黑龍江哈九中2011屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題全解全析 理

1、黑龍江哈九中2011屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題全解全析本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題），共22題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)： 1答題前，考生先將自己的姓名、考號(hào)填寫清楚。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。卷（選擇題，本卷共12小題，共60分）一、選擇題：（每小題僅有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，共5×12=60分）1已知全集，則集合等于（ ）A B C D【答案】B 【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系和集合的運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行，即不在結(jié)合中，也不在集合中，所以在集合且在中，

2、根據(jù)并集的意義即可。【解析】根據(jù)分析，。【考點(diǎn)】集合【點(diǎn)評(píng)】本題也可以直接進(jìn)行檢驗(yàn)，但在【分析】中說明的方法是最根本的，是從元素與集合的關(guān)系以及交集和交集的含義上進(jìn)行的解答。2奇函數(shù)在上的解析式是，則在上的函數(shù)解析式是（ ）A BC D【答案】B【分析】把的函數(shù)解析式通過函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化到使用函數(shù)在上的解析式。【解析】當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)是奇函數(shù)，故。【考點(diǎn)】基本初等函數(shù)。【點(diǎn)評(píng)】已知函數(shù)的奇偶性和函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的解析式求這個(gè)函數(shù)在其關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的函數(shù)解析式，就是根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化的，這類試題重點(diǎn)考查化歸轉(zhuǎn)化思想是運(yùn)用。3拋物線上一點(diǎn)到直線的距離最短，則該點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）A

3、 B C D【答案】C 【分析】根據(jù)題意，直線必然與拋物線相離，拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離就是與直線平行的拋物線的切線的切點(diǎn)?！窘馕觥?，由得，故拋物線的斜率為的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)是，該點(diǎn)到直線的距離是最短?！究键c(diǎn)】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用?！军c(diǎn)評(píng)】本題以數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo)命制，通過形的分析把問題轉(zhuǎn)化為求拋物線的斜率為的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)。本題也可以直接根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解，即拋物線上的點(diǎn)到直線的距離是，顯然這個(gè)函數(shù)當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)。4已知三棱錐底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均為，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值為（ ）A B C D【答案】D 【分析】由于是三棱錐，故頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正三角形的中心

4、，底面的一個(gè)頂點(diǎn)到這個(gè)中心的距離是，側(cè)棱與底面所成角的余弦值就是這個(gè)數(shù)值除以側(cè)棱長(zhǎng)。【解析】根據(jù)分析，所求的余弦值是。【考點(diǎn)】空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系。【點(diǎn)評(píng)】正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為時(shí)，三棱錐的高是，側(cè)棱與底面所成角的余弦值是等。5雙曲線的離心率為2，則的最小值為（ ）A B C D 【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式，只要根據(jù)雙曲線的離心率是，求出的值即可?！窘馕觥坑捎谝阎p曲線的離心率是，故，解得，所以的最小值是。【考點(diǎn)】圓錐曲線與方程。【點(diǎn)評(píng)】雙曲線的離心率和漸近線的斜率之間有關(guān)系，從這個(gè)關(guān)系可以得出雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越大。6極坐標(biāo)方程表示的圖形是（ ）A兩個(gè)圓 B兩條

5、直線 C一個(gè)圓和一條射線 D一條直線和一條射線【答案】C【分析】可以得到兩個(gè)方程，根據(jù)這兩個(gè)極坐標(biāo)系方程判斷其表示的圖形?！窘馕觥坑?，得或者，其中表示的圖形是圓，后者表示的圖形是一條射線。【考點(diǎn)】坐標(biāo)系與參數(shù)方程?！军c(diǎn)評(píng)】當(dāng)曲線的極坐標(biāo)方程可以通過分解因式的方法，分解為一端是幾個(gè)因式的乘積、一端是零的形式，在這個(gè)曲線就是那幾個(gè)因式所表示的圖形。要注意對(duì)極徑是否有限制，本題如果沒有限制，則表示的圖形就是一條直線。7橢圓上有一點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為直角三角形，則這樣的點(diǎn)有（ ）A個(gè) B個(gè) C個(gè) D個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)中三個(gè)內(nèi)角那個(gè)是直角進(jìn)行分類討論，數(shù)形結(jié)合、根據(jù)橢圓是對(duì)稱性進(jìn)行分析判斷。

6、【解析】當(dāng)為直角時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，這樣的點(diǎn)有兩個(gè)；同理當(dāng)為直角時(shí)，這樣的點(diǎn)有兩個(gè)；由于橢圓的短軸端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)所張的角最大，這里這個(gè)角恰好是直角，這時(shí)這樣的點(diǎn)也有兩個(gè)。故符合要求的點(diǎn)有六個(gè)?！究键c(diǎn)】圓錐曲線與方程?！军c(diǎn)評(píng)】本題中當(dāng)橢圓短軸的端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的張角小于時(shí)，為直角的情況不存在，此時(shí)等價(jià)于橢圓的離心率小于；當(dāng)橢圓短軸的端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的張角等于時(shí)，符合要求的點(diǎn)有兩個(gè)，即短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，此時(shí)等價(jià)于橢圓的離心率等于；當(dāng)當(dāng)橢圓短軸的端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的張角大于時(shí)，根據(jù)橢圓關(guān)于軸對(duì)稱這個(gè)的點(diǎn)有兩個(gè)，再根據(jù)橢圓關(guān)于軸對(duì)稱，可得這樣的點(diǎn)共有四個(gè)。8將函數(shù)的圖像按向量平移之后所得函數(shù)圖像的解析式為（ ）A

7、BC D【答案】A 【分析】按照向量平移，即向左平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位?！窘馕觥康玫降暮瘮?shù)解析式是?！究键c(diǎn)】基本初等函數(shù)。【點(diǎn)評(píng)】按照向量對(duì)函數(shù)圖象進(jìn)行平移在課標(biāo)的考試大綱中是不作要求的，偶爾在新課標(biāo)的一些模擬題中出現(xiàn)這類問題可能是命題者沒有注意到該點(diǎn)。實(shí)際上按照向量進(jìn)行平行可以轉(zhuǎn)化為左右平移和上下平移。9已知，且，則的最小值為（ ）A B C D 【答案】B 【分析】求解目標(biāo)，其幾何意義是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，而點(diǎn)在平面區(qū)域內(nèi)，畫出區(qū)域，分析圖形之間的關(guān)系即可?！窘馕觥坎坏仁浇M所表示的平面區(qū)域是如圖中的，根據(jù)題意只能是點(diǎn)到直線的距離最小，這個(gè)最小值是，故所求的最小值是?！究键c(diǎn)】

8、不等式?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域、而二元函數(shù)的幾何意義和數(shù)形結(jié)合思想。這類問題解題的關(guān)鍵是在數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)下，二元函數(shù)幾何意義的運(yùn)用，本題中點(diǎn)能保證是在圖中的圓與直線的切點(diǎn)處是問題的最優(yōu)解，但如果目標(biāo)函數(shù)是，則此時(shí)的最優(yōu)解就不是直線與圓的切點(diǎn)，而是區(qū)域的定點(diǎn)。10若兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別是和，已知，則（ ）A B C D 【答案】D 【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，把轉(zhuǎn)化為.【解析】.【考點(diǎn)】數(shù)列?！军c(diǎn)評(píng)】如果兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別是和，仿照本題解析的方法一定有關(guān)系式。11已知，則與夾角的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C 【分析】，這是一個(gè)變動(dòng)的向量，其終

9、點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程是其中是參數(shù)，這個(gè)方程是圓的參數(shù)方程，而向量是軸的一個(gè)方向向量，求解的問題就轉(zhuǎn)化為求與軸的正半軸所成的角的范圍，通過數(shù)形結(jié)合求解?！窘馕觥?，設(shè)，則其中是參數(shù)，化為普通方程即，這是一個(gè)以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓，作出圖象如圖，從圖中可知兩向量夾角的取值范圍是。【考點(diǎn)】平面向量?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量，但解答試題不是單獨(dú)依靠平面向量的知識(shí)所能解決的，其中涉及到圓的參數(shù)方程、直線與圓的位置關(guān)系，最重要的是得具備這種在不同學(xué)科知識(shí)之間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化的思想意識(shí)，這才是本題考查的核心所在。12已知是橢圓上一點(diǎn)，兩焦點(diǎn)為，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于，則的值為（ ）A B C D【答案】A 【分析

10、】由于三角形是內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，使用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理把所求的比值轉(zhuǎn)化為三角形邊長(zhǎng)之間的比值關(guān)系。【解析】如圖，連結(jié)。在中，是的角平分線，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，同理可得，固有，根據(jù)等比定理?！究键c(diǎn)】圓錐曲線與方程?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查主要圓錐曲線的定義的應(yīng)用，試題在平面幾何中的三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理、初中代數(shù)中的等比定理和圓錐曲線的定義之間進(jìn)行了充分的交匯，在解決涉及到圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口。卷（非選擇題，本卷共10小題，共90分）二、填空題：（每小題5分，共5×4=20分）13若（為虛數(shù)單位），則 【答案】【

11、分析】求出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件即可?！窘馕觥浚鶕?jù)兩復(fù)數(shù)相等的充要條件，所以?！究键c(diǎn)】數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入?！军c(diǎn)評(píng)】?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部與虛部分別相等，這個(gè)充要條件是考試大綱中要求理解的一個(gè)問題，要求是比較高的。14是拋物線的一條焦點(diǎn)弦，若，則的中點(diǎn)到直線的距離為 【答案】。【分析】根據(jù)拋物線的定義，把焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離?！窘馕觥吭O(shè)，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義，所以，所以，即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，所以中點(diǎn)到直線的距離是。【考點(diǎn)】圓錐曲線與方程?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的定義在解決問題中的應(yīng)用。如果是過拋物線焦點(diǎn)的弦，則。15若是直角三角形的三邊的長(zhǎng)（為斜邊），

12、則圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為 【答案】。【分析】根據(jù)圓的弦長(zhǎng)、弦心距、半徑之間的關(guān)系可得弦長(zhǎng)的計(jì)算公式，再根據(jù)是直角三角形的三邊進(jìn)行化簡(jiǎn)?！窘馕觥繄A被直線所截得的弦長(zhǎng)，由于，所以?！究键c(diǎn)】圓與方程?！军c(diǎn)評(píng)】如果圓的半徑是，圓心到直線的距離是，在圓被直線所截得的弦長(zhǎng)，這個(gè)公式是根據(jù)平面幾何中直線與圓的位置關(guān)系和勾股定理得到的。在解決直線與圓的位置關(guān)系時(shí)要充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用。16設(shè)是公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)積為，并滿足條件，給出下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）使成立的最小自然數(shù)等于，其中正確的編號(hào)為 【答案】（1）、（3）、（4）?！痉治觥渴紫扰袛鄶?shù)列的單調(diào)性，然后再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)

13、進(jìn)行分析判斷。【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，如果等比數(shù)列的公比是負(fù)值，在其連續(xù)兩項(xiàng)的乘積是負(fù)值，根據(jù)，可知該等比數(shù)列的公比是正值，再根據(jù)可知，一個(gè)大于，一個(gè)小于，而，所以數(shù)列不會(huì)是單調(diào)遞增的，只能單調(diào)遞減，所以，而且，又，（1）（3）正確；，（2）不正確；，故（4）正確?！究键c(diǎn)】數(shù)列。【點(diǎn)評(píng)】本題設(shè)置開放性的結(jié)論，綜合考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及分析問題的能力，試題比較符合高考命題的趨勢(shì)。在等比數(shù)列中最主要的性質(zhì)之一就是。三、解答題（本大題有6道小題，其中17題10分，其余各題12分，共70分）17（10分）在中，已知內(nèi)角，設(shè)內(nèi)角，周長(zhǎng)為（1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值【分析】（1）根據(jù)

14、正弦定理求出，即可求出函數(shù)的解析式，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出函數(shù)的定義域；（2）變換函數(shù)的解析式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)解決?！窘馕觥浚?）由正弦定理知 （2分） （4分）， （6分）（2）即時(shí)， （10分）【考點(diǎn)】基本初等函數(shù)、解三角形?！军c(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了正弦定理、三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)，這也是高考中三角函數(shù)解答題的一個(gè)常規(guī)考查方式，值得注意的是雖然高考降低了對(duì)三角恒等變換的考查，但在解決三角函數(shù)性質(zhì)的試題中三角恒等變換往往是解題的工具，在復(fù)習(xí)三角函數(shù)時(shí)一定不要忽視了三角恒等變換。18（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系的點(diǎn)為極點(diǎn)，方向?yàn)?/p>

15、極軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求直線的傾斜角；（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求【分析】（1）根據(jù)直線參數(shù)方程中的意義或者把直線方程化為普通方程均可；（2）根據(jù)曲線的極坐標(biāo)方程可知曲線是圓，根據(jù)圓被直線所截得的弦長(zhǎng)公式極限計(jì)算?！窘馕觥浚?）直線參數(shù)方程可以化，根據(jù)直線參數(shù)方程的意義，這條經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線。 （6分）（2）的直角坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為，（9分）所以圓心到直線的距離，。 （12分）【考點(diǎn)】坐標(biāo)系與參數(shù)方程。【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查直線的參數(shù)方程、圓的極坐標(biāo)方程，這兩個(gè)方程是坐標(biāo)系與參數(shù)方程中的重點(diǎn)。經(jīng)過點(diǎn)、傾斜角為的直線的參數(shù)方程是其中為參數(shù)

16、，直線上的點(diǎn)處的參數(shù)的幾何意義是有限線段的數(shù)量。19（12分）橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，該橢圓經(jīng)過點(diǎn)且離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓相交兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】（1）根據(jù)橢圓的方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，使用待定系數(shù)法即可；（2）要證明直線系過定點(diǎn)，就要找到其中的參數(shù)之間的關(guān)系，把雙參數(shù)化為但參數(shù)問題解決，這只要根據(jù)直線與橢圓相交兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)即可，這個(gè)問題等價(jià)于橢圓的右頂點(diǎn)與的張角是直角?！窘馕觥浚?）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （4分）（2）設(shè)，得: ，, （6分）以為直徑

17、的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，且均滿足， （9分）當(dāng)時(shí)，的方程為，則直線過定點(diǎn)與已知矛盾當(dāng)時(shí)，的方程為，則直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 （12分）【考點(diǎn)】圓錐曲線與方程?！军c(diǎn)評(píng)】直線系過定點(diǎn)時(shí)，必需是直線系中的參數(shù)為但參數(shù)，對(duì)于含有雙參數(shù)的直線系，就要找到兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系把直線系方程化為單參數(shù)的方程，然后把當(dāng)作參數(shù)的系數(shù)把這個(gè)方程進(jìn)行整理，使這個(gè)方程關(guān)于參數(shù)無關(guān)的成立的條件就是一個(gè)關(guān)于的方程組，以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線系過的定點(diǎn)。20（12分）如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為等腰直角三角形，且，分別是的中點(diǎn)。（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的正切值。【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)尋找

18、平行線即可；（2）易證，在根據(jù)勾股定理的逆定理證明；（3）根據(jù)（2）的證明點(diǎn)就是點(diǎn)在平面的射影，只要過點(diǎn)作的垂線或者過點(diǎn)作的垂線，即可作出二面角的平面角?！窘馕觥浚?）取中點(diǎn)，連接平行四邊形，平面，平面，平面。 （4分）（2）等腰直角三角形中為斜邊的中點(diǎn)，又直三棱柱，面面，面，設(shè)又面。 （8分）（3）面，作于，連接，為所求，所求二面的正切值為。（12分）【考點(diǎn)】空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系。【點(diǎn)評(píng)】立體幾何中的中點(diǎn)與中點(diǎn)之間可以產(chǎn)生平行線，當(dāng)問題涉及到中點(diǎn)時(shí)可以通過再找其中的中點(diǎn)作出輔助線；垂直關(guān)系的證明，關(guān)鍵是線線垂直的證明，基本方法是通過線面垂直證明線線垂直、計(jì)算證明線線垂直；二面角的求解，綜合

19、幾何方法的關(guān)鍵是作出其平面角，一個(gè)重要而根本的方法就是“射影法”，這個(gè)方法是在二面角的一個(gè)半平面內(nèi)找一個(gè)特殊的點(diǎn)，作令一個(gè)半平面的垂線，垂足為，再過點(diǎn)作二面角棱的垂線。垂足為，連結(jié)，則就是所求二面角的平面角，并且這個(gè)角是一個(gè)直角三角形的內(nèi)角（如果二面角是鈍二面角，則可以用這個(gè)方法作出其平面角的補(bǔ)角）。21（12分）已知拋物線，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為。,（1）試求拋物線的方程；（2）設(shè)拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過的直線交于另一點(diǎn)，交軸于，過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)，若是的切線，求的最小值【分析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程確定值即可；（2）由于是拋物線上的點(diǎn)，可以使用點(diǎn)參數(shù)表示各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以設(shè)，求出過點(diǎn)的拋物線的切線方程，即可用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三點(diǎn)共線即可把用表達(dá)，最后根據(jù)即可建立之間的一個(gè)方程，從而是變量表示，通過函數(shù)的方法求出的取值范圍?！窘馕觥浚?）。 （3分）（2）設(shè)，則直線的方