排列組合解題中的八大典型錯誤

1、排列組合解題中的八大典型錯誤、24 種解題技巧和三大重要模型我是清北助學團隊的迪迪學姐，經過我和清北學霸們對近5 年高考的研究，發(fā)現 “高考考潛規(guī)則 ” ，幫助萬名考生在2 個月內平均提分40+今天，學姐來帶大家看看數學?。ㄒ娛醉撝庙斘恼拢。└咧袛祵W和初中數學不同，很多知識點、 公式、 定理相對復雜， 并不是背下來就一定能會做 題，所以大部分同學想要提高數學成績都比較困難。數學最重要的應是化歸思想了， 即將未知的化為已知的。 每面對一道題就可以聯(lián)想這道題包含了哪些識點， 考察了哪些常見的思想方法， 與過去做的哪些題有聯(lián)系， 又可經過怎樣的變形達到。想到這些，就能將題目分成幾個小部分，再各個擊破

2、。學好數學的核心就是悟，悟就是理解，為了理解就要看做想?？垂P記，做作業(yè)后的反思，章節(jié)的總結，改錯誤時得找原因，整理復習資料，在課外讀物中開闊眼界，這一系列的活動都是 “悟 ”。要自覺去 “悟 ”，就要提高主動性，做好學習計劃，合理安排時間，制定好自己的長期的短期的目標。我們都知道， 十二年的辛苦付出， 就是為了贏得高考， 考上理想大學！ 學姐和清華北大300多位的小伙伴們，整理并分析了高中三年數學的難點和要點，總結出高中數學排列組合專題可以幫助大家在短時間內，完善學科漏洞，快速提高成績！已有 30 萬 +高中生、家長加入我們，即刻關注，就可免費領取哦！領取方式：見首頁置頂文章！總論：一、知識點

3、歸納二、基本題型講解:、排列組合解題備忘錄1 .分類討論的思想2 .等僑轉化的思想3 .容斤原理與計數1模型構造思想四、持處組合中的8大兵型錯i1 .沒有I5JB兩個基本原理出偌2 .判斷不出是排列還是組合出錯2重復計算出偌4.遺漏計算出借5-忽視題設條件出借6 .未考慮特殊情況出錯7 .翔意的理解偏差出錯&解題策略的選擇不當出借五排列組合24種解灌技巧1.排序問題相鄰河程捆綁法相離間題播空排定序向題縮倍法（插空法）定位問題優(yōu)先法多排問題單排法同排間解排法可重復的排列求塞法全借位排列詞題公式法2-分組分配問題平均分城問題去除重復法（平均分配同超）相同物品分配的隔板法全員分配間超分組法有

4、序分配間題逐分法3.排列組合申的解題技巧至多至少間接法染色問題合并單元格法交叉問題容斥原理法構造遞推數列法六.排列組合中的基本模型分擔模型（分堆模型）-知識點歸我1 .排列的魁念，從“個不同元策中.任取川（ww）介元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序 據成一界，叫做從方個不同元素中取出踴個元索的二個外刃.2 .排列數的定義；從在不同元素中，任取，卷Jf個元素的所有排列的個數叫殿從個元素中取出，元素的排列數,用符號表示3 .排列數公式，X二 W一】）（-2）伽-僧+D （"八斤僧）4 .階乘加表示正壑數1到，的連乘程.叫做的階乘規(guī)定0! = 1.>>|5 .排列數的

5、另一個計算公式,J：- 3（n-my.6 .蛆合的鹿念，一般地.從"個不同元素中取出個元素并成一組.叫做從”個不同元翥中取出物個元素的一個組合.7 .組合教的概念，從個不同元素中取出?。?quot;T”）個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中取出勿個元素的組合數.用符號C；表示.1 i8.組領公式,0*9孚3或C：=：(ii.ni .Ve. Lw 0 «).nfl(n - wi)!工組合救的性質h W .規(guī)定，T=lsio.組合數的性質z c二=cr/c7| .cj+c： *L十 二 r：+=2A'；cJ+clu,2IL "16字方針”是解決排列組合問

6、題的基本規(guī)往.即.12. ” ?4個技巧”是迅逑解決排列組合的捷徑基本題型講解：例1分別求出符合下列要求的不同排法的種數（1）6名學生排3排,前排1人.中排2人.后排3人.（2）6名學生排成一排，甲不在排頭也不在推尾：3）從6名運動員3選出4人您加4K100米指力賽.甲不坦第一棒，乙不跑弟四棒：4）6人排成一排.甲.乙必須相鄰5）6人排成一排,甲.乙不相鄰.（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左邊，乙費排在丙的左邊（甲.乙.丙可以不相等）、解，（D分排坐法與直排坐法一一對應,故排法種數為= 720（2）甲不能排頭尾,讓受特殊限制的甲先選位置.有出種選法.然后其他S人選.有疝種選法，故辯法 &l

7、t;種數為aaf = 480（3）有兩棒受限制.以第一棒的人選來分英，乙跑第一槨,其余棒次則不受限制，排法數為X。乙不跑第一柢 則跑第一棒的人有月：構選法.第四極除了乙和第一橡選定的人外,也有/：種選法.M余兩株次不受限機 故有£.爾種排法.由分類計敵原直，共有= 252種排法（4）將甲乙”酈曠成”一個元”與其他4人一起作全排列共有X）； = 240種排法（5）甲乙不相鄰,第一步除甲乙外的其余4人先排好第二步，甲、乙選擇已排好的4人的左、右及之 間的空擋插位,其有；（或用6人的排列敦減去問卷（2）后排列敵為4： -240 = 480 ）（6）三人的順序定,實庸是從6個位置中選出三個位

8、,然后排按規(guī)定的順序放置這三人,其余3人在3個位置上全排列，故有排法<?；«；= 120種點評，排隊問題是一箕鼻型的排列問理.常見的酎加條件是定位與限位、相鄰與不相瓠三、排列組合解題備忘錄sm個不同的元素必須相鄰,有種“捆綁”方法，制個不同元素互不相郃,分別“插入”到n個“回隙”中的m個位置有p；種不同的“插入”方法 , 0m個相同的元第互不相鄰，分別“插入”到n個"同隱"中的m個位置，有仁：種不同的“插入” 方法.若干個不同的元素“等分”為m個組,要鞫選取出每一個組的組合數的乘積除以RT （去除K復效）.四.排列組合問題中的敬學思想方法（-）.分奏討論的思

9、想：許多“數敢”間埋在往情境復雜.層次多,視角廣.這就需要我們在分析同延時. 選擇恰當的切入點.從不同的側面.把原問題變成幾個小向題.分而治之，各神擊破.例.已知集合A和集合B各含有12個元素,/H8含有4個元聿.求同時滿足下列條件的集合（:的個敢.1） CUXUE且C中含有3個元素,2） CD/ 解如圖.因為A. B各含有12個元素，A ClB含有4個元素,所以/ U6中的元素有1今12-4=20個,其中艮于A的有12個*于A而不屬于B的有8個，要使CfM £。.（S I 則C中的元索至少含在A中集合，的個數是，1）只含A申1個元素的有<'<> 2）含A

10、J J中2個元素的有C/L 3）含A中3個元素的有C/：,故所求的集合C的個數共有6出,。留廣寬C：-1084個（-）.等價轉化的思想很多“數數”問題的解決，如具能跳出題沒有限定的“圈子”，根據趨目的特征構 思設計出一個等價轉化的途徑.可使間建的解狀呈現出“要柳暗記明”的格局.1 .具體與抽象的轉化例.某人射擊7愴,擊中5槍，問擊中和末擊中的不同順序情況有多少種？分折，沒擊中用“1”表示.擊中的用“?！北硎?可將問世轉化不下列問融，數列有兩 項為0, 5項是1.不同的數列個數有多少個？解，1）兩公。不相鄰的情況有<:；種.2）兩個0相鄰國情況有。；種,所以擊中和未擊中的不同順序情況有C”

11、C； =21 種.2）不同的敖學概念之間的轉化五.排列組合中的易錯遨1沒有理M闞個其本膜理出借擇列a&i可乜基于兩個蔓車計制常理時0專停理旗法原電，微灣15“為貪用加' 分羅利耋”是15決將列伯畬i茫的前？1.倒1 (1995年上海彩旁培)從6臺原親計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺，其中至少有原裝與組裝計 算機各兩臺例不同的取法有一種.誤解，因力可以取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺項裝與2臺組裝計篝機，所以只有2種取法.錯因分析，俁解的原因在于沒有電:識到"選就2臺原裝與3臺組裝計K機或是3臺后裝與2臺組裝計算機”是 完成任務的西奧辦法.每類辦法中都還有不同的取

12、法.正解：由分析.完成第一類辦法還可以分成兩步，第一步在厚裝計算機中任意選取2臺，有點種方法，第 二步是在組裝計篝機任意選取3臺，有C；樸方法，據乘法原理共有點V?種方法.同是，完成第二類辦法中有 弓Cf種方法.據加注原理完成全部的選取過程具有C； C? , 行 -350種方法.例2在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產生，那么不同的奪冠情況共有 ()種.(A a1 (B) 45(C) 34(D) Cl誤解，把四個死軍,排在甲、乙、丙三個位置上.選人皆因分析，謾解是沒有我解兼法原理的微意.¥目地套用公式.正解，四項比春的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取,岳項冠軍都有3種選取

13、方法.由乘法原理共有 3x3xjx3«34#.說明，本題還有同學這樣誤解,甲乙丙奪冠均有四種情況.由柒法原理遇4.這是由于沒有考慮到某項冠軍 一旦裱一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.2月斯不出是排列還是紈合出錯在判斷一個問也是排列還是蛆合同超時，生要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列,無順序的是組 合.例3有大小形梃相同的3個紅色小球和5個白色小球,非成一排,共有多少和不同的排列方法？誤解，因為是8個小球的全排列，所以共有；種方法，措因分析，謨解中沒有考慮3個紅色小博是完全幫同的.5個白色小尊也是完全相同的.同色球之間互頓位3 j?我計第出錯在排列組合中常會遇到元素分配問

14、題、平均分組問題等.這些間題要注意避免重復計數.產生精誤.例4C2002年北京文小南看通）5本不同的書全部分給4個學生,每個學生至少一本,不同的分法種數為（）（A） 480 種 CB）240 腫 （C）120 種 （D）火種誤解先從5本書中取4本分給4個人，有石種方法，黑1下的1本書可以給任意一個人有4種分法，共有4 X4；780種不同的分法.選A.借因分析，設5本書為。、b、八d、c.四個人為甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2,甲乙丙Tabcde甲乙丙Tebda表】哀2表I是甲苜先分得a、乙分得5、丙分簿、丁分得，,最后一本書e給甲的情況表2是甲苜先分得。、乙分 得6、丙分得。

15、、丁分得d,最后一本書a給甲的情況.這兩種情況是完全相同的.而在讀第中計算成了不同的情 況.正好:«復了一次.正解，苜先把5本書轉化成4本書，然后分給4個人第一步，從5本書中任意取出2本翹螂成一本書，有魔種方法：第二步再把4本書分給4個學生.有"種方法曲乘法原理,共有C； .4： =1。種方:法，故選區(qū)例5某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，耳不同的排法共 有（）種.CA）5040（B）1260（C）210（D）630誤解：第一個人先挑選2天,第二個人再擾選2天,躺JT的3天給第三個人，這三個人再進行全排列.共有,-1260 .選 B.

16、惜因分析，這里是均勻分組問題.比如，第一人挑選的是周一、周二,第二人挑選的是周三、周四，也可前 是第一個人挑選的是周三、閹四，第二人挑選的是周一、周二,所以在全排列的過程中就重復計算了.正解 ?=630種.4遺漏計募出鋁§忽視埋次條件出鎰在解決排列組合問題時一定要在意題目中的每一句話苔至每一個字和符號，不然就可能多解成善調解.例7（2003全國南考態(tài)）如圖，一個一二二J地區(qū)分為5個行政區(qū)域.現給地圖著色，/C J /更求相鄰區(qū)域不簿使用同一呼色.現看4/種頊色可供選擇,則不同的著色方法其不誤解I光著色第一區(qū)域.有4種方法.剝下3種顏色涂四個區(qū)域,即有一種顏色涂布環(huán)的兩塊區(qū)域，有C；

17、2屑12種,由乘法原理井有 4X12T8種.楷因分析，據報導,在高考中有很多考生填了 48輯.這王要是沒有看清題設“有4種旗邑可供選擇”.不一定 尊妻42旗色全部使用.用3種也目以完成任務.IM.當使用四種顏色時，由前面的誤解知有48種著色方法當僅使用三種顏色時從4種鼓色中選取3種有種方法,先著色第一區(qū)域,有3種方法，則下2種顏色深四個區(qū)域.又能是一種陰I色除第2、4區(qū)域,另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有C；x3x2=24種蒜上共有：4$+24=72種.例8已知m；-占=。是關于、的一元二次方程,其中。、beW,A）.求解集不同的一元二次方程的個數.誤解從集合（123.4

18、中任意取兩個元索作為。、b，方程有一心個，當公。取同一個數時方程有1個，共有£1=13 個.憎因分析，謖解中沒有注意到題設中 “求知票不同的”所以在上述解法中要去抻同解情況，由千 二加：二同解、？和仁:同監(jiān)故要械去2個.正解，由分析，其有13-211個解集不同的一元二次方足6未老點特殊情況出錯在排列組合中要特別注意 些精殊情況， 有疏漏就會出錯.例9現有1角.2角15角、1元，2元、5元，10元.20元，50元人民幣各一張,100元人民幣2張,從中至少取一張.其可組成不同的幣值種數是（）（“1024種 1023 種 1536 種（1）1535 種誤解，因為共有人民幣11張.每張人民幣都有取和不取24情況,減去全不取的I種情況.共有？。-1 = 1837聘戲的理解偏弟出錯例10現有8個人琲成一排膽相.其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種.（A）4石 （B）（C） W禺 （D）/：-小誤解，除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有#種排法.5人排好后產生6個空檔，插入甲、乙、丙三人本另種方法，這樣共有耳.5種排法.選A.信因分析，誤解中投有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結果是“甲、乙、丙三人至不相等” 加情況."甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、