§1關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理

1、第九章實數(shù)的完備性§ 1關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理§ 1關(guān)于實數(shù)集完備性的基本定理教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時授課方式：課堂講授教學(xué)目的與要求：理解區(qū)間套定理、魏爾斯特拉斯聚點定理、柯西收斂準(zhǔn)則、有限覆蓋定理。教學(xué)重點與難點：正確理解區(qū)間套定理、魏爾斯特拉斯聚點定理、柯西收斂準(zhǔn)則、有限覆蓋定理。教學(xué)過程：前面我們由確界存在定理證明了單調(diào)有界定理下面由單調(diào)有界定理證明閉區(qū)間套定理、再證明聚點定理、柯西收斂準(zhǔn)則和有限覆蓋定理，最后證明確界存在定理這樣就證明了這些定理的等價性它們都是刻畫實數(shù)集完備性（連續(xù)性）的基本定理，它們使極限理論乃至整個數(shù)學(xué)分析能建立在堅實的理論基 礎(chǔ)之上.一區(qū)間套定理

2、定義9.1.1設(shè)閉區(qū)間列Uan,bn具有如下性質(zhì)：（i ） ©n,bn I：匕山 1 1（n =1,2,川）:（ii） lim bn -an =0,n_sc*則稱:Ian, bj?為閉區(qū)間套，或簡稱區(qū)間套.這里性質(zhì)（i）表明，構(gòu)成區(qū)間套的閉區(qū)間列是前一個套著后一個，即各閉區(qū)間的端點滿足如下不等a1 曲2 - 川 an -川 bn - |丨 一 b2 乞 b .定理9.1.1 （區(qū)間套定理）若lan.bjz是一個區(qū)間套，則在實數(shù)系中存在唯一的一點'，使得lan，bn l（n =1,2| ）即an-bn，n=1,2川 I.證 由閉區(qū)間套的定義知，訂鳥為單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，bn?

3、為單調(diào)遞減有下界的數(shù)列，依單調(diào)有界定理，與?都收斂，設(shè)lim a.二，lim bn二，則有n n .an-bn （n=1,2，IH）.由區(qū)間套定義的條件（i ）可得)=0,所以再證 是唯一的.設(shè)數(shù)也滿足an乞 bn，則我們有匕-打 m an （n =1,2,川）.由區(qū)間套的條件（ii ）得匕匕 <lim （bn an ）=0n E =n_sc'r推論若：；：=an，bn In =1,2,|H是區(qū)間套:Ian, bj?所確定的點,則對任給的；0,存在N LL使得當(dāng)n . N時有a，bn U ；.需要指出的是：區(qū)間套定理中要求各個區(qū)間都是閉區(qū)間，才能保證定理的結(jié)論成立對于開區(qū)間列如丿

4、0, |1,雖然其中的各個開區(qū)間也是前一個包含后一個，且lim ! - 0 1= 0 ,但不存在屬于所有開丄n丿：n*n丿區(qū)間的公共點二聚點定理與致密性定理定義9.1.2 設(shè)S為數(shù)軸上的點集，為定點（它可以屬于S,也可以不屬于 S）.若的任何鄰域內(nèi)都含有S中無窮多個點，則稱 為點集S的一個聚點.例如，點集s =1n +丄？有兩個聚點J = 1和©2=1 :點集s = $sin？只有一個聚點© =0：* 4 K 4* 4I +區(qū)間1, |內(nèi)的一切點及點 勺=1,冷=都是1-的聚點而正整數(shù)集L沒有聚點：任何有限集也I 3丿3< 3丿無聚點.聚點的另外兩個等價定義如下：定義

5、9.1.2 '對于點集S,若點的任何鄰域內(nèi)都含有S中異于的點,即U° j； -.,則稱為S的一個聚點.定義9.1.2 ”若存在各項相異的收斂數(shù)列：二S,則其極限lim稱為S的一個聚點.關(guān)于以上三個定義的等價性證明，我們簡述如下.定義9.1.2 =定義9.1.2 '是顯然的,定義9.1.2 "= 定義9.1.2也不難得到：現(xiàn)證定義9.1.2 '= 定義 9.1.2 ” .設(shè)為S（按定義9.1.2 '）的聚點,則對任給的；0,存在U°； ； - S.令 1=1,則存在 X1 U0; ；1 ' S:,則存在x2 U0; ；2 &#

6、39; S,且顯然 = x2 ：0 ； ；n ' S,且顯然 Xn 與 X|,X2,|H,Xnj 互異1j令:n =min ， _Xn，則存在 Xn U 0 ' InJ無限地重復(fù)以上步驟，得到S中各項互異的數(shù)列：x且由1:lim xn = nn廠下面我們用區(qū)間套定理來證明聚點定理.定理9.1.2 （魏爾斯特拉斯聚點定理）實數(shù)軸上的任一有界無限點集S至少有一個聚點.證 因為S為有界點集，故 M . 0 ,使得S l-M , M 1,記l.a1,ti1 -M ,M 1.S中無窮S中無窮現(xiàn)將1砂，0 1等分為兩個子區(qū)間.因S為無限點集，故兩個子區(qū)間中至少有一個子區(qū)間含有多個點,記此子

7、區(qū)間為l.a2,b2 I,則Qg i_： a2, b l且1b2 - a2 = ? d - a!= M .再將Ia2,b2 1等分為兩個子區(qū)間因S為無限點集，故兩個子區(qū)間中至少有一個子區(qū)間含有多個點,記此子區(qū)間為l.a3,b31,則a2,b2丨-：a3,b 1,且b33b222 2將此等分子區(qū)間的過程無限地進行下去 ，得到一個區(qū)間列l(wèi).an, bn卩,它滿足l.an,b: Ian .1,bn 1 I,n =1,2,|H，-M 2、bn -an =尹0 n ' ：,即:l.an,bj?是區(qū)間套，且其中每一個閉區(qū)間都含有S中無窮多個點.由區(qū)間套定理，存在唯一的一點 - !an，bn 1 n

8、 =1,2，于是由定理9.1.1的推論，對任給的；0, 存在正整數(shù)N 0 ,當(dāng)n N時，有an, bj U ;；.從而 U ； ；內(nèi)含有S中無窮多個點，按定義 9.1.2, 為S的一個聚點.推論（致密性定理）有界數(shù)列必含有收斂子列.證設(shè)：Xn匚為有界數(shù)列.若：Xn 中有無限多個相等的項，則由這些項組成的子列是一個常數(shù)列，而常數(shù)列總是收斂的.若數(shù)列、Xn 不含有無限多個相等的項，則n 在數(shù)軸上對應(yīng)的點集必為有界無限點集，故由魏爾斯特拉斯聚點定理，點集至少有一個聚點，記為',于是按定義9.1.2",存在：X”的一個收斂子列% 二使得 lim x% . k_ j:三柯西收斂準(zhǔn)則在定

9、理233中，我們用單調(diào)有界原理證明了柯西收斂準(zhǔn)則的充分性下面，我們用致密性定理再次給出柯西收斂準(zhǔn)則的充分性 證設(shè)數(shù)列 右,滿足柯西條件,先證明a是有界的為此,取e = 1 ,則存在正整數(shù) N ,當(dāng)m = N 1及n N時有an - aN 半 £ 1.由此得an = an 一弘卑* aN卅蘭an 一即審+ aN卅V樂卅+1令M = max , a?,，a” , a”彳 +訃,則對一切正整數(shù)n,均有an|蘭M 于是，由致密性定理，有界數(shù)列 a/'必有收斂子列 3皿p?,設(shè)|im._ank二A 對任給的； 0 ,存在K 0 ,當(dāng)m,n,k K時，同時有名呂an am| <2

10、(由柯西條件),ank A v?(由 kiank = A), 因而當(dāng)取m=nk(_k K)時，得到an A 蘭 an _an+|ank _A W +專=E這就證明了 lim an =A. |n下面,我們用數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則證明確界原理證設(shè)S為非空有上界的數(shù)集由實數(shù)的阿基米德性，對任何正數(shù):-,存在正整數(shù) k ,使得:.二為S的上界，而二-V 不是S的上界，即存在 J S,使得: k：. -仁.11分別取,n =1,2,，則對每一個正整數(shù)n,存在相應(yīng)的'n,使得'n為S的上界而 n 不是nnS的上界，故存在：S,使得* . 1'n (9-1-1)n又對正整數(shù)m,需是S的上

11、界，故有 扁-：，結(jié)合(9-1-1)得(9-1-2)同理有從而得m爲(wèi) “|<maxL4Im'nJ于是,對任給的；.0,存在N .0,當(dāng)n,m.N時,有由柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列J n '收斂記(9-1-3)現(xiàn)在證明是S的上確界首先，對任何的：S和正整數(shù)n有:-< n,由（9-1-3）式得:_ ,即1是S的上界.其次，對任何0 ,由 0n-；:及 （9-1-2）式，對充分大的n同時有n1-，n.n2211又因冷-一不是S的上界，故存在：- S使得:,結(jié)合上式得nn _&&一弋:.，一 一 一 一 = _ ；.2 2即，是S的上確界.同理可證：若S為非空有下界

12、的數(shù)集，則必有下確界 至此,我們由確界存在定理證明了單調(diào)有界定理，用單調(diào)有界定理證明閉區(qū)間套定理 ，用閉區(qū)間套定理證明了聚點定理，而用聚點定理證明了柯西收斂準(zhǔn)則 ，最后用柯西收斂準(zhǔn)則證明了確界存在定理這樣就完成了這些定理的等價性證明 四、有限覆蓋定理前面討論的確界存在原理、單調(diào)有界定理、閉區(qū)間套定理、聚點定理和柯西收斂準(zhǔn)則的關(guān)注重點都 是一個點的存在性，也就是說，它們關(guān)注的重點都是局部問題 在本小段，我們介紹一個關(guān)注整體性的結(jié) 論一一有限覆蓋定理.為此,我們首先給出定義9.1.3設(shè)S為數(shù)軸上的點集，H為開區(qū)間的集合（即H的每一個元素都是形如 :的開區(qū) 間）.若S中任何一個點都含在 H中至少一個

13、開區(qū)間內(nèi)，則稱H為S的一個 開覆蓋，或稱H覆蓋S.若 H中開區(qū)間的個數(shù)是無限（有限）的,則稱H為S的一個無限開覆蓋（有限開覆蓋）.例如，h二 丄n 是區(qū)間0,1的一個開覆蓋事實上，對一 xG0,1 ,取kJ1 -1, lln+2 n jlx:x ：丄1k 2 ,所以 k ： k 2 ,從而有x1 1但若Hi， n L '，則Hi就不是開區(qū)間 0,1的開覆蓋.事實上，對任意大于1的正整也+1 n丿J1i數(shù)n,當(dāng)然有 0,1 ,但 不屬于H1中的任何開區(qū)間.nn再如，H-、：x,xxa,b,：x 顯然是閉區(qū)間la,b 1的一個開覆蓋.在具體問題中，一個點集的開覆蓋常由該問題的某些條件所確定

14、.例如，若函數(shù)f在區(qū)間a,b內(nèi)連續(xù)，則任給名>0對每一點x(a,b),都可確定正數(shù) dx,使得當(dāng)xUU(x,6x )時有f(xj-f(x)<s 這樣就得到一個開區(qū)間集H ；x -、x,x 、x x a,b ?.它是開區(qū)間 a,b的一個無限開覆蓋定理9.1.3 (海涅-博雷爾(Heine-Borel) 有限覆蓋定理)設(shè)H為閉區(qū)間la,b 1的一個(無限)開覆蓋, 則從h中可選出有限個開區(qū)間來覆蓋a,bi.證用反證法假設(shè)定理的結(jié)論不成立，即不能用H中有限個開區(qū)間來覆蓋a,bi.將a,b 1等分為兩個子區(qū)間，則其中至少有一個子區(qū)間不能用H中的有限個開區(qū)間來覆蓋.記這個子區(qū)間為 abi 則

15、 5,4 丨'a, bl 且 d -a1 二一 b - a .2再將 比，匕1等分為兩個子區(qū)間，則其中至少有一個子區(qū)間不能用H中的有限個開區(qū)間來覆蓋.記這個子區(qū)間為 2 ,b2 則：2,匕2】£ ,b1 L且b2 -a2一r b a 22重復(fù)上述步驟并將這一過程無限地進行下去，我們可得一個閉區(qū)間列an,bjf,它滿足an 1,bn Jbn,bn , n =1,2，,且 bn - an = b - a > 0 n > :.2即，an,bn b是區(qū)間套，且其中的每一個閉區(qū)間都不能用H中的有限個開區(qū)間來覆蓋由閉區(qū)間套定理，存在唯一的一點：= !an,bn! n=1,2，

16、由于H為閉區(qū)間'a,b】的一個開覆蓋，故 存在一個開區(qū)間:i5 H ,使得： 于是，由定9.1.1的推論，當(dāng)n充分大時有'an,bj: / .而此與“ n,bn t中的每一個閉區(qū)間都不能有H中的有限個開區(qū)間來覆蓋”的結(jié)論相矛盾所以結(jié)論成立.I上面我們是用閉區(qū)間套定理證明的有限覆蓋定理，為了進一步說明實數(shù)連續(xù)性定理之間的關(guān)系，我們用確界定理再次證明有限覆蓋定理證設(shè)B=xa,x 具有有限覆蓋，acxcb.由定理的條件，必然存在開區(qū)間 I- H ,使得a三,由實數(shù)的稠密性得，存在x a ,使得x ， 故B -.顯然b是數(shù)集B的上界，由確界原理，B有上確界，設(shè)sup B = c 乞 b

17、 .由定理條件，存在開區(qū)間:15 H，使得c三很.由上確界的定義 ，存在xi B，使得： ： N _c.由B的定義知la，x1 1有有限覆蓋.再加上一個開區(qū)間 ，；H，因而得l.a，cl也有有限 覆蓋，即c三B.若c : b，則由實數(shù)的稠密性可得，存在X2三c，b ，從而X2 ：= B.此與c是上確界矛盾.因而c = b . 即l.a，b 1具有有限覆蓋.I注：定理9.1.3 的結(jié) 論只對閉區(qū)間la，b 1成立，而對開區(qū)則不一定成立.例如，開區(qū)間集合 丄，1 n =1,2， 構(gòu)成了開區(qū)間0,1的一個開覆蓋，但不能從中選出有限個開區(qū)間來蓋住0,1 .n 1下面我們用有限覆蓋定理證明致密性定理，以進一步說明實數(shù)連續(xù)性定理之間的等價關(guān)系設(shè)數(shù)列有界，則存在閉區(qū)間la,b 1,使得！xn ；二a bl.若'x /無收斂(于a,b】中任何一點的) 子數(shù)列.于是，由定義2.1.2'可得，對-x la,bli:x 0,使Ix =U xr x中只含有xj的有限多項. 于是 ,有開區(qū)間集H =Ux xla,b, lx中只含有xj的有限多項覆蓋la,b 1.由有限覆蓋定理知.可從H中選出有限個開區(qū)間覆蓋l.a,bl,從而X只有有限項.此為矛盾.習(xí) 題9-1 n 1 I1. 驗證數(shù)集2 ( -1 )十1，有且只有