二階線性微分方程的解法

1、二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)線形微分方程的概念形如y py qy f(x) (1)的方程稱為二階常系數(shù)線性微分方 程淇中p、q均為實數(shù)廳(x)為已知的連續(xù)函數(shù).如果f(x) 0,則方程式(1)變成ypy qyO我們把方程(2)叫做二階常系數(shù)齊次線性方程，把方程式 (1)叫做二階常系數(shù)非齊次線性方程.本節(jié)我們將討論其解法.二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程1 .解的疊加性-xyi與y2是式(2)的兩個解，則y CiyiC2y2也是式(2)的解，其中C1,C2是任意常數(shù).證明因為yi與y2是方程(2)的解,所以有yi pyi qyi 0 y2 pyz qy2 0y Ciyi C2y2代入方程(

2、2)的左邊，得(Ciyi C2y2) p(Ciyi C2y2) qCiyi C2y2) =Ci(yi pyi qyi) C2(y2py2 qy2)0所以y CiyiC2y2是方程(2)的解.定理1說明齊次線性方程的解具有疊加性.疊加起來的解從形式看含有Ci,C2兩個任意常數(shù)，但它不一定是方程式 (2)的通解.2,線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念及yi，y2，yn，為定義在區(qū)間I內(nèi)的n個函數(shù)，若存在不全為零的常數(shù)knynO,則稱這nki,k2, ,kn,使得當(dāng)在該區(qū)間內(nèi)有kiyik2 y2個函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān).例如1, cos2x,sin2x在實數(shù)范圍內(nèi)是線性相關(guān)的，因為1 cos2

3、 x sin 2 x 0又如x2在任何區(qū)間（a內(nèi)是線性無關(guān)的，因為在該區(qū)間內(nèi)要ki k2X ksx2 0必須 ki k2 ks 0.對兩個函數(shù)的情形港門常數(shù),則yi,y2線性相關(guān)，若網(wǎng)常數(shù),則y2yiV線性無關(guān).3 ,二階常系數(shù)齊次微分方程的解法定理2如果yi與y2是方程式（2）的兩個線性無關(guān)的特解，則yCiyiC2y2（Ci（2為任意常數(shù)）是方程式（2）的通解.例如，y y 0是二階齊次線性方程,yi sin x,y2 cosx是它的兩個解，且如tanx常數(shù)，即yi多線性無關(guān)，所以丫2y Ciyi C2y2 Cisin x C2cosx（Ci,C2是任意常數(shù)）是方程yyO的通解.由于指數(shù)函數(shù)

4、ye，（r為常數(shù)）和它的各階導(dǎo)數(shù)都只差一個常數(shù)因根據(jù)指數(shù)函數(shù)的這個特點,我們用y 來試著看能否選取適當(dāng)?shù)某?shù)使y ex滿足方程（2）.將yex求導(dǎo)，得rx 2rxy re, y r e把y,y,y代入方程（2）得（r2 prq）erXO因為erx 0,所以只有r 2 pr q 0c .只要r滿足方程式（3）, y ex就是方程式（2）的解.我們把方程式（3）叫做方程式（2）的特征方程，特征方程是一個代數(shù)方程其中r 2j的系數(shù)及常數(shù)項恰好依次是方程（2） y ,y,y的系數(shù).p p2 4q特征方程（3）的兩個根為n,22因此方程式（2）的通解有下列三種不同的情形門）當(dāng)。時，門J2是兩個不相等的實

5、根p p2 4q p p2 4qrl2，22yi e5y2 * x是方程（2）的兩個特解，并且網(wǎng)egx常數(shù)，即V?yi與y2線性無關(guān),根據(jù)定理2,得方程（2）的通解為y Cie c2ex2（2）當(dāng)p2 4q 0時J1J2是兩個相等的實根.nr2p,這時只能得到方程（2）的一個特解yieix,還需求出另2一個解V2，且V2常數(shù)，設(shè)V2 u（x）,即yi yirixy2 e1 u（x）ri2u).y2 erlx(u riu),erlx (u 2qu*2, y2,y2代入方程（2）,得erix (u22ni n u】nfu nul on整理，得rx mte irixp 1 Fu(2門 p)u (nP

6、 門 q)u0,所以u(2n p)u (npn q)u 0因為門是特征方程（3）的二重根，所以2ri nn c0, 2n從而有uO因為我們只需一個不為常數(shù)的解個解，不妨取ux,可得到方程（2）的另yzxerix那么，方程（2）的通解為cierlx C2 xerlx(Ci C2x)erlx.2當(dāng)P24q 0時，特征方程（3）有一對共規(guī)復(fù) 根門 i, 2 i （0）于是利用歐拉公 式X(iy】 e , y2 e isin 把 eixcosx x yi,）xV?改寫為yix 6x e ix ee x cos x isin x)y2 e xxe ixe ex (cosx isin x)yi,y2之間成

7、共規(guī)關(guān)系, 取yi = (yi y2)e cos x,2y2 2% (yiy2)e x sin x方程(2)的解具有疊加性，所以, y2還是方程(2)的解，并且Xy2e xSinx fan X常數(shù),所以方程(2)的通解為e cos xy1y e x (Cicos x Czsin x)綜上所述，求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的步驟如下： (1)寫出方程(2)的特征方程2r pr q 0(2)求特征方程的兩個根門E2(3)根據(jù)門42的不同情形，按下表寫出方程(2)的通解.特征方程樣prqO的wwn,r2方程y py qy 0的通解兩個不相等的實根nr2rixr2Xy Cie 1 C2e 2兩個相等的

8、實根nr2y (Ci C2X)erlx一對共軌復(fù)根n,2 iy e x (Ci cos x C2 sin x)例1求方程y 2y 5yo的通解.解：所給方程的特征方程為r22r501 2im12i所求通解為e x(Cicos2x C2 sin2x).2例2求方程d s2 2ds0滿足初始條件St6 0 4,sdt 2 dt的特解.解所給方程的特征方程為2r 10ri通解為(Ci C2t)e t將初始條件Sw4代入，得Ci 4,于是S(4 C2t)e1對其求導(dǎo)得S (Cz4 Cztje，將初始條件S恒2代入上式，得C2所求特解為(4 2t)et例3求方程y 2y3y 0的通解.解所給方程的特征方

9、程為r 2 2r 3 0其根為門341所以原方程的通解為y Cie3x C2ex二、二階常系數(shù)非齊次方程的解法1 ,解的結(jié)構(gòu)定理3設(shè)y是方程(1)的一個特解,Y是式(1)所對應(yīng)的齊次方程式 (2)的通解，則yYy是方程式(1)的通解.證明把y Y y代入方程(1)的左端：(Yy)p(Yy)q(Yy)二(Y pY qY) (y py qy)=Of(x)f(x)yYy使方程(1)的兩端恒等，所以y Y y是方程(1)的解.定理4設(shè)二階非齊次線性方程(1)的右端f (x)是幾個函數(shù)之和，如ypyqyfi(x)f2(x)而yi與V?分別是方程y py qy fi(x)與 y py qy的特解，那么yi

10、y2就是方程(4)的特解,非齊次線性方程(1)的特解有時 可用上述定理來幫助求出.2.f(x)exPm (x)型的解法f (x) e xPm(x),其中為常數(shù),Pm(x)是關(guān)于x的一個m次多項式.方程(1)的右端f(x)是多項式Pm( X)與指數(shù)函數(shù)e X乘積的導(dǎo)數(shù)仍 為同一類型函數(shù)，因此方程(1)的特解可能為y Q(x)e5其中Q(X)是某個 多項式函數(shù).把 y Q(x)exv Q(X)Q (x)exy 2Q(x)2Q(x)Q(x)ex代入方程(1)并消去ex,得2Q (x) (2 p)Q(X)( 2 p q)Q(x) Pm(x)(5)以下分三種不同的情形，分別討論函數(shù)Q(x)的確定方法：2

11、(1)若不是方程式的特征方程r2prqO的根，即22 p q 0，要使式(5)的兩端恒等，可令Q(x)為另一個m次多項式Qm(X)：Qm (x) boblX b2X2bniXm代入(5)式，并比較兩端關(guān)于x同次募的系數(shù)，就得到關(guān)于未知數(shù)bo；bi, ,bm的m 1個方程,聯(lián)立解方程組可以確定出bi(i 0,L ,m) ,從而得到所求 方程的特解為V Qm(x)e x2(2)若縣皓7平后程r2 pr q 0的單根,即q 0, 2 p 0,要使式(5)成立,則Q (x)必須要是m次多 項式函數(shù)，于是令Q(X)xQm(X)用同樣的方法來確定Qm(x)的系數(shù)bi(i 0,1, ,m),(3)若是特征方

12、程r 2 p r q 0的重根，即2 p q 0,2 p 0.要使(5)式成立，則Q(x)必須是一個m次多項式，可令Q(X)x2Qm(X)用同樣的方法來確定Qm(X)的系數(shù).綜上所述，若方程式(1)中的f(x) Pm(x)ex,則式(1)的特解為yxkQm(x)ex，是特征方程2.其中Qm(X)是與Pm(X)同次多項式入按不是特征方程的 根的單根或是特征方程的重根依次取01或2.例4求方程y 2y 3e 2x的一個特解.解 f(x)是 pm(x)e X 型，且 Pm(x) 3, 2對應(yīng)齊次方程的特征方程為2r o，特征根根為n 0,=2是特征方程的單根，令xboe 2x,代入原方程解得故所求特

13、解為例5求方程y 2y (x l)ex的通解.解先求對應(yīng)齊次方程2y0的通解.特征方程為r 2 2rlq齊次方程的通解為(Ci C2x)ex.再求所給方程的特解X 1由于1是特征方程的二重根，所以x2(ax b)ex把它代入所給方程，并約去ex得6ax 2b比較系數(shù)，得y x2(6xl2)ex62所給方程的通解為yyy (Ci C2X1 x2 1 x3)eX263. f (x) Acos x Bsin x 型的解法均為常數(shù).Bsin x (7)f (x) Acos x Bsin x,其中 A、B、此時,方程式(1)成為y py q Acos x這種類型的三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，仍屬同一類型，因此方程式

14、（7）的特解 y也應(yīng)屬同一類型，可以證明式（7）的特解形式為y xk (acos x bsin x)其中a, b為待定常數(shù).k為一個整數(shù).當(dāng)i不是特征方程r 2 pr q 0的根，k取0;當(dāng)i不是特征方程r 2 pr q 0的根，k取1;例6求方程y 2y 3y 4sin x的一個特解.解 L ii不是特征方程為r2 2r 3 0的根，k 0. 因此原方程的特解形式為y acosx bsin xy acosx bsin x于是y asin x bcosx將y,y,y代入原方程，得4a2b02a 4b 424解得a2,b45524原方程的特解為：y cosx sin x55例7求方程y 2y 3y ex sin x的通解.解先求對應(yīng)的齊次方程的通解Y.對應(yīng)的齊次方程的特征方程為r22r30n lj2 3Y Ciex C2e3x再求非齊次方程的一個特解y.由于f (x) 5cos2x e x，根據(jù)