2019全國(guó)碩士研究生考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析

1、tanx與xk是同階無(wú)窮小，則 kB.2.D.4.x 0,則x 0是f(x)的x 0,B.不可導(dǎo)點(diǎn)，極值點(diǎn).D.不可導(dǎo)點(diǎn)，非極值點(diǎn).A.na. y2 x .y1B.一 y2019全國(guó)碩士研究生考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析、選擇題，18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1 .當(dāng)X 0時(shí)，若xA.1.C.3.XX ,2 .設(shè)函數(shù)f(X) xln x,A.可導(dǎo)點(diǎn)，極值點(diǎn).C可導(dǎo)點(diǎn)，非極值點(diǎn).3 .設(shè)Un是單調(diào)增加的有界數(shù)列，則下列級(jí)數(shù)中收斂的是n 1B. ( 1).n 1 unun22C. 1.D. U n 1 unn 1u n 1n 1x4.設(shè)函數(shù)Q(

2、x, y),如果對(duì)上半平面(y 0)內(nèi)的任意有向光滑封閉曲線C都有y%P(x,y)dx Q(x,y)dy 0 ,那么函數(shù) P(x,y)可取為C第5頁(yè)共10頁(yè)1 cx5.設(shè)A是3階實(shí)對(duì)稱矩陣,D. x .yE是3階單位矩陣.若A2 A 2E ,且A 4 ,則二次型 xT Ax的規(guī)范形為222222a. yy2y3.b. y y2 y3._222222c. yy2y3.d. y y?%.6.如圖所示，有3張平面兩兩相交，交線相互平行，它們的方程aiix 色2yai3zdi(i 1,2,3)組成的線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別記為A.r(A) 2,r(A) 3.B.r(A) 2, r(A) 2.

3、C.r(A) 1,r(A) 2.D.r(A) 1,r(A) 1.7 .設(shè)A,B為隨機(jī)事件，則 P(A) P(B)的充分必要條件是A. P(A B) P(A) P(B).B.P(AB) P(A)P(B).C.P(AB) P(BA).D.P(AB) P(AB).8 .設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N( , 2),則P X Y 1A.與 無(wú)關(guān)，而與 微分方程2yy' y2 2 0滿足條件y(0)有關(guān).B.與有關(guān)，而與 2無(wú)關(guān).2 - 一 -C與，都有關(guān).二、填空題：914小題，每小題4分，共24分.9.設(shè)函數(shù) f(u)可導(dǎo)，z f (sin y sin x)W 1xy,貝 Uc

4、osxx cosy y10.1的特解y11.(1)n哥級(jí)數(shù)-一/-x在(0,)內(nèi)的和函數(shù)S(x)12 .設(shè) 為曲面x_ 22 一19.設(shè)是錐面x y 2(1 z) (0 z 1)與平面z 0圍成的錐體，求的形心y24z24(z 0)的上側(cè)，貝Uv4x24z2dxdy =.z13 .設(shè) (1,2, 3)為3階矩陣.若1,2線性無(wú)關(guān)，且 31 2 2,則線性方程組 X 0的通解為.X 0 X 2/、, 一山14 .設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 f(x) 2 X 2 F (x)為X的分布函數(shù)， 0,其他，X為X的數(shù)學(xué)期望，則P F (X) X 1.三、解答題：1523小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明

5、、證明過(guò)程或演算步驟15 .(本題滿分10分)2x設(shè)函數(shù)y(x)是微分萬(wàn)程y xy e 2滿足條件y(0) 0的特解.(1)求 y(x)；(2)求曲線y y(x)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).16 .(本題滿分10分)設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，函數(shù)z 2 ax2 by2在點(diǎn)(3,4)處的方向?qū)?shù)中，沿方向l 3i 4j 的方向?qū)?shù)最大，最大值為10.(1)求 a,b ;(2)求曲面z 2 ax2 by2 ( z 0)的面積.17 .求曲線y e xsin x(x 0)與x軸之間圖形的面積.18 .設(shè) anX 工x2 dx, n= (0, 1 , 2)n 1(1)證明數(shù)列 an單調(diào)減少，且 an an 2 (n=2,

6、 3)n 2(2)求lim.n an 1 .(1,1,1)T 在坐標(biāo).20.設(shè)向量組 1 (1,2,1) , 2 (1,3,2) , 3 (1,a,3) ,為R3的一個(gè)基, 這個(gè)基下的坐標(biāo)為(b，c，1)T.(1)求 a,b,c(2)證明 a2, a3,為R3的一個(gè)基，并求a2,a3,到a1，a2,a3的過(guò)度矩陣21.已知矩陣A21001 0相似00y(1)求 x, y(2)求可可逆矩陣P ,使得P 1APB.22 .設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立，X服從參數(shù)為 1的指數(shù)分布， Y的概率分布為PY 1 p,PY 11 p,(0 p 1),令 Z XY(1)求z的概率密度.(2) p為何值時(shí)，X與Z

7、不相關(guān).(3) X與Z是否相互獨(dú)立？23 .(本題滿分11分)設(shè)總體X的概率密度為_(kāi) (x U)2f(x, 2) e 2 2 x,0 x,其中 是已知參數(shù)， 0是未知參數(shù)，是常數(shù)，X1, X2，Xn來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.(1)求；(2)求2的最大似然估計(jì)量第#頁(yè)共10頁(yè)2019年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A第13頁(yè)共10頁(yè)9.ycosx cosy10. 3ex 211. cos . x3212. 313.k(1, 2,1)T, k為任意常數(shù).14.15.解：（1） y（x）0,因此y1 2 x 2xe 2y(x)lx2 e 2(1

8、xdxe ( e1x2xe 2 .2 1x2x e 21 22、2xx )xe 2x22e(1xdxdx2、x )ec)1x2 -x21 :x- x(x 3x)e 2x2T(xc)，又 y(0) 0,x(x23)ex(,百(V3,0)0(0,V3)%-3(V3,)y000y凸拐點(diǎn)凹拐點(diǎn)凸拐點(diǎn)凹0, .3令y0得x所以，曲線y）,凸區(qū)間為（，J3）和（0, J3）,y（x）的凹區(qū)間為（,：'3,0）和（J3,拐點(diǎn)為（0,0）(底,Me') , (73,屆萬(wàn)).16.解：（1）gradz (2ax,2by), gradz(3,4)(6a,8b),由題設(shè)可得,所以，a b6t T即a

9、 0又，攵1.6 6a 2 8b 2 10,(z)2x(_z)2dxdy = y,122 cx y 2(2x)2 (2y)2dxdy.1 4x2 4y2dxdyX2 y2 2=21 (1 121317.解由分部積分可知e-Teinxdsc = 一 /一工dcosar = c-Tcoex J e_1 cosxdx-f J ：'(js.r - /( J <i ?ii. .r - -t J r Cis.r - < ' sm1+ f ' mh .r.于是4-由n±) -I-因此hin r4-121+ 2,(筱+曲 ,士 一反+1行 2ir-O1= E(k(

10、2fe+1)ff5=廣L Jui2ir-|-l)irfill .rdf r x si» xd£7T_ y*( _1產(chǎn)-皿十乃西_'s，22AR、=£卜-知口司T-上 IT 1218.(1)利用/T > X71可知工”二# > /TV 1 -因此.】 > /“故 也導(dǎo)單調(diào)減少.利用分音:竹匕可知<1 n 匕吁/1 X1 +n + 1»1 n. - 1 短丁"不丁 2,于是?i 4- 2n 171 1必;一一；= ci” = 一一 -dr,_2n + 1n + 1/i + 2(2)由于=鼾梟沏遞推可得(2*- 1):

11、一封1"& =否T 2)0樸二 4 劭乂如hi = 懸“溫-1,遞推可得(2A-)(2A-2) -2K 二.JR 以t 1)5"由于須一£； /1 -H?d?.* = e/1:/Yr ，閑此飽+1彳儂+ 2)(2肩吸門 22上+ 2(2好甲 - _ 3 累2卜4 3)(2卜 4 1”(/1)!町一開(kāi)(2AT3)(就十 I)(累 - 1)!a由WiJliy公式可知1期)!771-X弘+1 (歌1)叩 2:, 仃 f 因此Hmjx $ = 1.類似地有Hmjg肅1=I從而19.由對(duì)稱性，X 0, y 2,1zdv 0 zdz dxdyDzdv 0dz dxdy

12、Dz1122 .0z (1 z) dz 0 z(1 z) dz=11、2.120 (1 z) dz 0(1 z) dz1220. (1) =b 1 c 2a 3解得b 2 .c 21 1 1(2 )2，3，=3311 11011 ,所以 r 2,3,2,3, 可為R3的一個(gè)基.1,2,3 =2,3, P11，2，321. (1) A與 B相似，則 tr(A) tr(B) , Ax 4 y 1/口B ,即，解得4x 8 2y1 =2 ,1=2 ；2=1,013= 24所以存在P1 =1, 2,3 ,使得 Pi 1AP1B的特征值與對(duì)應(yīng)的特征向量分別為1=2，1 = 003-2,3-所以存在P2 =使得P21AP2所以P21AB=Pi加P2arp21AP其中前222.解:從而當(dāng)zZ的分布函數(shù)0時(shí)，F(xiàn)則Z的概率密度為PPzpezpeXYXYz,YXYz,Y(II)由條件可得E XZ0時(shí),1,E2p ,從而當(dāng)(III2,Z2，xy2,Z,zzX2E2X,Z2PCovX,Z2P即X ,