復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)習(xí)提綱二

1、復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)重點(diǎn)（一）復(fù)數(shù)的概念1 .復(fù)數(shù)的概念：z=x+iy, x, y是實(shí)數(shù)，x = Re（z）, y =Im（z）. i2 =1.注：一般兩個(gè)復(fù)數(shù)不比較大小，但其模（為實(shí)數(shù)）有大小 2 .復(fù)數(shù)的表示i）模：z = qx2 +y2 ；2）幅角：在z #0時(shí)，矢量與x軸正向的夾角，記為Arg （z ）（多值函數(shù)）；主彳1 arg（ z）是位于（-冗，冗 中的幅角。3 ） arg（z）與arctan y之間的關(guān)系如下： xy當(dāng) x0, arg z = arctan ；xyy _0,arg z = arctan -當(dāng) x0x ;yy 0,arg z = arctan奠x4）三角表示：z =|z（

2、cosH+isinH ）,其中日=argz；注：中間一定是“ +”號(hào)。5）指數(shù)表示:z=|zei8,其中a = arg z0（二）復(fù)數(shù)的運(yùn)算1 .加減法：若 z1 = k +iy1, z2 = x2 +iy2,則 z1 z2 = （x1 x2 ）+i （y1 y2 ）2 .乘除法：1)若乙=為 +iyI，z2 =x2 +iy2 ,則ZiZ2 =(kx2 -YiY2 )+i (X2Yi +x1y2 )；Zi_Xi+i y_(x1+ iyXX-i y_ x X y4yy X % X. 一 27 二/L 2 i272 Z2X2i % X i y-X12y冰 22x2y一、H一田一igrr2)若 Zi

3、 = Zi eZ2 = Z2 ey,則Z1Z2 = zj|z2 ei(七!五二亙電）Z2|z23 .乘哥與方根1） 若 z = z （cose +isin8） =|z ei,貝U zn =Zn （cos ne +i sin ne）=惘7哨。2）若 z = z （cose +isinO） =|z| ei9,則nL 1f+2knH+2kJ!）7z = z n cos+isin :（k =0,1,2 n-1）（有 n 個(gè)相異的值）1n n J（三）復(fù)變函數(shù)1 .復(fù)變函數(shù)：w=f（z）,在幾何上可以看作把 z平面上的一個(gè)點(diǎn)集 D變到w平面上的一個(gè)點(diǎn)集 G 的映射.2 .復(fù)初等函數(shù)1）指數(shù)函數(shù)：ez =

4、ex （cosy+isin y ）,在z平面處處可導(dǎo)，處處解析；且（ez）=ez。注：ez是以2g為周期的周期函數(shù)。（注意與實(shí)函數(shù)不同）3）對數(shù)函數(shù)：Lnz =ln z+i（argz + 2kn） （k=0,1,21）（多值函數(shù)）；主值：lnz = ln z+iargz。（單值函數(shù)）,一， 1.1Lnz的每一個(gè)王值分支ln z在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的 z平面內(nèi)處處解析，且（lnz ）=一；注：負(fù)復(fù)數(shù)也有對數(shù)存在。（與實(shí)函數(shù)不同）3)乘哥與哥函數(shù)：ab =ebLna(a=0)； zb=ebLnz(z00)注：在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)處處解析，且（zb j=bzb。iz-iziz-iz4）三角函數(shù)

5、:e -ee e , sin z , coszsin z =,cos z =, t gz =,ctgz =2i2cosz sin zsin z,cos z在 z 平面內(nèi)解析，且 (sin z )= cosz,(cosz )=-sin z注：有界性sin z 1, cosz W1不再成立；（與實(shí)函數(shù)不同）z-zz-z一一 一，e -ee e4) 雙曲函數(shù)shz =, chz =；22shz奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)。 shz, chz在z平面內(nèi)解析，且 （shz ）= chz,（chz ）= shz。（四）解析函數(shù)的概念131 .復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1)點(diǎn)可導(dǎo)：f zo = limof Zo ；：Z -

6、f Zo.：z2)區(qū)域可導(dǎo)：f (Z向區(qū)域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)。2.解析函數(shù)的概念1)點(diǎn)解析：f (z取Z0及其Z0的鄰域內(nèi)可導(dǎo),稱 f(Z)在Zo點(diǎn)解析;2)區(qū)域解析：f (Z產(chǎn)區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)解析，稱f ( Z )在區(qū)域內(nèi)解析;3)若f(Z)在4點(diǎn)不解析，稱Zo為f(Z)的奇點(diǎn);3.解析函數(shù)的運(yùn)算法則：解析函數(shù)的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn))仍為解析函數(shù);解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù);(五)函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件2 .函數(shù)可導(dǎo)的充要條件 ：f (z ) = u(x,y )+iv (x, y )在z=x+iy可導(dǎo)u u(x, y 冽v(x,y堆(x, y)可微，且在(x,y )處滿足C - D條件:

7、xFx此時(shí),3 .函數(shù)解析的充要條件：f (z )=u(x, y )十iv(x, y粒區(qū)域內(nèi)解析u u(x, y評口 v(x,y庭(x,y )在D內(nèi)可微，且滿足 C-R條件:.:u.:x:y此時(shí)f (Z尸四+i。 ex ex注意：若u(x,y),v(x, y附區(qū)域D具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則u(x, y ),v(x, y )在區(qū)域D內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時(shí)，只要能說明u,v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)且滿足C-R條件時(shí)，函數(shù)f (Z) =u +iv 一定是可導(dǎo)或解析的。3.函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法1)利用定義(題目要求用定義，如第二章習(xí)題1)2)利用充要條件(函數(shù)以f (z)=u(x,y )+iv

8、(x,y評式給出，如第二章習(xí)題2)3)利用可導(dǎo)或解析函數(shù)的四則運(yùn)算定理。(函數(shù)f (Z)是以Z的形式給出，如第二章習(xí)題 3)(六)復(fù)變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)1.復(fù)變函數(shù)積分的概念:c是光滑曲線。nif(zJdz=nims f(3k_kz1注：復(fù)變函數(shù)的積分實(shí)際是復(fù)平面上的線積分。2 .復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)1) f (z )dz = - ,f (z jdz (c,與c的方向相反)；2) cc f (z )+ Pg(z dz =(x f(z)dz+P fg(z )dz,a, P 是常數(shù)；ccc3) 若曲線 c由 c1 與 c2連接而成，則 f (z)dz = f (z)dz + ( f (z)dz。3

9、 .復(fù)變函數(shù)積分的一般計(jì)算法1)化為線積分：f (z)dz= udxvdy+i vdx+udy ;(常用于理論證明)2)參數(shù)方法：設(shè)曲線c： z=z(t ) (a wt E P),其中ot對應(yīng)曲線c的起點(diǎn)，P對應(yīng)曲線c的終點(diǎn),P則 f (z )dz= f fz(t z(t)dt。 c- ：(七)關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論1 .柯西一古薩基本定理：設(shè)f (z )在單連域B內(nèi)解析，c為B內(nèi)任一閉曲線，則底 f z dz = 0c2 .復(fù)合閉路定理：設(shè)f(z )在多連域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任意一條簡單閉曲線，G,c2,cn是c內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以G，c2，cn為邊界的區(qū)域

10、全含于 D內(nèi)，則nNrf (z)dz =工Nf (z)dz,其中c與ck均取正向； cckBrf(z)dz = 0,其中由c及c“(k=1,2，n)所組成的復(fù)合閉路。 r3 .閉路變形原理 ：一個(gè)在區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)f(z)沿閉曲線c的積分，不因c在D內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中c不經(jīng)過使f(z )不解析的奇點(diǎn)。4 .解析函數(shù)沿非閉曲線的積分 ：設(shè)f(z )在單連域B內(nèi)解析，G(z)為f(z )在B內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，Z2則 f zdz=G Z2 -G z(Zi，Z2 B)說明：解析函數(shù)f(Z冊非閉曲線的積分與積分路徑無關(guān)，計(jì)算時(shí)只要求出原函數(shù)即可。5?？挛鞣e分公式：設(shè)f (z )在

11、區(qū)域D內(nèi)解析，c為D內(nèi)任一正向簡單閉曲線，c的內(nèi)部完全屬于 D ,Zo為c內(nèi)任意一點(diǎn)，則 z f(z)dz=2肅if (z。) c z - zo6 .高階導(dǎo)數(shù)公式：解析函數(shù)f (z )的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導(dǎo)數(shù)為f z2二i . n尸dz = r fzo(n=1,2 )c(z-zo) n!其中c為f (z )的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內(nèi)部完全屬于7 .重要結(jié)論:12 二 i,n = 0一 . .而1一z dz = 。( c是包含a的任意正向簡單閉曲線)c (z-a)n10,n=o8.復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法1)若f(z枝區(qū)域D內(nèi)處處不解析，用一般積分法f(z)

12、dz = J fz(tjz,(t)dt cJ.2)設(shè)f (z近區(qū)域D內(nèi)解析，c是D內(nèi)一條正向簡單閉曲線，則由柯西一古薩定理,c是D內(nèi)的一條非閉曲線，z1,z2對應(yīng)曲線c的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則有z2f z dz= f z dz = F z2 -F 乙cz13)設(shè)f (z肝區(qū)域D內(nèi)不解析曲線c內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn):W f(z %z = 2n i f (zo ) cz-zo. f(z)2i7+dz =、c(z-zo)(f(z)在c內(nèi)解析) f n zo曲線c內(nèi)有多于一個(gè)奇點(diǎn):N f (z )dz =可f (z )dz ( g內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)zk)Resf(z),zk(留數(shù)基本定理)若被積函數(shù)不能表示成 一f(Z)

13、則須改用第五章留數(shù)定理來計(jì)算。(z-zo)n1* (八)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系不做要求二 2：,：2?1.調(diào)和函數(shù)的概念：若二元實(shí)函數(shù) 中(x, y)在D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足J + J = 0 ,：:x y中(x, y)為D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)f (z )=u +iv的實(shí)部u與虛部v都是調(diào)和函數(shù)，并稱虛部v為實(shí)部u的共軻調(diào)和函數(shù)。兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u與v構(gòu)成的函數(shù)f(z) = u+iv不一定是解析函數(shù)；但是若u,v如果滿足柯西一黎曼方程，則u+iv一定是解析函數(shù)。3.已知解析函數(shù) f (z)的實(shí)部或虛部，求解析函數(shù)f (z)=u+iv的方法。1)偏微分法：若已知實(shí)

14、部 u= u(x,y),利用C-R條件，得且，空; 一 ：:y對vL =工兩邊積分，得v =3dy - g x 二 y 二 x二x(*)再對(*)式兩邊對x求偏導(dǎo)，得I fdy l+g(x)二 x:x:x(*)由CR條件，二 y.：v/日-：u,得=：x Z史dy +g(x),可求出 g(x);.xex代入(*)式，可求得- u ,虛部v = dy - g xFx2)線積分法：若已知實(shí)部=u (x, y ),利用 C-R 條件可得 dv = dx + dy = - - dx + dy , 改：y：yFx故虛部為v =x,yxo，yo -y出 dy c ;.x(xo,yO)與(x,y )是解析區(qū)

15、域中由于該積分與路徑無關(guān)，可選取簡單路徑(如折線)計(jì)算它，其中 的兩點(diǎn)。3)不定積分法：若已知實(shí)部 u =u(x,y ),根據(jù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和 C-R條件得知,u . .:v Fu . .:u f z = - i =-i Fxfy ；:xFy將此式右端表示成 z的函數(shù)U （z）由于f z）仍為解析函數(shù)，故f （z）= U （z pz + c（ c為實(shí)常數(shù)）注：若已知虛部 v也可用類似方法求出實(shí)部 u.（九）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 .復(fù)數(shù)列的極限1）復(fù)數(shù)列4 =an +ibn （ n =1,2）收斂于復(fù)數(shù)a =a+bi的充要條件為liman=a,limbn=b（同時(shí)成立）n $ 二n .2）復(fù)數(shù)列C（

16、n收斂U實(shí)數(shù)列an, bn同時(shí)收斂。2 .復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)00cooO1）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) z ctn（an =an+ibn）收斂的充要條件是級(jí)數(shù) z an與工bn同時(shí)收斂；n=0n=0n=02）級(jí)數(shù)收斂的必要條件是 lim an = 0。 n 二注：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可以歸納為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性問題的討論。（十）哥級(jí)數(shù)的斂散性00oO1 .哥級(jí)數(shù)的概念：表達(dá)式g孰（2-20）“或 Cnzn為哥級(jí)數(shù)。 n =0n =02 .哥級(jí)數(shù)的斂散性QO1 ）哥級(jí)數(shù)的收斂定理一阿貝爾定理（Abel）:如果哥級(jí)數(shù) 工cnzn在4 #0處收斂，那么對滿足n=0z z0的一切z ,級(jí)數(shù)必發(fā)散。2）哥級(jí)數(shù)的收斂域一圓域哥

17、級(jí)數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法： 收斂圓的半徑稱收斂半徑。比值法 如果lim 也=八# 0 ,則收斂半徑R 1-； n T Cn I,根值法 lim 溝=九# 0 ,則收斂半徑 R = 1 ； n 如果人=0 ,則R =必；說明在整個(gè)復(fù)平面上處處收斂；如果人=8 ,則R =0 ；說明僅在z = z0或z = 0點(diǎn)收斂；qQ注：若哥級(jí)數(shù)有缺項(xiàng)時(shí)，不能直接套用公式求收斂半徑。(如cn cnz2n)n=03.哥級(jí)數(shù)的性質(zhì)qQqQ1)代數(shù)性質(zhì)：設(shè)工anzn,Z bnz9收斂半徑分別為 R與R2,記R = min(電，0 n 0n =

18、0則當(dāng)z R時(shí)，有Z (o(an + Pbn)zn =3 anzn 十bnzn(線性運(yùn)算)n=0n =0n=0QOoooo(工 anzn)(工 bnzn) = (anb0 +an Jbi +a0bn)zn(乘積運(yùn)算)n=0n=0n z0cO2)復(fù)合性質(zhì)：設(shè)當(dāng)之r時(shí)，f (盯= a、n,當(dāng)z R時(shí)，t = g(z懈析且g(z，r ,n z0oC則當(dāng) z R時(shí)，fg(z= ang(zn。n =0qQ3)分析運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)備級(jí)數(shù) %zn的收斂半徑為R#0,則 n =0QO其和函數(shù)f (z )=Z anzn是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)； n =00O在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，收斂半徑不變；且 f (z )= nan

19、zn_1z Rn=0oO在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求積，收斂半徑不變；f (z )dz =&zn+z R0n=0 n 1(十一)哥函數(shù)的泰勒展開1.泰勒展開： 設(shè)函數(shù)f(z )在圓域z-zj f C、Zo ),于 n!00是 f Z = Cnn=oz - Zo2)間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開式及哥級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算和逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法將函數(shù)展開。(十二)哥函數(shù)的洛朗展開od1 .洛朗級(jí)數(shù)的概念：z cn(z-zo n ,含正哥項(xiàng)和負(fù)哥項(xiàng)。n 二二2 .洛朗展開定理：設(shè)函數(shù)f (z )在圓環(huán)域R z-zj R2內(nèi)處處解析，C為圓環(huán)域內(nèi)繞 4的任意qQ一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內(nèi)，有f

20、 (z)=2：- cn(zzo f ，且展開式唯一。n 二3 .解析函數(shù)的洛朗展開法：洛朗級(jí)數(shù)一般只能用間接法展開。*4 .利用洛朗級(jí)數(shù)求圍線積分：設(shè)f (z )在r |z-zo R內(nèi)解析，c為r zzo| R內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線，則 N f (z dz = 2冗(二。其中 j為f (z)在r z-z)| R內(nèi)洛朗展開式中C的系數(shù)。z-z0說明：圍線積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展開式中（z _ Z0）的系數(shù)。（十三）孤立奇點(diǎn)的概念與分類1。孤立奇點(diǎn)的定義：f （Z在4點(diǎn)不解析，但在Z0的0|z Zo 6內(nèi)解析。2。孤立奇點(diǎn)的類型：一， 一一，八21）可去奇點(diǎn)：展開式中不含 Z Z0的負(fù)哥項(xiàng)；（2）=5+01（2 20）+02（2 4 ） +2）極點(diǎn)：展開式中含有限項(xiàng) Z-Z0的負(fù)哥項(xiàng)；c-m（Z-Zo）mc，m）-嚴(yán)c 12-00 G（Z-Zo） C2（Z-Zo）（z-Zo）g Z（Z-Zo）m，其中 g（Z） = c +cn時(shí),z = a是一的m n級(jí)零點(diǎn)； ,z當(dāng)m n時(shí)