高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點撥 冪函數(shù)綜合題型探析

1、冪函數(shù)綜合題型探析冪函數(shù)作為常見的函數(shù)模型，可以和許多問題聯(lián)系在一起，是重要的知識交匯點，也是課標(biāo)高考易于考查的考點，值得我們重視。下面對有關(guān)冪函數(shù)的綜合題型歸納探析。一、信息遷移型例1 若點(2，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(-2，14)在冪函數(shù)g(x)的圖象上，定義hx=fx，f(x)g(x)gx，fx>g(x)，試求函數(shù)hx的最大值以及單調(diào)區(qū)間。解析：設(shè)fx=xa，因為點(2，2)在f(x)的圖象上，所以(2)a=2，所以a=2，即fx=x2；又設(shè)gx=xb，點(-2，14)在g(x)的圖象上，所以(-2)b=14，所以b=-2，即gx=x-2。在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)fx和gx

2、的圖象，如圖1，則有hx=x-2， x<-1x2，-1x<0或0<x1x-2， x>1。 y f(x) f(x) g(x) g(x) -1 o 1 x 圖1根據(jù)圖象可知函數(shù)hx的最大值等于1，單調(diào)遞增區(qū)間是(-，-1)(0，1)；遞減區(qū)間是(-1，0)(1，+)。點評：冪函數(shù)是新課標(biāo)新增加的內(nèi)容，雖然冪函數(shù)的形式多種多樣，圖象和性質(zhì)較為復(fù)雜，學(xué)習(xí)起來有一定的難度，但考試要求不是很高，只要掌握簡單的5個冪函數(shù)的有關(guān)圖象與性質(zhì)即可，所以要重視對5個簡單冪函數(shù)的研究，熟練掌握其圖象和性質(zhì)，在考試中一般會以這些簡單函數(shù)為載體，考查函數(shù)的有關(guān)問題。本題在兩個函數(shù)f(x)和g(x)

3、的基礎(chǔ)上定義了一個新的函數(shù)hx，hx的實質(zhì)是取f(x)和g(x)中的較小者，這類問題借助圖象來解決，直觀形象，其最值和單調(diào)區(qū)間容易求出，所以要重視數(shù)形結(jié)合思想的運用。二、圖象變換型例2 若函數(shù)fx=3x-5x-2在區(qū)間(m，+)上是遞減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍。解析：本題考查簡單冪函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的平移問題。由于fx=3x-5x-2=3x-6+1x-2=3+1x-2，所以函數(shù)fx的圖象是由冪函數(shù)gx=1x的圖象先向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到的，所以其圖象如圖2。 y y=(3x-5)/(x-2) 3 0 2 x y=1/x 圖2其單調(diào)遞減區(qū)間是(-，2)和(2，+)，而函數(shù)f

4、x在區(qū)間(m，+)上是遞減函數(shù)，所以應(yīng)有m2。提示：函數(shù)y=1x是一個比較常用的冪函數(shù)，它也叫做反比例函數(shù)，其定義域是x|xR，x0，是一個奇函數(shù)，對稱中心為(0，0)，在(-，0)和(0，+)上都是遞減函數(shù)。一般地，形如y=ax+bcx+d的函數(shù)都可以經(jīng)過對y=1x的圖象變換得到，所以這些函數(shù)的性質(zhì)都可以借助y=1x的性質(zhì)來得到。三、討論性質(zhì)型3. 已知冪函數(shù)fx=x13(2m-6)(mN)是偶函數(shù)，且在(0，+)上是減函數(shù)，求函數(shù)fx的解析式，并討論gx=afx-bxfx的奇偶性。解析：由fx在(0，+)上是減函數(shù)得13(2m-6)<0，m<3。mN，m=0，1， 2。又因為f

5、x是偶函數(shù)，只有當(dāng)m=0時符合，故fx=x-2。于是gx=a|x|-bx ，g-x=a|x|+bx。當(dāng)a0且b0時，gx為非奇非偶函數(shù)；當(dāng)a=0且b0時，gx為奇函數(shù)；當(dāng)a0且b=0時，gx為偶函數(shù)；當(dāng)a=0且b=0時，gx為既奇又偶函數(shù)。點評：本題是利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)求解解析式，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義討論奇偶性的。四、開放探索型例4 已知冪函數(shù)fx=x3-ppN在0，+上是增函數(shù)，且在定義域上是偶函數(shù)。（1）求p的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)fx的解析式；（2）對于（1）中求得的函數(shù)fx，設(shè)函數(shù)gx=-qffx+2q-1fx+1。問是否存在實數(shù)qq<0，使得函數(shù)gx在區(qū)間(-，-4上是減函數(shù)

6、，且在區(qū)間-4，0上是增函數(shù)？若存在，請求出q的值；若不存在，請說明理由。解析：（1）冪函數(shù)fx=x3-ppN在0，+上是增函數(shù)，3-p>0，p<3。又pN，p=0，1，2。fx在定義域上是偶函數(shù)，只有當(dāng)p=1符合，故fx=x2。（2）由fx=x2，則gx=-qx4+2q-1x2+1。假設(shè)存在實數(shù)qq<0，使得gx滿足題設(shè)條件。令t=x2，則gt=-qt2+2q-1t+1(t0)。t=x2在(-，0)上是減函數(shù)，當(dāng)x(-，-4時，t16，+)；當(dāng)x-4，0時，t0，16。 若gx在區(qū)間(-，-4上是減函數(shù)，且在區(qū)間-4，0上是增函數(shù)，則gt在0，16上是減函數(shù)，且在16，+)上是增函數(shù)，此時二次函數(shù)gt的對稱軸方程是t=16，即t=-(2q