平面向量的概念及線性運(yùn)算37883講解學(xué)習(xí)

1、精品文檔第五章平面向量§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)要點(diǎn)植理i.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的（或稱）平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為的向量；其方向是任意的記作單位向量長(zhǎng)度等于的向量非零向量a的單位向量為記 響平行向量方向或的非零向量0與任一向量或共線共線向量的非零向量又叫做共線向量相等向量長(zhǎng)度且方向的向量?jī)上蛄恐缓笙嗟然?、等，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度且方向的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算a法則（1）交換律：a+ b=.（2）結(jié)合律：（a+b）+c=.口法網(wǎng)減法求a與

2、b的相反向 量一b的和的運(yùn)算 叫做a與b的差法則a b= a+ ( b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)入與向量a的積的運(yùn)算(1)|同=;(2)當(dāng)Q0時(shí)，后的方向與a的方向;當(dāng)K0時(shí)，用的方向與a的方向;當(dāng)入=0時(shí)，后=乂=；(計(jì)翻=；Xa+ b) =3.共線向量定理向量a(aw 0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)N使得難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 .向量的兩要素向量具有大小和方向兩個(gè)要素 .用有向線段表示向量時(shí)，與有向線段起點(diǎn)的位置沒(méi)有關(guān)系.同向且等長(zhǎng)的有向線段都表示同一向量.或者說(shuō)長(zhǎng)度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而沒(méi)有誰(shuí)大誰(shuí)小之說(shuō)，即向量不能比較大小2 .向量平行與直線平行的區(qū)別向量平行包括向

3、量共線和重合的情況，而直線平行不包括共線的情況.因而要利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說(shuō)明這兩條直線不重合基礎(chǔ)自測(cè)1 .化簡(jiǎn)oPQP + MiSmiQ的結(jié)果為.2 .在平行四邊形 ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且AB= a, AD= b，則晶=3 .下列命題：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量是共線向量；相等向量一定共線.其中不正確命題的序號(hào)是 .4 .已知D為三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA+BP + CP = 0, AP= FD,則實(shí)數(shù) 入的值為.5 .已知O是4ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且2OA+麗+OC = 0,那么()D.2a

4、O= ODA.A O= O DB.A O = 2O DC.AO=3OD題型分類深度剖析題型一 平面向量的概念辨析【仞1口給出下列命題：若ai=|b|,則a=b;若A, B, C, D是不共線的四點(diǎn)，則AB= DC是四邊形ABCD 為平行四邊形的充要條件；若 a=b, b=c,則a=c;a=b的充要條件是|a|= |b| 且 a / b.其中正確命題的序號(hào)是 .探究提高(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(3)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混

5、為一談.(5)非零向量a與1的關(guān)系是：篙是a方向上的單位向量. |a|a|變式訓(xùn)續(xù)1判斷下列命題是否正確，不正確的請(qǐng)說(shuō)明理由 (1)若向量a與b同向,且|a|>|b|,則a>b;(2)若|a|=|b|,則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；(3)若|a|=|b|,且a與b方向相同，則 a=b;(4)由于零向量的方向不確定，故零向量不與任意向量平行；(5)若向量a與向量b平行，則向量a與b的方向相同或相反；(6)若向量AB與向量CD是共線向量，則 A, B, C, D四點(diǎn)在一條直線上;(7)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；(8)任一向量與它的相反向量不相等.題型二向量

6、的線性運(yùn)算陟2 在 ABC中，D、E分別為BC、AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且 GB = 2GE,設(shè)AB=a, AC=b,試用 a, b 表示AD, AG.探究提高 (1)解題的關(guān)鍵在于搞清構(gòu)成三角形的三個(gè)問(wèn)題間的相互關(guān)系，能熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化(2)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；運(yùn)用法則找關(guān)系；化簡(jiǎn)結(jié)果變式訓(xùn)縹2 在 ABC中，E、F分別為AC、AB的 中點(diǎn)，BE與CF相交于G點(diǎn)，設(shè)AB=a, AC=b,試用a, b表示AG.題型三平面向量的共線問(wèn)題仞3設(shè)兩個(gè)非零向量 a與b不共線,(1)

7、若AB=a+b, BO = 2a+8b, CD = 3(ab),求證：A、B、D 三點(diǎn)共線;(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+ b和a+ kb共線.探究提高(1)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)X,論,使為a+就=0成立，若 為a+ 22b=0,當(dāng)且僅當(dāng) 用=輪=0時(shí)成立，則向量 a、b不共線.變式訓(xùn)縹3如圖所示， ABC中，在AC上取一點(diǎn)N,使得AN = 1AC,在 AB上取一點(diǎn) M ,使得 AM = ；AB, 331在BN的延長(zhǎng)線上取點(diǎn) P,使得NP=BN,在CM的延長(zhǎng)

8、線上取點(diǎn)Q,使得MQ= X5M時(shí)，AP=QA,試確定 入的值.思想與方法11.用方程思想解決平面向量精品文檔的線性運(yùn)算問(wèn)題試題：(14分)如圖所示，在 ABO中，OC = 4(OA, Od = 2(Ob, AD 與 BC 相交于點(diǎn) M,設(shè)OA=a, OB= b.試用a和b表不向量 OM.審題視角(1)用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去.(2)既然OM能用a、b表示，那我們不妨設(shè)出 OM = ma+nb.(3)利用共線定理建立方程，用方程的思想求解.規(guī)范解答解設(shè)OM =ma + nb,一，f f f則 AM = OM OA=ma+ nb a

9、 = (m 1)a + nb.廣 1fz1AD=OD OA = OB OA= a +2b.3分又A、M、D三點(diǎn)共線，:.AM與AD共線.，存在實(shí)數(shù)t,使得AM = tAD,rr1即(m1)a+nb=t a+2b .1. . (m 1)a+ nb= ta+ 2tb.5分m 1 = t,消去 t 得，m 1 = - 2n,即 m+ 2n= 1.又CM = OM OC=ma+nb1a= m ：a+nb,44CB=OB-oC = b-1a=-1a+b.44又,.(、M、B三點(diǎn)共線，.-.CM與CB共線.7分10 分存在實(shí)數(shù)t1,使得CM = t1CB ,ma a+nb=t一二a+b44',消去

10、t1得，4m+n=1.n= t1，一，r13 一 13由得 m= 7，n = 7，OM=7a +7b.12 分14 分批閱筆記(1)本題考查了向量的線性運(yùn)算，知識(shí)要點(diǎn)清楚，但解題過(guò)程復(fù)雜，有一定的難度.(2)學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)是，找不到問(wèn)題的切入口，亦即想不到利用待定系數(shù)法求解.(3)數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運(yùn)算的核心，向量是一個(gè)幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關(guān)問(wèn)題時(shí)，多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧.如本題學(xué)生易忽視 A、M、D共線和B、M、C共線這個(gè)幾 何特征.(4)方程思想是解決本題的關(guān)鍵，要注意體會(huì) .思想方法感悟提高方法與技巧1 .將向量

11、用其它向量（特別是基向量）線性表示，是十分重要的技能，也是向量坐標(biāo)形式 的基礎(chǔ).2 .可以運(yùn)用向量共線證明線段平行或三點(diǎn)共線問(wèn)題.如aB / CD且AB與CD不共線，則AB / CD ;若 aB / BC,則 A、B、C 三點(diǎn)共線.失誤與防范1 .解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.2 .在利用向量減法時(shí)， 易弄錯(cuò)兩向量的順序， 從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤.§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算（時(shí)間：60分鐘）A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練題組一、選擇題1 .給出下列命題：兩個(gè)具有公共終點(diǎn)

12、的向量，一定是共線向量；兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。缓?0 （入為實(shí)數(shù)），則入必為零；力核為實(shí)數(shù)，若用=2，則a與b共線.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.42 .設(shè)P是 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，bC+BA=2BP,則（）A.PA+ PB = 0B.PC+ PA = 0C.PB+fPo = 0一. .D.PA+ PB + PC= 03.已知向量a, b不共線，c= ka+ b （kC R）, d=ab.如果c/ d,那么（）A.k= 1且c與d同向B.k= 1且c與d反向C.k= 1且c與d同向D.k= 1且c與d反向二、填空題4 .設(shè) a、b 是兩個(gè)不共線向量，A

13、B=2a+pb, Bo=a+ b, CD = a2b,若 A、B、D 三 點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為.5 .在平行四邊形 ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若AC=以E+ 將，其 中 X, 慶R,貝U 計(jì)尸.1f6 .如圖，在 ABC中，A N=N C, P是BN上的一點(diǎn)，若AP=mAB+：2AC,則實(shí)數(shù)m的值為./戾三、解答題ZZ 7 .如圖，以向量oA = a,麗=b為邊作？OADB,bM = 1bc, cN=1cd,用a、 b表示OM、ON、MN.8 .若a, b是兩個(gè)不共線的非零向量，a與b起點(diǎn)相同，則當(dāng)t為何值時(shí)，a, tb, 3（a +b）三向量的終點(diǎn)在同一條直線上？B組專項(xiàng)

14、能力提升題組一、選擇題1 .已知P是 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若cB=啟A+PB,其中 遷R,則點(diǎn)P一定在（）A.AABC的內(nèi)部B.AC邊所在直線上C.AB邊所在直線上D.BC邊所在直線上2 .已知 ABC和點(diǎn)M滿足MA + MB + MC = 0,若存在實(shí)數(shù) m使得AB+AC= mAM成立， 則m等于（）A.2B.3C.4D.53 .O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP=OA+入 AB ACAB+-C , 遷0, +8）,則P的軌跡一定通過(guò) ABC的（）|AB| |AC|A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心二、填空題4.已知向量 a, b是兩個(gè)非零向量，則在下列四

15、個(gè)條件中，能使a、b共線的條件是（將正確的序號(hào)填在橫線上）.2a 3b=4e,且 a+2b=3e;存在相異實(shí)數(shù)卜的使入a+科b=0;x a+y b= 0（實(shí)數(shù) x, y 滿足 x+ y=0）;若四邊形ABCD是梯形，則AB與CD共線.5 .如圖所示，在 ABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn).？過(guò)點(diǎn)。的直線分別交直線 AB、AC于不同的： :兩點(diǎn) m、n,若 AB = mAM, AC=nAN,則sr7ocm+ n的值為.M "6 .在 ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若晶=2品，CD=mcA+ XCB,則 Q.37 .已知直線x+y=a與圓x2+y2 = 4交于A、B兩點(diǎn)，且|OA+OB|= |

16、OAOB|,其中O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的值為.三、解答題8 .已知點(diǎn)G是 ABO的重心，M是AB邊的中點(diǎn).(1)求 GA+GB+ GO;(2)若 PQ 過(guò) ABO 的重心 G,且OA=a, OB=b, OP= ma, OQ= nb,求證：+ =3.答案要點(diǎn)梳理1 .大小方向長(zhǎng)度模零 0 1個(gè)單位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2 .三角形平行四邊形 (1)b+a(2)a+(b+c)三角形(1)|瓶| (2)相同相反 0入a?a+ ?b3 .b= ?a基礎(chǔ)自測(cè)上 1i1.OS 2.b2a3.4.-2 5.A題型分類深度剖析陟11變式訓(xùn)練1解(1)不正確，因?yàn)橄蛄恐挥懻撓嗟群筒坏?，?/p>

17、不能比較大小.(2)不正確，因?yàn)橄蛄磕Ｏ嗟扰c向量的方向無(wú)關(guān).(3)正確.(4)不正確，因?yàn)橐?guī)定零向量與任意向量平行.(5)不正確，因?yàn)閮烧咧腥粲辛阆蛄?，零向量的方向是任意?(6)不正確，因?yàn)锳B與CD共線，而AB與CD可以不共線即 AB/ CD.正確.(8)不正確，因?yàn)榱阆蛄靠梢耘c它的相反向量相等Ab+1(Ba+ bC)=：ab+；(aC Ab)陟2】解 >AD = 1(>AB + >AC) = 2a + 2b;一 一 飛 一 2 一AG = AB + BG = AB + -BE =3= 1AB + 1>AC = 1a+1b.3333= AB+ ?B! = AB +

18、2(BA+BC)入 入變式訓(xùn)練2解 AG=AB+ BG=1 2 AB + 2(ACAB)一入 ，、1=(1 ?)AB+ 2AC = (1 4a+ 2b.又 AG= AC + CG = AC+ mCF-1 m 土= ac+2(ca+cb)，m入2.入1 m= 2= (1 m)AC +2AB=qa + (1 -m)b,2,斛得入=m=-, 3A G= , + 上.【仞3(1)證明 . >AB=a+b, Bo=2a+8b, (CD = 3(a-b),L . BD=BC + CD = 2a+8b+ 3(a-b)= 2a + 8b+ 3a-3b=5(a + b) = 5AB. .AB、 bD共線，

19、又二它們有公共點(diǎn)B, A、B、D三點(diǎn)共線.(2)解ka + b 與 a + kb 共線,，存在實(shí)數(shù)人使ka+b= Xa+kb),即 ka+ b= ?a+ 入 b.，（k »a = （入 b1）b.a、b是不共線的兩個(gè)非零向量，1' k甘入 b 1 = 0,k2 1 = 0. k= H.、,一1變式訓(xùn)練3 2課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練1.C 2.B 3.D 4.-16.3117.解f 丁 一BA=OA-OB=a-b,BM = 1BA = 1a-1b, 666'-> -> 15-0M = 0B+ BM=-a+ -b.XOD = a+b, 66111 . ON = OC + -CD = -OD + -OD 3262-2= §OD =