數(shù)學概念的定義形式

1、.數(shù)學概念的定義方式一給概念下定義的意義和定義的結(jié)構(gòu)前面提到過， 概念是反映客觀事物思想，是客觀事物在人的頭腦中的抽象概括，是看不見摸不著的， 要用詞語表達出來，這就是給概念下定義。而明確概念就是要明確概念的內(nèi)涵和外延。 所以，概念定義就是揭示概念的內(nèi)涵或外延的邏輯方法。揭示概念內(nèi)涵的定義叫內(nèi)涵定義，揭示概念外延的定義叫做外延定義。在中學里，大多數(shù)概念的定義是內(nèi)涵定義。任何定義都由被定義項、定義項和定義聯(lián)項三部分組成。被定義項是需要明確的概念，定義項是用來明確被定義項的概念，定義聯(lián)項則是用來聯(lián)接被定義項和定義項的。例如， 在定義“三邊相等的三角形叫做等邊三角形”中，“等邊三角形”是被定義項，“

2、三邊相等的三角形”是定義項， “叫做”是定義聯(lián)項。二、常見定義方法。1、原始概念。數(shù)學定義要求簡明，不能含糊不清。如果定義含糊不清，也就不能明確概念，失去了定義的作用。 例如，“點是沒有部分的那種東西”就是含糊不清的定義。按這個要求，給某概念下定義時，定義項選用的必須是在此之前已明確定義過的概念，否則概念就會模糊不清。 這樣順次上溯， 終必出現(xiàn)不能用前面已被定義過的概念來下定義的概念，這樣的概念稱為原始概念。在中學數(shù)學中，對原始概念的解釋并非是下定義，這是要明確的。比如：代數(shù)中的集合、元素、對應(yīng)等，幾何中的點、線、面等2、屬加種差定義法。這種定義法是中學數(shù)學中最常用的定義方法，該法即按公式：

3、“鄰近的屬 +種差 =被定義概念”下定義，其中，種差是指被定義概念與同一屬概念之下其他種概念之間的差別， 即被定義概念具有而它的屬概念的其他種概念不具有的屬性。例如，平行四邊形的概念鄰近的屬是四邊形， 平行四邊形區(qū)別于四邊形的其他種概念的屬性即種差是 “一組對邊平行并且相等” ，這樣即可給平行四邊形下定義為“一組對邊平行并且相等的四邊形叫做平行四邊形” 。利用鄰近的屬加種差定義方法給概念下定義， 一般情況下， 應(yīng)找出被定義概念最鄰近的屬，這樣可使種差簡單一些。像下列兩個定義：等邊的矩形叫做正方形；等邊且等角的四邊形叫做正方形。前者的種差要比后者的種差簡單。鄰近的屬加種差的定義方法有兩種特殊形式

4、：（ 1）發(fā)生式定義方法。它是以被定義概念所反映的對象產(chǎn)生或形成的過程作為種差來下定義的。例如， “在平面內(nèi)，一個動點與一個定點等距離運動所成的軌跡叫做圓”即是發(fā)生式定義。在其中，種差是描述圓的發(fā)生過程。（ 2）關(guān)系定義法。它是以被定義概念所反映的對象與另一對象之間關(guān)系或它與另一對象對第三者的關(guān)系作為種差的一種定義方式。例如，若ab=N，則 logaN=b(a 0， a 1)。即是一個關(guān)系定義概念。3、揭示外延的定義方法。數(shù)學中有些概念，不易揭示其內(nèi)涵，可直接指出概念的外延作為它的概念的定義。常見的有以下種類：（ 1）逆式定義法。這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法例如，整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱

5、為有理數(shù)；正弦、余弦、正切和余切函數(shù)叫做三角函數(shù)；橢圓、雙曲線和拋物線叫做圓錐曲線；邏輯的和、非、積運算叫做邏輯運算等等，都是這種定義法（ 2）約定式定義法。揭示外延的定義方法還有一種特殊形式，即外延的揭示采用約定的方法，因而也稱約定式定義方法。例如， a0=1(a0) ，0！ =1，就是用約定式方法定義的概念。三、概念的引入（ 1）原始概念1 / 5.一般采用描述法和抽象化法或用直觀說明或指明對象的方法來明確?！搬樇獯棠景?”的痕跡引入 “點 ”、用 “拉緊的繩 ”或 “小孔中射入的光線 ”來引入 “直線 ”的方法是直觀說明法， “1， 2， 3， ··叫做自然數(shù) ”是指

6、明對象法。（2）對于用概念的形成來學習的概念一般可通過閱讀實例，啟發(fā)學生抽象出本質(zhì)屬性，師生共同進行討論，最后再準確定義。（ 3）對于用概念的同化來學習的概念（ a）用屬加種差定義的概念新概念是已知概念的特例，新概念可以從認知結(jié)構(gòu)中原有的具有較高概括性的概念中繁衍出來。（b）由概念的推廣引入的概念講清三點：推廣的目的和意義；推廣的合理性；推廣后更加廣泛的含義。（c）采用對比方法引入新概念當新概念與認知結(jié)構(gòu)中已有概念不能產(chǎn)生從屬關(guān)系，但與已有的舊概念有相似之處時可采用此法。關(guān)鍵是弄清不同之處，防止概念的負遷移。（d）根據(jù)逆反關(guān)系引入新概念多項式的乘法引入多項式的因式分解、由乘方引入開方、由指數(shù)引

7、入對數(shù)等。關(guān)鍵是弄清逆反關(guān)系。(4) 發(fā)生式定義通過閱讀實例或引導學生思考， 進行討論， 自然得出構(gòu)造過程， 即揭示出定義的合理性。四、概念的形成的方式概念形成就是讓學生閱讀大量同類事物的不同例證中獨立發(fā)現(xiàn)同類事物的本質(zhì)屬性，從而形成概念。 因此，數(shù)學概念的形成實質(zhì)上是抽象出數(shù)學對象的共同本質(zhì)特征的過程。 可概括如下：（ 1）通過閱讀比較，辨別各種刺激模式，在知覺水平上進行分析、辨認，根據(jù)事物的外部特征進行概括。（ 2）分化出各種刺激模式的屬性。（ 3）抽象出各個刺激模式的共同屬性。（ 4）在特定的情境中檢驗假設(shè)，確認關(guān)鍵屬性。（ 5）概括，形成概念。（ 6）把新概念的共同關(guān)鍵屬性推廣到同類事

8、物中去。（ 7）用習慣的形式符號表示新概念。數(shù)學概念的定義什么叫給概念下定義，就是用已知的概念來認識未知的概念，使未知的概念轉(zhuǎn)化為已知的概念，叫做給概念下定義 概念的定義都是由已下定義的概念 ( 已知概念 ) 與被下定義的概念 ( 未知概念 ) 這兩部分組成的 例如， 有理數(shù)與無理數(shù) ( 下定義的概念 ) ，統(tǒng)稱為實數(shù) ( 被下定義的概念 ) ；平行四邊形 ( 被下定義的概念 ) 是兩組對邊分別平行的四邊形 ( 下定義的概念 ) 其定義方法有下列幾種1、直覺定義法直覺定義亦稱原始定義，憑直覺產(chǎn)生的原始概念，這些概念不能用其它概念來解釋，原始概念的意義只能借助于其它術(shù)語和它們各自的特征給予形象的

9、描述 如幾何中的點、 直線、 平面、集合的元素、對應(yīng)等原始概念是人們在長期的實踐活動中，對一類事物概括、抽象的結(jié)果，是原創(chuàng)性抽象思維活動的產(chǎn)物直覺定義為數(shù)不多2、“種 +類差”定義法2 / 5.種+類差”定義法：被定義的概念 =最鄰近的種概念 ( 種)+ 類差。這是下定義常用的內(nèi)涵法。“最鄰近的種概念” , 就是被定義概念的最鄰近的種概念 , “類差”就是被定義概念在它的最鄰近的種概念里區(qū)別于其它類概念的那些本質(zhì)屬性。例如 , 以“平行四邊形”為最鄰近的種概念的類概念有“矩形”、 “菱形” , “菱形”的“鄰邊相等”是區(qū)別于“矩形”的本質(zhì)屬性 , “鄰邊相等”就是“菱形”的類差。我們先看幾個用

10、“種 +類差”定義的例子 :等腰梯形是兩腰相等的梯形直角梯形是有一個底角是直角的梯形等腰三角形是兩邊相等或兩角相等的三角形邏輯上還可以通過總結(jié)外延給出定義例如：“有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)”等由上述幾例可看出 , 用“種加類差”的方式給概念下定義, 首先要找出被定義概念的最鄰近的種概念 , 然后把被定義概念所反映的對象同種概念中的其它類概念所反映的對象進行比較,找出“類差” , 最后把類差加最鄰近的種概念組成下定義概念而給出定義。種加類差定義法在形式邏輯中也稱為實質(zhì)定義, 屬于演繹型定義 , 其順序是從一般到特殊。這種定義, 既揭示了概念所反映對象的特殊性, 又指出了一般性 , 是行之有效的定義

11、方法。 由于概念本身的類別特點及類差性質(zhì)的不同 , 在敘述形式上也有差異。這種定義方法， 能用已知的種概念的內(nèi)涵來揭示被定義概念的內(nèi)涵。揭示了概念的內(nèi)涵，既準確又明了，有助于建立概念之間的聯(lián)系，使知識系統(tǒng)化，因此，在中學數(shù)學概念的定義中應(yīng)用較多3、發(fā)生式定義法發(fā)生定義法 ( 也稱構(gòu)造性定義法): 通過被定義概念所反映對象發(fā)生過程，或形成的特征的描述來揭示被定義概念的本質(zhì)屬性的定義方法稱發(fā)生定義法。這種定義法是“種+類差”定義的一種特殊形式。定義中的類差是描述被定義概念的發(fā)生過程或形成的特征, 而不是揭示被定義概念的特有的本質(zhì)屬性。例如，平面 ( 空間 ) 上與定點等距離的點的軌跡叫做圓( 球

12、) 此外，中學數(shù)學中對圓柱、 圓錐、圓臺、微分、積分、坐標系等概念也都是采用的發(fā)生式定義法又如：平面內(nèi)與兩個定點的距離的和等于定長的點的軌跡叫做橢圓圍繞一中心點或軸轉(zhuǎn)動，同時又逐漸遠離的動點軌跡稱為螺線一直桿與圓相切作無滑動的滾動，此直桿上一定點的軌跡稱為圓的漸開線設(shè) 是試驗 E 中的一個事件， 若將 E 重復進行 n 次，其中 A 發(fā)生了 次，則稱為 n 次試驗中事件 A 發(fā)生的頻率在一定條件下，當試驗次數(shù)越來越多時，事件A 出現(xiàn)的頻率逐步穩(wěn)定于某一固定的常數(shù)P，稱 P 為事件 A 出現(xiàn)的概率由此可知，只要有人類的數(shù)學活動，就有概念的發(fā)生式定義4、逆式定義法這是一種給出概念外延的定義法， 又

13、叫歸納定義法 例如，整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)； 正弦、余弦、正切和余切函數(shù)叫做三角函數(shù)； 橢圓、 雙曲線和拋物線叫做圓錐曲線； 邏輯的和、 非、積運算叫做邏輯運算等等，都是這種定義法5、約定性定義法由于實踐需要或數(shù)學自身發(fā)展的需要而被指定的數(shù)學概念在實踐活動中，人們發(fā)現(xiàn)一些概念非常重要，便指明這些概念，以便數(shù)學活動中使用比如一些特定的數(shù)：圓周率、 自然對數(shù)的底e 等；某些重要的值： 平均數(shù)、 頻數(shù)、方差等； 某類數(shù)學活動的概括：比如代數(shù)指研究有限多元素有限次運算的數(shù)學活動；幾何指研究空間及物體在空間結(jié)構(gòu)中結(jié)3 / 5.構(gòu)與形式的數(shù)學活動； 隨機事件指在社會和自然界中，相同條件下， 可能發(fā)生也可能

14、不發(fā)生，但在大量重復試驗中其出現(xiàn)的頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定性的事情；概率指隨機事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)學度量；等等同時， 數(shù)學概念有時是數(shù)學發(fā)展所需要約定的如零次冪的約定， 模為零的向量規(guī)定為零向量，模為 1 的向量規(guī)定為單位向量又如矢量積的方向由右手法則規(guī)定數(shù)學教學中應(yīng)向?qū)W生灌輸這樣一種觀念，即數(shù)學概念是可以約定的( 其更深刻的含義是數(shù)學可以創(chuàng)造 ) 約定是簡約思想的結(jié)果， 它使得數(shù)學因為有了這樣的約定而運算簡便約定不是惟一的， 但應(yīng)具有合理性或符合客觀事物的規(guī)律如規(guī)定矢量積的方向按左手法則也不是不可以的約定不是隨意針對的， 一般只約定那些有重要作用的概念，如約定當 n 趨于無限大時的極限為自然對數(shù)的底

15、 e，因為這個數(shù)對計算十分重要6、刻畫性定義刻畫性定義法亦稱描述性定義法，數(shù)學中那些體現(xiàn)運動、 變化、關(guān)系的概念經(jīng)嚴格地給予表述( 逾越直覺描述階段) ，這些概念即屬于刻畫性定義比如等式函數(shù)、數(shù)列極限、 函數(shù)極限等概念函數(shù)概念：設(shè) D 是實數(shù)集的子集，如果對D 內(nèi)每一個，通過給定的法則，有惟一一個實數(shù)y 與此 對應(yīng)，稱是定義在D上的一元實值函數(shù)，記為概念中刻畫了變量 y 與變量的關(guān)系數(shù)列極限概念：對于數(shù)列 和一個數(shù) ，如果對任意給定的正數(shù)，都存在一個自然數(shù)，對一切自然數(shù) n， ，成立 ，稱數(shù) n 是數(shù)列 當 n 趨于無限大時的極限，記為概念中刻畫了 與 “要多么接近就可以多么接近( 只要 )

16、”的程度，使“無限接近”的直覺說法上升到嚴格水平函數(shù)極限概念：對于在附近有定義的函數(shù)和一個數(shù)A，如果對任意給定的正數(shù)，都存在一個正數(shù)，對定義域中的x 只要 ，成立 ，稱數(shù) 是 當 趨近于 時的極限，記為，概念中刻畫了 與 A“要多接近就可以有多接近（只要）”的程度，是嚴格的數(shù)學概念。7、過程性定義有些復雜的數(shù)學概念是由在實踐基礎(chǔ)上的數(shù)學活動造就的，這樣的概念由過程來引導例如：導數(shù)：設(shè) y=f(x)在點 (x 0,f(x 0) 附近有定義當自變量x 取得改變量 x ( x0) ，函數(shù)取得相應(yīng)改變量y=y-y0，比值，當x0 時y 的極限存在，這個極限值就稱作的x導數(shù)，記作 f ( x) . 導數(shù)

17、概念通過“作改變量作商求極限”的過程獲得定積分：設(shè)有界函數(shù)定義在 上在 中插入分點： 取 ，作和 令當 時，和 的極限存在，這個極限值稱作在 上的定積分定積分概念通過“分割 ( 插入了分點 ) 一作和一求極限”的過程獲得此外，數(shù)學中的概念還有其他給出方式如n維向量空間的定義：“n為有序?qū)崝?shù)組 ( ) 的全體，并賦予加法與數(shù)乘的運算( )+”它是二維向量空間 的類比推廣再如“群”和“距離空間”的概念，則是用一組公理來定義的公理法定義的方式多用于高等數(shù)學，中學中涉及得很少此外， 中學數(shù)學中還有遞推式定義法 ( 如 " 階行列式、 n 階導數(shù)、 n 重積分的定義 ) ，借助另一對象來進行定義 ( 如借助指數(shù)概念定義對數(shù)概念 ) 等等上述分類是大致的， 學習概念的定義， 并不在于區(qū)分它究竟屬于那種定義方式， 而在于理解概念的內(nèi)涵，把握概念的外延，應(yīng)用它們?nèi)W習數(shù)學知識和解決有關(guān)問題。為了正確地給概念下定義，定義要符合下列基本要求：(1) 定義應(yīng)當相稱即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴大也不4 / 5.能縮小即應(yīng)當恰如其分，既不寬也不窄例如，無限不循環(huán)小數(shù)，叫做無理數(shù)而以無限小數(shù)來定義無理數(shù)(