高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點撥 幾類常見排列組合問題解題策略

1、幾類常見排列組合問題解題策略 排列組合問題是高中數(shù)學(xué)中的一個難點，也是高考的必考內(nèi)容。其思考方法獨特，解題思路新穎。如果對題意認(rèn)識出現(xiàn)偏差的話，極易出現(xiàn)計數(shù)中的“重復(fù)”和“遺漏”。在初學(xué)階段，提高學(xué)生解排列組合題的有效途徑之一是將一些常見題型進(jìn)行方法歸類，構(gòu)造模型解題。這樣有利于學(xué)生認(rèn)別模式，并進(jìn)而熟練運用。本文列舉了八種常見的排列組合典型問題的解題策略，希望能對大家有所幫助。1 重復(fù)排列“住店法” 重復(fù)排列問題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)。把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題。例1 8名同學(xué)爭奪3項冠軍，獲得冠軍的可能性有 （ ） A

2、 B C D 解析 冠軍不能重復(fù)，但同一個學(xué)生可獲得多項冠軍。把8名學(xué)生看作8家“店”，3項冠軍看作3個“客”，他們都可住進(jìn)任意一家“店”，每個客有8種可能，因此共有種不同的結(jié)果。選（A）。 評述類似問題較多。如：將8封信放入3個郵筒中，有多少種不同的結(jié)果？這時8封信是“客”，3個郵筒是“店”，故共有種結(jié)果。要注意這兩個問題的區(qū)別。2 特色元素“優(yōu)先法”某個（或幾個）元素要排在指定位置，可優(yōu)先將它（們）安排好，后再安排其它元素。 例2乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有_種（用數(shù)

3、字作答）。解析3名主力的位置確定在一、三、五位中選擇，將他們優(yōu)先安排，有種可能；然后從其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，有種排法。因此結(jié)果為=252種。例3 5個“1”與2個“2”可以組成多少個不同的數(shù)列？解析按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。由于7個位置不同，故只要優(yōu)先選兩個位置安排好“2”，剩下的位置填“1”（也可先填“1”再填“2”）。因此，一共可以組成=21個不同的數(shù)列。3 相鄰問題“捆綁法” 把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，與其余普通元素全排列，是為“捆綁法”，又稱為“大元素法”。不過要注意“大元素”內(nèi)部還需要進(jìn)行排列。 例4有8本不同的書，其中數(shù)學(xué)書3本，外文書2本

4、，其他書3本，若將這些書排成一列放在書架上，則數(shù)學(xué)書恰好排在一起，外文書也恰好排在一起的排法共有_種（結(jié)果用數(shù)字表示）。解析將數(shù)學(xué)書與外文書分別捆在一起與其它3本書一起排，有種排法，再將3本數(shù)學(xué)書之間交換有種，2本外文書之間交換有種，故共有=1440種排法。 評述這里需要說明的是，有一類問題是兩個已知元素之間有固定間隔時，也用“捆綁法”解決。如：7個人排成一排，要求其中甲乙兩人之間有且只有一人，問有多少種不同的排法？可將甲乙兩人和中間所插一人“捆綁”在一起做“大元素”，但甲乙兩人位置可對調(diào)，而且中間一人可從其余5人中任取，故共有種排法。4 相間問題“插空法” 元素不相鄰問題，先安排好其他元素，

5、然后將不相鄰的元素按要求插入排好的元素之間的空位和兩端即可。例5 某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 （ ）A 6 B 12 C 15 D 30解析原來的5個節(jié)目中間和兩端可看作分出6個空位。將兩個新節(jié)目不相鄰插入，相當(dāng)于從6個位置中選2個讓它們按順序排列，故有種排法，選（D）。評述本題中的原有5個節(jié)目不需要再排列，這一點要注意。請練習(xí)以下這道題：馬路上有編號為1、2、3、···10的十盞路燈，為節(jié)約用電又能照明，現(xiàn)準(zhǔn)備把其中的三盞燈，但不能關(guān)掉相鄰的兩盞或三

6、盞，兩端的燈也不許關(guān)掉，求不同的關(guān)燈方式有多少種？可得結(jié)果為=20種。你能很快求解嗎？5 多元問題“分類法” 對于多個元素問題，有時有多種情況需要進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)分類計數(shù)原理將各種可能性相加即得。需要注意的是，分類時要不重復(fù)不遺漏。 例6 在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟。為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有_種（用數(shù)字作答）。 解析先考慮A種在左邊的情況，有三類：A種植在最左邊第一壟上時，B有三種不同的種植方法；A種植在左邊第二壟上時，B有兩種不同的種植方法；A種植在左邊第三壟上時，B只有一種種植方法。又B

7、在左邊種植的情況與A在左邊時相同。故共有=12種不同的選壟方法。 例7 有11名翻譯人員，其中5名英語翻譯員，4名日語翻譯員，另2人英語、日語都精通。從中找出8人，使他們組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個小組能同時工作。問這樣的分配名單共可開出多少張？ 解析假設(shè)先安排英文翻譯，后安排日文翻譯。第一類，從5名只能翻譯英文的人員中選4人任英文翻譯，其余6人中選4人任日文翻譯（若“多面手”被選中也翻譯日文），則有；第二類，從5名只能翻譯英文的人員中選3人任英文翻譯，另從“多面手”中選1人任英文翻譯，其余剩下5人中選4人任日文翻譯，有；第三類，從5名只能翻譯英文的人員中選2人任

8、英文翻譯，另外安排2名“多面手”也任英文翻譯，其余剩下4人全部任日文翻譯，有。三種情形相加即得結(jié)果185（張）。 評述本題當(dāng)然也可以先安排日文翻譯再安排英文翻譯，請大家自己列式看看。6 分球問題“隔板法” 計數(shù)問題中有一類“分球問題”，說的是將相同的球分到不同的盒中。如：將10個相同的球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，要求每個盒中至少一個球，問有多少種不同的放法？這時可以用“隔板法”解題。即將10個相同的球排成一排，中間看作有9個空，從中選出3個不同的空插入3個“隔板”，則每一種插法對應(yīng)一種球的放法，因此共有=84種不同的放法。用“隔板法”可很快地解決以下問題。例8 已知兩個實數(shù)集合與，

9、若從A到B的映射f使得B中每一個元素都有原象，且，則這樣的映射共有 （ ） A B C D 解析本題可以將A中的100個元素按的順序排成一排，中間有99個空，從中選出49個插上隔板就是結(jié)果，即，選（D）。7 正難則反“排除法” 有些問題從正面考慮較為復(fù)雜而不易得出答案，這時，從反面入手考慮，往往會取得意想不到的效果。 例9 以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有 （ ） A 70個 B 64個 C 58個 D 52個 解析直接統(tǒng)計較繁，可從反面入手。從8個頂點中任取4個有種取法，而四點共面的情況有6個表面和6個對角面，因此結(jié)果為個，選（C）。例10 四面體的頂點和各棱的中點共10個點，在其中取4

10、個不共面的點，不同的取法有 （ ）A 150種 B 147種 C 144種 D 141種 解析10個點任取4個有種取法。其中同一個面內(nèi)6個點中任意4點共面，有種；又每條棱上3點與對棱中點四點共面，有6種；且各棱中點中4點共面的情形有3種。故10點中取4點，不共面的取法有種，選（D）。8先選后排“綜合法”“先選后排”是解排列組合問題的一個重要原則。一般地，在排列組合綜合問題中，我們總是先從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定位置上。例11 對某產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行測試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第5次時被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能？ 解析第5次必測出一個次品，其余3個次品在前4次中被測出。從4個中確定最后一個次品有種可能；前4次中應(yīng)有1個正品3個次品，有種；前4次測試中的順序有種。由分步計數(shù)原理得種。例12 四個不同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有_種（用數(shù)字作答）。 解析先從4個盒中選1個成為空盒有種。再把4個球分成3組每組至少1個，即分為2，1，1的三組，有