)部的平衡，當(dāng)應(yīng)力分量滿足平衡方程，則物體內(nèi)部是平 衡的。2、平衡方程也反映了應(yīng)力分量與體力（自重或慣性力）的關(guān)系。二、幾何方程；（1）平面問題的幾何方程；uXXyV （記）yVuxyxy（2）平面問題的幾何方程（極坐標(biāo)）u1 2u 1 V1 2 v u V1 2 1

4、、幾何方程反映了位移和應(yīng)變之間的關(guān)系。2、當(dāng)位移完全確定時(shí)，應(yīng)變也確定；反之，當(dāng)應(yīng)變完全確定時(shí)，位移并不能確 定。（剛體位移）三、物理方程；（1 ）平面應(yīng)力的物理方程；XE1y E2 1X(記)xy(2) 平面應(yīng)變的物理方程;1 2x- E2 2ry 13 1xy£ xy(3) 極坐標(biāo)的物理方程(平面應(yīng)力)；1(1(±G2(1 )E(4)極坐標(biāo)的物理方程(1 2W(21,1 E邊界條件；四、(1)幾何邊界條件；在Su上;-(記)平面問題：(2)應(yīng)力邊界條件；I xm yx平面問題：光滑接觸：,門為接觸面的法線方向非光滑接觸：nnn為接觸面的法線方向Unlll（4）位移單值條

5、件；U %對(duì)稱性條件：在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況，以及所受的外力作用，都是對(duì)稱于某一軸（通過該軸的任一平面都是對(duì)稱面），則所有的應(yīng)力、變形和位移也就對(duì) 稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對(duì)稱問題、概念1彈性力學(xué)，也稱彈性理論，是固體力學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支。2固體力學(xué)包括理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)、振動(dòng)理論、斷裂力學(xué)、復(fù)合材料力學(xué)。3基本任務(wù)：研究由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因，在彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力、形變和位移及 其分布情況等。4研究對(duì)象是完全彈性體，包括桿件、板和三維彈性體，比材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究范圍更為廣泛5彈性力學(xué)基本方法：差分法、變分法、有限元法、實(shí)驗(yàn)

6、法6彈性力學(xué)研究問題，在彈性體內(nèi)嚴(yán)格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，在邊界上考慮邊界條件，求解微分方程得出較精確的解答；7彈性力學(xué)中的基本假定：連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性、小變形假定。8幾何方程反映的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系。9物理方程反映的是應(yīng)力分量與形變分量之間的關(guān)系。10平衡微分方程反映的是應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系。11當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能 完全確定。12 .邊界條件表示在邊界上位移與約束、或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它可以分為位移邊界 條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13 .圣維南原理主要內(nèi)容

7、：如果把物體表面一小部分邊界上作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系（主失量相同，對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同），那么只在作用邊界近處的應(yīng)力有顯著的改變，而在距離外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)處，其影響可以忽略不計(jì)。14 .圣維南原理的推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，這個(gè)面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。這是因?yàn)橹魇Я亢椭?矩都等于零的面力，與無面力狀態(tài)是靜力等效的，只能在近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力。15求解平面問題的兩種基本方法：位移法、應(yīng)力法。16.彈性力學(xué)的基本原理：解的唯一性原理、解的疊加原理、圣維南原理。會(huì)推導(dǎo)兩種平衡微分方程17逆解法步驟

8、：(1)先假設(shè)一滿足相容方程(225)的應(yīng)力函數(shù)(2)由式(2-24)，根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量(3)在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的彈性體，根據(jù)主要邊界上的面力邊界條件(215)或次要邊界上的積分邊界條件，分析這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可 以解決什么樣的問題。(或者根據(jù)已知面力確定應(yīng)力函數(shù)或應(yīng)力分量表達(dá)式中18半逆解法步(1)對(duì)于給定的彈性力學(xué)問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀、受力特征和變形的特點(diǎn)驟：或已知的一些簡(jiǎn)單結(jié)論，如材料力學(xué)得到的初等結(jié)論，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式(2)按式(2-24)，由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)f的一般形式(含待定函數(shù)項(xiàng)

9、)；(3)將應(yīng)力函數(shù)f代入相容方程進(jìn)行校核，進(jìn)而求得應(yīng)力函數(shù)f的具體表達(dá)形 式；(4)將應(yīng)力函數(shù)f代入式,(2-24)，由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)；考察應(yīng)力分量是否滿足全5平面問題的應(yīng)力邊界條件為(x| xp)s fx(S)(xyl ym)sfy 7圣維南原理的三個(gè)積分式h/2h/2（x）xidy 1h/2h/2（x>xiydy 1h/2,/o（） idy 1h/2（ xy）x Jh/2-h/2 fx（y）dy 1h/2h/2 fx （y） ydy 1h/2 -hy（y）dy 1 解如果給出單位寬度上面力的主矢量和主矩，則三個(gè)積分邊界條件變?yōu)?艾里應(yīng)力函數(shù)

10、X2（x,y）2fxX,h/2 h/2（h/2 h/2（h/2h/2（計(jì)算V2（x, y）2Xx）x idy 1 Fnx）x iydy 1 Mxy）X idy 1Fs2（x,y）X V、單項(xiàng)選擇題（按題意將正確答案的編號(hào)填在括弧中，每小題2分，共10分）1、彈性力學(xué)建立的基本方程多是偏微分方程，還必須結(jié)合（C）求解這些微分方程，以求得具體問題的應(yīng)力、應(yīng)變、位移。A 相容方程 B 近似方法 C 邊界條件D 附加假定2、根據(jù)圣維南原理，作用在物體一小部分邊界上的力系可以用（B ）的力系代替，則僅在近處應(yīng)力分布有改變，而在遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。A.幾何上等效B.靜力上等效C.平衡D .任意3、彈性

11、力學(xué)平面問題的求解中，平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的三類基本方程不完全相同，其比較關(guān)系為（ B ）oA.平衡方程、幾何方程、物理方程完全相同B.平衡方程、幾何方程相同，物理方程不同C.平衡方程、物理方程相同，幾何方程不同D.平衡方程相同，物理方程、幾何方程不同在研究方法方面：材力考慮有限體4 V的平衡，結(jié)果是近似的；彈力考慮微分體dV的平，結(jié)果比較精確。4不4干4干4、常體力情況下，用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程形式為肓2縣V0，x x y y23 2 3qx4卷3,1藍(lán)2占丫6設(shè)有函數(shù)h3 h 5 h3hA（1 ）判斷該函數(shù)可否作為應(yīng)力函數(shù)？ （ 3分）（2）選擇該函數(shù)為應(yīng)力函數(shù)時(shí)，考察其在圖中所示

12、的矩形板和坐標(biāo)系（見題九圖）中能解決什么問題（l»h）。（15分）解：4不4 T-4（1 ）將©代入相容方程心歲0，顯然滿足。因此，該函數(shù)可以作為應(yīng)力函數(shù)。0h/2h/2/(2)應(yīng)力分量的表達(dá)式:xy考察邊界條件:g yh22q yh22xy6qx 2yh34qy3h33gy3h6qx在主要邊界3yh6qx h2 "hA 43yhy2y二士 h/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件q h2ho y 2在次要邊界X二。上，應(yīng)用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:h/2h/2 4qy3 3qy能 沖 h/2 h3 3h dy（）奇函數(shù)h/2h/2h/2 4qy3 3qy

13、 h30 ydyh/2 3hydy°h/2h/2 xy應(yīng)用圣維南原理，可列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:h/2idyh/26cll2Vh/2h/2h3h/2h/26ql2yh/2ydyh/2h3在次要邊界X= I上,4qy3h33qy dy 0(奇函數(shù))3hh/2,h/2 6q I h 2,h/2 xy x |dy h/2-h34 '對(duì)于如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系，結(jié)合邊界上面力與應(yīng)力的關(guān)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述 應(yīng)力時(shí)，由主邊界和次邊界上的應(yīng)力邊界條件可知，左邊、下邊無面力；而上邊界上受 有向下的均布?jí)毫?；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為一力偶和鉛直面力。所以，能夠解決右端為固定端

14、約束的懸臂梁在上邊界受均布荷載q的問題。2009 2010學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷（A ）卷一,名詞解釋（共10分，每小題5分）1 . 彈性力學(xué)：研究彈性體由于受外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。2 .圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力 （主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定為：正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎?，反之為?fù)。4.彈性力學(xué)中，正面是指外法向方向沿坐標(biāo)軸正向的面，負(fù)面是指外法向方向沿坐標(biāo)軸負(fù)向的面。1.（ 8分）彈性力學(xué)平面問題包括哪兩類問題？分別對(duì)應(yīng)哪類彈性

15、體？?jī)深惼矫鎲栴}各有 哪些特征？答：彈性力學(xué)平面問題包括平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩類，兩類問題分別對(duì)應(yīng)的彈性體和特征分別為：平面應(yīng)力問題：所對(duì)應(yīng)的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應(yīng)力分量X, y, xy存在，且僅為x,y的函數(shù)。平面應(yīng)變問題：所對(duì)應(yīng)的彈性體主要為長(zhǎng)截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿Z軸無變化，只有平面應(yīng)變分量X , y, xy存在，且僅為x,y的函數(shù)。 （ 8分）常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問題可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為按應(yīng)力函數(shù)求解，應(yīng)力函數(shù)必須滿足哪些條件？答：（1）相容方程：4 o（2 ）應(yīng)力邊

16、界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件，S S ）：1 X m yx sfx在SS上m y 1 xy s* y（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。二.問答題（36）1.（12分）試列出圖5-1的全部邊界條件，在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。（板厚1）解：在主要邊界yh 2上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件:圖5-1qi在次要邊界0上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件,當(dāng)板厚1x x odyxxoydyh - 2M , h2 xy xody在次要邊界X I上，有位移邊界條件：件 可以改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替：0。這兩個(gè)位移邊界條x xodyh2h2 xx°y

17、dyM Fslql2 qlh62qx I, yX yh2qih2h 2 xy x 0d>,32.（ 10分）試考察應(yīng)力函數(shù)cxy，c 0,能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），畫出圖52所示矩形體邊界上的面力分布，并在次要邊界上表示出面力的主矢和主 矩。444解：（1）相容條件：將3cxy代入相容方程一;X0,顯然滿4y（2）應(yīng)力分量表達(dá)式:2X 審 6cxy , yoxy 3cy2xy y h 2在次要邊界h2h2h2h2h2h2h2h2h2h2h2h2xx(3)邊界條件：在主要邊界y 2上，即上下邊,面力為yyh2 3chx , 3 9chAx 0,xx x odyxxoydy

18、xy x odyidyiydydyI上，面力的主失和主矩為0h2 23cv dvh2h;2h26clydy 0h 22h28Mdyh2 2h28y dyclh3彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界C 3-h342C 3hA.x 0,x I上面力的主失量和主矩如解圖所示。3.( 14分)設(shè)有矩形截面的長(zhǎng)豎柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力 q,如圖5-3所示，試求應(yīng)力分量。(提示：采用半逆解法，因?yàn)樵诓牧狭W(xué)彎曲的基本公式中，假設(shè)材料符 合簡(jiǎn)單的胡克定律，故可認(rèn)為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設(shè)應(yīng)力分量xO )圖5-3解：采用半逆解法，因?yàn)樵诓牧狭W(xué)彎曲的基本公式中，假設(shè)材料符合簡(jiǎn)單的胡克定

19、律，故可認(rèn)為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓，即可設(shè)應(yīng)力分量xO，(1)假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。x 0 (2)推求應(yīng)力函數(shù)的形式。此時(shí)，體力分量為 fxO, fyg。將xO代入應(yīng)其中力公式。對(duì)X積分，得yf x 力 x。(b)1 X都是X的待定函數(shù)。由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將式（b）代入相容方程4d4fxd4 fi xdX4這是y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多的根（全部豎柱內(nèi)的V值都應(yīng)該滿d4fx足），可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都必須等于零。程要求0, d4fiXdx4dx432f x Ax Bx Cx，fixDx3 Ex2f X中的常數(shù)項(xiàng)，fl X中的一次和常數(shù)項(xiàng)已被略去，因?yàn)檫@三項(xiàng)在中成的表達(dá)

20、式為y的一次和常數(shù)項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量。得應(yīng)力函數(shù)y Ax Bx 2 Cx Dx3 Ex2(4)由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分 量。Xfxy X2 yfy 6Axy 2By 6Dx 2E g：3Ax2 2BxC.（5）考察邊界條 利用邊界條件確定待定系數(shù) 件。先來考慮左右兩邊 xb2的主要邊界條件：s ° .X ° X sxxb2 ，y x b2 ，y x b2將應(yīng)力分量式（e）和（g）代入，這些邊界條件 要求：然滿足；xyxb23 Ab2 BbXVxb2 4(d)(e) (g)(i)由(h) ( i)得b2；(j)b2b2dX yo£5Dx 2Edx b22EbO ;b2b2

21、Db3b2yoxrlxb2ADy 2FyHyb2b2b2wwHYxyy。b22QAyAb3由(h)(j) ( k)得將所得A、B、C、D 、E代入式（e）(f)234（g ）得應(yīng)力分量6 吝 xy by gy，xy考察次要邊界yo的邊界條件，應(yīng)用圣維南原理，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件為b2填空題（每個(gè)1分，共10X仁10分）。彈性力學(xué)的研究方法是在彈性區(qū)域內(nèi)部，考慮方程以及方程；在彈性體的邊界上，還1.靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)方面建立三套方程，即方程、1平衡微分幾何物理應(yīng)力位移2 -連續(xù)均勻各向同性完全彈性小變形、單項(xiàng)選擇題（每個(gè)2分，共5X2=10分）。1.關(guān)于彈性力學(xué)的正確認(rèn)識(shí)是A_<&g

22、t;A.彈性力學(xué)在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的作用日益重要。B.彈性力學(xué)從微分單元體入手分析彈性體，因此與材料力學(xué)不同，不 需要對(duì)問題作假設(shè)。C.任何彈性變形材料都是彈性力學(xué)的研究對(duì)象。D.彈性力學(xué)理論像材料力學(xué)一樣，可以沒有困難的應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)分 析。2.所謂完全彈性體”是指B。A.材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足胡克定律。B.材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載時(shí)間歷史無關(guān)。C.本構(gòu)關(guān)系為非線性彈性關(guān)系。D.應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足線性彈性關(guān)系。3 .所謂應(yīng)力狀態(tài)”是指_B_。A.斜截面應(yīng)力矢量與橫截面應(yīng)力矢量不同。B. 一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力隨著截面方位變化而改變。C. 3個(gè)主應(yīng)力作用平面相互垂直。D.不同截面的應(yīng)力不同，因此應(yīng)力矢量是不可確定的。4 彈性力學(xué)的基本未知量沒有C。A.應(yīng)變分量。要建立邊界條件，即2邊界條件和邊界條件。2 彈性力學(xué)基本假定包括 假定、假定、假定、假定和假定。由(h) ( i)得德關(guān)于圣維南原理的正確敘述是D。(1)(1)B.位移分 量。C.面力分5 布。艮蜜釉旗重鞠瓣海罹翩懶暇購以任意 平移。D.等效力系替換主要影響載荷作用區(qū)附近的應(yīng) 力分布，對(duì)于遠(yuǎn)離邊界的彈性體內(nèi)部的影響 比較小。、計(jì)算題(共15分)如圖所示的三角形截面水壩，其左側(cè)作用著比重為 的液體，右