方差分析幾個案例

1、方差分析方法方差分析是統(tǒng)計分析方法中，最重要、最常用的方法之一。本文應用多個實例來闡明方差分析的應用。在實際操作中，可采用相應的統(tǒng)計分析軟件來進行計算。1. 方差分析的意義、用途及適用條件1.1 方差分析的意義方差分析又稱為變異數(shù)分析或 F 檢驗，其基本思想是把全部觀察值之間的變異（總變異） ，按設計和需要分為二個或多個組成部分，再作分析。即把全部資料的總的離均差平方和（SS）分為二個或多個組成部分，其自由度也分為相應的部分，每部分表示一定的意義，其中至少有一個部分表示各組均數(shù)之間的變異情況，稱為組間變異（MS組間）；另一部分表示同一組內(nèi)個體之間的變異，稱為組內(nèi)變異（MS組內(nèi)），也叫誤差。SS

2、除以相應的自由度（u）,得均方（M3。如MS組間MSfi內(nèi)若干倍（此倍數(shù)即F值）以上，則表示各組的均數(shù)之間有顯著性差異。方差分析在環(huán)境科學研究中， 常用于分析試驗數(shù)據(jù)和監(jiān)測數(shù)據(jù)。 在環(huán)境科學研究中， 各 種因素的改變都可能對試驗和監(jiān)測結果產(chǎn)生不同程度的影響， 因此， 可以通過方差分析來弄 清與研究對象有關的各個因素對該對象是否存在影響及影響的程度和性質。1.2 方差分析的用途1.2.1 兩個或多個樣本均數(shù)的比較。1.2.2 分離各有關因素，分別估計其對變異的影響。1.2.3 分析兩因素或多因素的交叉作用。1.2.4 方差齊性檢驗。1.3 方差分析的適用條件1.3.1 各組數(shù)據(jù)均應服從正態(tài)分布，

3、即均為來自正態(tài)總體的隨機樣本（小樣本） 。1.3.2 各抽樣總體的方差齊。1.3.3 影響數(shù)據(jù)的各個因素的效應是可以相加的。1.3.4 對不符合上述條件的資料，可用秩和檢驗法、 近似 F 值檢驗法， 也可以經(jīng)過變量變換， 使之基本符合后再按其變換值進行方差分析。 一般屬 Poisson 分布的計數(shù)資料常用平方根變換法； 屬于二項分布的百分數(shù)可用反正弦函數(shù)變換法； 當標準差與均數(shù)之間呈正比關 系，用平方根變換法又不易校正時，也可用對數(shù)變換法。2. 單因素方差分析（單因素多個樣本均數(shù)的比較）根據(jù)某一試驗因素， 將試驗對象按完全隨機設計分為若干個處理組 （各組的樣本含量可相等或不等） ，分別求出各組

4、試驗結果的均數(shù)，即為單因素多個樣本均數(shù)。用方差分析比較多個樣本均數(shù)的目的是推斷各種處理的效果有無顯著性差異，如各組方差齊，則用 F 檢驗；如方差不齊，用近似F 值檢驗，或經(jīng)變量變換后達到方差齊，再用變換值作 F 檢驗。 如經(jīng) F 檢驗或近似F 值檢驗， 結論為各總體均數(shù)不等， 則只能認為各總體均數(shù)之間總的來說有差異， 但不能認為任何兩總體均數(shù)之間都有差異， 或某兩總體均數(shù)之間 有差異。必要時應作均數(shù)之間的兩兩比較，以判斷究竟是哪幾對總體均數(shù)之間存在差異。 在環(huán)境科學研究中， 常常要分析比較不同季節(jié)對江、 河、 湖水中某種污染物的含量有無顯著性影響；各種氣象條件如風向、 風速、溫度對大氣中某種污

5、染物含量的影響等問題。我們把季節(jié)、風向、風速、溫度等稱為因素。僅按不同季節(jié)，或不同的風向，或不同的溫度 來分組，稱為單因素。例1 某年度某湖不同季節(jié)湖水中氯化物含量（mg/L）測定結果如表一6.1所示。試比較不同季節(jié)湖水中氯化物含量有無顯著性差異。 表一 1某年度某湖不同季節(jié)湖水中氯化物含量（mg/L）測定結果春亶秋冬22 6191S.?15.022.822.813.616.921 024 517 217 616.918.015.114.824 015,216.613.121.918.414.2lfi.921.520.115.711221.221.219.614 8合計kX171.9159.3

6、131 9129.3552.4 (SAT)均383832 5)元21.4519.9116.4916.1618.51 O)3724.513231.952206.272114.1111276.84勺從表一1的測定結果可見有三種變異：1. 組內(nèi)變異：每個季節(jié)內(nèi)部的各次測定結果不盡相同，但顯然不是季節(jié)的影響，而只是由于誤差（如個體差異、隨機測量誤差等）所致。2. 組間變異：各個季節(jié)的均數(shù)也不相同，說明季節(jié)對湖水中氯化物的含量可能有一定的影響，也包括誤差的作用。3. 總變異：32次測定結果都不盡相同，既可能受季節(jié)的影響，也包括誤差的作用。不同季節(jié)湖水中氯化物含量的均數(shù)之間的變異究竟是由于誤差所致，還是由

7、于不同季節(jié)的影響，可以用方差分析來解決此問題。方差分析可表示：從總變異中分出組間變異和組內(nèi)變異，并用數(shù)量表示變異的程度。將組間變異和組內(nèi)變異進行比較，如二者相差甚微，說明季節(jié)影響不大；如二者相差較大，組間變異比組內(nèi)變異大得多，說明季節(jié)影響不容忽視。以下是三種變異的計算方法：1總變異的離均差平方和(SSm)：即32個觀察值與總均數(shù)(1)之差的平方和.<£>(1)n公式1中，/為第組的第件觀察值；k為組數(shù),9為SS觀察值的個數(shù)三£/,為第池由 ?"1I到餐各觀察值之和；E £/為由1到k組的各蛆觀察值的總和.=592 427=-=18.51 (m

8、g/L)於總二£之(/一0SSb=(22 6-&51)口+口28比51)/+(14 S-18.51)2=310.0工組內(nèi)變異的離均差平方和用內(nèi))及均方組內(nèi))：SS鬼內(nèi)即每個季節(jié)內(nèi)部的現(xiàn)察 值與其均數(shù)(X)之差的平方和.精選資料，歡迎下載X -春季 £(玄口Hi二(22 62149)口+一,十(21 2 2149尸=30.8 酒夏季 E(冬廠 吊尸二。9 1-19,9以十+(212-19.91)a = 59 9秋季 £(星打萬力？:(12 916 49f+口9 616 49/ = 3.6冬季 它®廠 工4尸=（19。-16.16）、十。48-161

9、6尸=24 3£?C與一后產(chǎn)區(qū)%內(nèi)n-kSSft 內(nèi) TO： 8+59.9+31.6+34.3=146.6n -k公式4中，n為觀察值的總個數(shù)；k為蛆數(shù).之組間變異的離均差平方和（SS迪Q與均方（M編茴）：SS阻航即各季節(jié)氧化物含量的 均數(shù)（無）與總均數(shù)（7）之差的平方和.S3圾嗣二E餐（怎-上二在公式5中，由于第貂有個觀察值，故以公乘以（元一文產(chǎn)oSSw=8(21.49-lE.51)2+8(19.Ql-18.51)2+3(ld49-18.51+3(16.eM8,51)3=163.5Z(Xi-X)2MSX 1163.54-1從以上計算結巢可知：羽電=溪隨同+£S氮內(nèi)=146

10、.（5+163 - 5=31。,與前面計國而得的SS總只 相差O.b此系末位小數(shù)四舍五人所至.因此，兒要計算出SS總和SS矩帕后，SS俎內(nèi)可由減法 求得,計算出代表組間變異的M2蛆由和代表組內(nèi)變舁（誤差）的M時向后，即可計篁F值，將二 者進行比較.本例較大均方為MS般網(wǎng)較小均方為如果M%相MS坦布那么季節(jié)的 影響就不值得注意了aMS 士F=-(7)54 5斤二一二10一4£ 52組間自由度口*1=4-1=3 ,蛆內(nèi)自由度%=n-k=32-4=28,查方差分析表得F叫舊餐， P<EL01.說明各季節(jié)湖水中氯化物的含量有高度顯著性差異，即不同季節(jié)的湖水中氯化物的 含量是不相同的.上

11、述計算過程易理解，但計算較繁瑣，因此，常用以下茴代篝法：檢晚假設】普季節(jié)湖水中氯化物的含量均數(shù)相等.K N列計篝表！如表-1所示，分別計算出各季節(jié)的工與、均、區(qū)、E后、小/-L/-1£ 51ys計算離均差平方和(SS):精選資料，歡迎下載求校正數(shù)（c）c.應u C=（592r4）J = 10966.8 32求S3曾S隆=色$（礙看 =*一= 合一。i-1 JZ1厚SS6=11270 S-W966,8=310.0求雅鬼問s%E/（%-如=2上c（10）j-i>i 馬JI X E（工獷 jwl Jwl廠人當各蛆樣本含量/不同時,用公式l（h/相同時,用公式11.明昕”史+重變+空空

12、+”直一小B（代入公式1。）舞間 g888<71封+侔才+ （】31。+。29才 we。（代入公式8-163.5求ss殂內(nèi)tSS町內(nèi)三器總由S思M(12)33=310,0 163 5=146.5列方差分析表, 如表6,2所示口將上述計算結果匯總于表一荻，再按表一2的要求計 算u、MS、F值，最后列出表一工表一2單因素方差分析表變異來源SSVMSF值總變異n-1組1團殳異鳥-C k-1$間山MS繳間/ MS瞅內(nèi)組內(nèi)變異流第6s版間n*kE，內(nèi) hk表一3方差分析表變異來源SSv MSF>_總變異310131組間變異1615354 J-10 48"組內(nèi)變異146 5285.2

13、的確定P值，根據(jù)u】=3,盯=2&查方差分析表得F>Fq1用網(wǎng)，P<0,0h判斷結果：由于因此，可以判斷不同季節(jié)湖水中氧化物的含量均數(shù)有高度顯 著性差異.3.方差不齊時的檢驗方法經(jīng)方差齊性檢驗證明方差不齊時，可用近似F值檢驗，秩和檢驗或經(jīng)變量變換后達到方 差弁，再用變換值作F檢臉.3.1 多個方差的齊性檢驗方差，可以據(jù)此推斷它們所分別代表的總體方差是已知多個樣本（理論上均來自正態(tài)總體）否相等，即多個方差的齊性檢驗。其常用于:說明多組變量值的變異度有無差異。方差齊性檢驗。以例1為例（各組樣本含量相等），如表一4所示。表一某年度某湖不同季節(jié)湖水中氯化物含量（m嘰）測定結果S夏秋

14、冬22.619.118.919 022.822任13.61621.024.517.217.(516.913.015.114.824.015.213.121.913.414.215.921 520.116716.221.221.219.614.84.403 564.513.471檢臉假設；各組總體方差齊.2廿算二與W （校正W值八(13)精選資料，歡迎下載? = 2.30265 7(蜘 成一/g 曾)(14)(15)以上公式中，密為合并方差；簫為各樣本方差；k為樣本個數(shù)（即組數(shù)）;n為各個樣本4.40+8.564-4.51+3 47 工=J. 23#=2.3026(8-1)41g 5,23- (

15、ig 4.40+1g 8 56 + 1g 4.51+lg 3 47) = 1.67= 1.5821.67工;=1 | 4 + 1I + 3x4(8-l)3確定P值i根據(jù)查附表一W （/界值表）得P>R50.4一判斷結果：由于P>U.5Q,因此，可以認為各組總體方差齊.例2進行丙烯膈和乙胞毒性聯(lián)合作用實稱，取家免21R,用四種不同濃度染毒二個月后 測定血中硫氯酸鹽含量（mn），結果如表一5所示口檢驗匹組方差的齊性（各組樣本含 量不等）口對照組6濃度中濃度局密度X2 17 335.090.03.14.650. Q?0.52.03.025.0PkO1410 529078.07.660,0

16、70514.379.67.38.655.1199499.6公4756Xi2.157.8739.883.27取1 4983.07870.331 63£0.4967138457217700713267表5四組測定值的方差齊性檢驗精選資料，歡迎下載1 .檢嗡假設；四個總體方差齊.工計算與好值；(16#=2.3026(母用)£(均-1) 一 天為 一 l)lg 盥(17)靖二1ni-(電1 + - £ !3(-1)/一1 £日一1)S”1 49+83 07 + 870 80+361 63 =/3, lool 3+6+44-5/ = 2 3021g73.1d6K3

17、+d+4 + 5)-(31g0.4967 +15lgl3.84574-4lg217 74-51g72.32d7) = 20,d62318.794520,6623d 1 r 1 1 1 111H CF +1H -)3(4-1)1 3 6 4 5, 3+6+4+53 . 確定P值：根據(jù) k41=3,查附表 一12得P<0.005。4 .判斷結果：由于 P<0.005,因此，四組方差不齊。5 .2 近似F值檢3會（F'檢驗）以例2為例，如表一6所示。對照組低濃度中濃度高淑度X2.17.335,090.03 14.650 090.510-25.091.01.410.529.07S0

18、7.660.070.514.379.67.8合計芍4756至2.157.8739.8083 27相0.496713,8457217.700072.3267可8.053150.505570.022970.0829S466465例名17,314275,978840.9142115.9080829,11540(Xi-Xvy11,790C20 2333430.50126529.75005582.32527£3組和胴0 529430.058350 002650.00P57(1- £砒0 00160.1477E0.24B6S0.13615(1 0.59431 £ 鳥Tk-1表

19、一6F值計算表表6中，/為各樣本的含量；元為各樣本的均數(shù);曾為各樣本的方差：礙為各樣本的 權數(shù).L檢驗假設：四個總體均數(shù)無顯著性差異。2.求Pili求各樣本的權數(shù)%(W)計算結果見表一6下半部分第四行-求各樣本均數(shù)友I的加板總均額了”:Q0)精選資料，歡迎下載£=涕“6求組間均方MS娟閘及其自由度頻同hit緞同=££鬼囪JU鼠閔(22)vfeM=k-1MS阻丁箋筍二儂四2以上公式中，S'間為樣本均數(shù)元與加權總均數(shù)京間的加權離均差平方和；k為樣本個數(shù).求組內(nèi)均方MS組內(nèi)及其自由度/內(nèi)22）（椅了 叫N+又匚(23)"內(nèi)二(24)1(73 叼g /T

20、u坦內(nèi)計算結果應當取整敷.MS級內(nèi)= 1 + I；： CO.59431) = 1/58481臼(。59431)= 8,4U3求F值;F'=MS坦組內(nèi)(25)F'=194.108421.15848= 167 553確定P值1以.w=3,叫內(nèi)r8，查方差分析表得T叫內(nèi)呼對P他01.4一判斷結果;由于FOfl,因此，四個總體均數(shù)有高度顯著性差異，可以認為四種濃度 染毒后，兔血中硫氨酸鹽的含量不同.6 .3變量變換法變量變換也稱為變量代換，是將原藪據(jù)X轉換成它的某種函數(shù)值，如JK等，其目 的是使變換后的數(shù)據(jù)達到某種要求.如符合凡用方差分析，t檢晚的條件等口1 .對數(shù)變換以原數(shù)據(jù)的對數(shù)值

21、作為統(tǒng)計分析的變量值，稱為對數(shù)變換.對數(shù)變換的形式；mlgx(26)xMy(XH)(27)Kr=lg (X+K)(28)Xr=lg (K-X)(25)公式26最常用，公式27適用于原數(shù)據(jù)中有小值和零時。K為常數(shù)，可以根據(jù)需要選用合適的數(shù)值。對數(shù)變換的用途：當幾個樣本均數(shù)作比較時，如樣本方差不齊，尤其是當標準差與均數(shù)之比的比值接近時，必須經(jīng)對數(shù)變換以縮小各方差之間的差別，達到方差齊后才能進行t檢驗或方差分析。適用于呈對數(shù)正態(tài)分布的資料。在曲線擬合中，對數(shù)變換常常是直線化的重要手段，如指數(shù)曲線、雙曲線、logistic曲線的直線化等。例3欲用t檢驗比較某河豐水期和枯水期的河水BOD5mg/L）含量

22、均數(shù)，資料如表一7所示。此數(shù)據(jù)能否直接用 t檢驗方法？如不能，試作變量變換。表一 7對數(shù)變換計算表BOD§含量,XIgX + i豐水期枯水期豐水期枯水期0.24LP90.3E0211.2P8S50.540.990.73239。典 5640.50L220.6P8P71M36Q.341.170.531481.068190.401.960 602061.292260.760.710.880810.851261301.250.477121.09691Q.20L230.3Q1031.0E951合計3.2810.524.604073；77P38均數(shù)0.411 3150.57551V09742方差

23、0.03390.19780.036980.02150先對原效據(jù)X作兩個方差的齊性檢臉；具體步驟見本章3節(jié),計篝結果得F=5,8光，查方差齊性檢驗用F值表得0.口5,兩組 方差不齊，不能直接用t檢嗑方法.比較兩樣本的“標準差抽數(shù)'士加斗 V0-0339 A . x. . J。豐水期為： 二0.45,枯水期為： = 0.340.411,315二者比較接近，可以試用對數(shù)變換。將X作lgX +1 ”變換后，再作方差齊性檢驗，得 F=1.72, P>0.05,兩組方差齊，可 以用變換值作兩樣本均數(shù)比較的t檢驗。2 .平方根變換以原數(shù)據(jù)的平方根作為統(tǒng)計分析的變量值，稱為平方根變換。平方根變換

24、的形式：1=總(30)五= JX+G5(31)x=后(32)+ K或者(33)K為常數(shù)，經(jīng)嘗試得到.公式3口最常用，當原數(shù)據(jù)中有小值及零時常選用公式引與32.平方根變換的用途：對于總體呈P6S£g分布的計數(shù)資料進行交換，使變換后的數(shù)據(jù)常近似正態(tài)分布.當對比的“個樣本方差不齊，尤其是方差與均數(shù)之間呈正比關系時，用本變換法往往 能消除或削弱此比例關系，達到方差齊，以滿足t檢驗與方差分析的要求.用于輕度偏態(tài)分布資料的正態(tài)化.例4將小白鼠按不同處理分為三組，在注射某種同位素24小時后，測定其脾臟蛋白質中 的放射性（如表一8所示），該資料能否直接用方差分析？如不能，試作變量變換.o表一名 三組

25、小白鼠脾臟蛋白質中放射性測定值（次/分克）xfx)對照蛆芥子氣中毒俎電離輻射蛆3,3 (1.9494)5,6(3.3664)1.5 (1.2247)9 0 (3 0000)4.0 (2.0000)3 8 (1 9494)25 (1.5811)3.0(L7320)5.5 (2.3452)8.2(28636)8,0(2.32S4)2,0(1.4142)7 1(2.(5646)3.8(1.9494)3.0 <1.7320)1LO(3.3166)4.0 (2.0000)5.1 (2.25E3)11,5(3.3912)64 C2.5298)3.3(1 81156)9 0(3 0000)4.2(2.

26、0494)4,0(2.0000)11.0 (3.3166)4.0 (2.0000)2.1 (1 4491)7,9(2.8107)7.0(2.6458)2.7(1 6432)X8.0 (2 73EM)5,0(2,2101)3.0 ( 1.7833)8.3889(0.35402.7111( 0 1282)1.7373 (0,1332)© x1.1097 C0,1272)0.5422 (0.0580)0.5266(0.0747)從表一X可見，原額據(jù)的均數(shù)大，方差也大工均數(shù)小，方差也小.因此，先作多個方 差齊性檢臉（見第3節(jié)），得/玄77, v=3/E,查f界值表得人。5,方差不齊，不能 直

27、接用于方差分析.（2）1各數(shù)據(jù)作平方根變換，見表一8括號中的數(shù)值.以變換值再作方差齊性檢驗，得 犬=3,22, u=3-l=2,查/界值表得P、05,方差齊.可以用變換值作方差分析，而且消除 了均數(shù)與方差呈正比的關系.3 一其它變換方法工平方根紙變換法；也稱為二項概率紙變換法，統(tǒng)計分析我變換法.可用于求總體均 數(shù)、百分率的可信區(qū)間；用u檢哈、F檢驗、符號檢檢、極差檢驗等比較兩個或多個樣本率 或樣本均數(shù)；估計樣本含量等,此方法簡便、快速，回:匕較粗略.百分數(shù)的平方根反正弦變換；也稱為角變換.可以用于求總體百分數(shù)的可信區(qū)間，百 分數(shù)的均藪的t檢驗或方差分析，以及用于S形或反S形曲線的直線化.百分數(shù)

28、的概率單位變換： 主要用于S形或反S形曲線的直線化、正態(tài)性檢驗，尤其適 用于劑量反應曲線的直線化。百分數(shù)的logit變換：主要用于 S形或反S形曲線的直線化。反雙曲正切變換：用于兩直線相關系數(shù)的比較與合并。4 .兩因素方差分析（雙因素多個樣本均數(shù)的比較）將試驗對象按性質相同或相近者組成配伍組，每個配伍組有三個或三個以上試驗對象，然后隨機分配到各個處理組。這樣，分析數(shù)據(jù)時將同時考慮兩個因素的影響，試驗效率較高。例5某市為了研究一日中不同時點以及不同區(qū)域大氣中氮氧化物含量的變化情況，該市環(huán)保所于某年1月1519日，在市區(qū)選擇了 7個采樣點，對大氣中氮氧化物的含量進行 測定。表一9為各個采樣點每個時

29、點五天的平均含量，試分析不同時點、不同區(qū)域氮氧化物 含量之間有無顯著性差異。表一9某市某年大氣中不同時點氮氧化物含量測定結果（mg/m3）配伍組采樣時間配伍組小計（采樣點）7時11時15時1城r，與） i-i甲區(qū)0.0750.0620.0470.0720.256乙區(qū)0.0560.0610 0250.0660 208內(nèi)區(qū)0,0300670.062OJOO0.315市中心0 0840.0660.0460 1020.298某交通崗。型0.23302930.344一L171某鋼廠0.0630.0550 0390.0520.209某鍋爐廠0.0260.0330 0180.0220 093了一工口,696

30、0 5770.5350.7582.560 空無0.0990.0820.076G.10SO.OP1 Xj-i0.1160 0750.0350.1510 441士居為處理組小計.J-1所謂雙因素，即：既按不同的采樣時間分組（處理組），又按不同采樣點分組f配伍 組，又稱為單位組、區(qū)組）.這樣，經(jīng)方差分析就可以將總變異分為處理組間變異、配伍 組間變異，誤差三部分.檢臉步驟如下：L檢賽暇設；配伍組之間及處理組之間均無顯著性差異口2 .計算，計算三招、五“三號以及這三項數(shù)值的合計項級 鼠 £叁 計算各配伍組的 >17-1二曷，值，*計篝結果如表一g所示.C回（34）公式34中，C為校正藪；

31、np、b <a為處理組數(shù)，b為配伍組數(shù)）.本例：a=4，b=7，EX=2,5l50八經(jīng)*瀏 4x75迎工已知 2=0.441SSfi=ZZ<C-0.4410.234-0.2（7求S近呻精選資料，歡迎下載(35)0+0.5772 + 0.5352 +0.75820,234= 0 005求SS配伍;(30SSBfl=0.256? + 0.2081 +0.3»a+0 29*Q11713 + 0,2093 + 0,099?0.234 = 0/97求£沁差:(37)精選資料，歡迎下載oSS=0,207-0.005-0.157-0.005求5 MS、F值;口)u 電1=2

32、占-1=27u 效理=al=4-=3“通門小1)=18(38)M跟bSS姓里屈1MS處曳=5= 0 00174-精選資料，歡迎下載MS配伍二0.1977-1=0 0328(40)© MS諼爰=S$誤差adXb）精選資料，歡迎下載MS諼菱二0.005= 0.0003(41)F處理二0 00170 0003= 5.67(42)F頻二0.03280.0003= 109.333 .列方差分析表:表一10雙因素方差分析表變異來源離場差平方和（SS）自由度（v）均方(MS)Fffi總變異天-C(n-1)a處理組間變異-C b(a-l)弱延g/M設理/M/差配伍組1 aj變異口c(b-1)J

33、9;-lg'誤差費岫底6s配花Ca-D (b-1)SSiS/(a-l)(b-l)表一11方差分析表國變異來源SSVMSFP總變異0 20727處理組間變異0.00530 00175 67<0 01配伍組1冊異0.19760.0323109.33<0.011天差0.005180.00034 一確定P值并判斷結果按處理組間的自由度為=3,蛆內(nèi)變異的自由度與7&查方差分析用F®表得 p<o.ou因此，可以認為一日中的不同時點的氮氧化物含量之間有高度顯著性差異。按配伍組間的自由度由=6,組內(nèi)變異的自由度j=1孔查方差分析用F值表得 PO OL因此，可以認為不

34、同區(qū)域的氮氧化物含量之間有高度顯著性差異.從以上方差分析的例子可見，由于把組內(nèi)變異又分離為配伍組間變異和誤差，所以“誤 差”的均方（MS,揮）比單因素多組效據(jù)分析中的組內(nèi)均方（MS珀J相對小些，因而提高 了檢嘛的靈敏度.假如雙因素多個均數(shù)比較，配伍組間無顯著性差異，那么這部分變異就 不必分離出來，而用M時內(nèi)作為計苴F值的分母即可.5 .多因素方差分析（多因素多個樣本均數(shù)的比較）在環(huán)境科學研究中，所研究的事物或現(xiàn)象往往是比較復雜的多因素問題，而各種因素本身尚有程度的差別， 其間往往又存在交互作用。當研究的因素在三個或三個以上時，可以用正交試驗法。正交試驗是一種高效、快速的多因素試驗方法。正交試驗

35、的設計與分析見另外章節(jié)。多因素多個樣本均數(shù)的比較”不僅可以用于正交試驗，也可以用于拉丁方試驗分析與析 因試驗分析等。6 .多個樣本均數(shù)間的兩兩比較（多重比較）經(jīng)方差分析后，如果各總體均數(shù)有顯著性差異時， 常需進一步確定哪兩個總體均數(shù)間有 顯著性差異，哪兩個之間無顯著性差異。因此，可以利用方差分析提供的信息作樣本均數(shù)間 的兩兩比較。以例5為例：（每組樣本含量相等）經(jīng)方差分析后，認為不同時點以及不同區(qū)域的氮氧 化物含量之間均有高度顯著性差異?，F(xiàn)在需要進一步檢驗不同時點的氮氧化物含量均數(shù)兩兩 之間有無顯著性差異。檢驗步驟如下：1.檢驗假設：各時點的氮氧化物含量均數(shù)之間兩兩相等。(43)SfJ &qu

36、ot;尸(到以上公式中，S口為兩均藪與了s之差的標準誤：n為每組樣本含量.先將各組均數(shù)由大到小排隊，并編上組次.均數(shù)組次(1)1234均 數(shù)名)0 108 0.099 0 Q82 0.07E5采樣時點工時7時11時 15時%皿=粵=。贖表一12不同時點的瓶氧化物含量均數(shù)間兩兩比較比較蛆差數(shù)aq的界值結論(A與 B)(Xa-X£)P-0 05p=0.01(2)(3)qW0.00651與40.03244.924.005.091與30.02634,003.614.701與I0 00921 382 974.072與40.02333.543.614.702與30 01722 622 574.0

37、73與40 00620.322.374.07表一12中，第Q度的計算：如A=l, B4 則后一后二01020 076二。032,余者 依此類推；第(3)欄為從第趣到第B組范圍內(nèi)所包含的組數(shù)；第(4)欄q值按公式43計算；第 (5)、(6)欄為q的顯著性檢坂界值，通過查q值表得到.精選資料，歡迎下載3.確定q值越大，P值越小.q值如大于為 q$界值，®,JP<0.05; q值如大于小 口】界值， 則 PSQL4判斷結果：ftlP<0.Q5i則記一”號:如PSQL則記二個“”號；如40,05,則無 符號.例5中,不同區(qū)域的氨氧化物含量之間也有高度顯著性差異，因此，也可以采用上

38、述方 法衽行兩兩比較.例6 （各組樣本含量不盡相同）調(diào)查某草原植物中有機氯農(nóng)藥的含量，由于其數(shù)據(jù)服從 對數(shù)正態(tài)分布，因此，將其幾何均數(shù)的對數(shù)值作方差分析，結果各種植物的有機氯農(nóng)藥含 量有高度顯著性差異,求各均數(shù)之間的兩兩比茨結果,已知】ME俎內(nèi)=0.口5況，u=43.L檢騎假設：各總體均數(shù)兩兩相等.工計篁q值:先將各組均數(shù)由大到d嚼組很；精選資料，歡迎下載均數(shù)組次123456均數(shù)（對數(shù)值）-0.7373 -1.01251 06571408-1.1463-1.4313植物名稱泠高短,花針若芨技單戈壁針茅其它克氏針葬樣本含量（口）S5S5205求客組樣本含量的均救（%）:6-149求£寶

39、T -1X 金 J(p 0596V 7.5= 0.09q值的計算方法與上例相同。3.確定P值與判斷結果如表 一13所示。表一 13各均數(shù)間的兩兩比較比較組差數(shù)aqq的界值結論(A 與 B)(Xa-X£)P=0.05 P-0.01(2)(4)=里 0 09（7）】與60.644067.164 23 5.111與50 359053 35434 93I與40 353543.933.79 4.701與30.278433.093.44 4.371與20 225222 502.863 822與60.418S54.654 04 4.932與5013兆41.453.794.702與40 12833L

40、433.44 4 372與30.053222.S6 3,S23與60 365644 063.73 4.703與50.D80633.44 4.373與40.075122,86 3.824與自0 290533 233.444 374與50 005522 86 3.825與60.285023.172.S6 3.327.多個實驗蛆與對照組均數(shù)的兩兩匕威在環(huán)境科學研究中，常常涉及多個實驗組與一個共同的對照蛆進行比粒.如在城市大氣 環(huán)境監(jiān)測時，常按功能區(qū)布采樣點，并諛一個清潔對照點.實瞳結果經(jīng)方差分析各組均 數(shù)有顯著性差異，進一步作兩兩比較時，若只需將實驗組與對照蛆比較，而各實臉蛆間不 作相互比較時，可用

41、本節(jié)介紹的方法進行檢酷，即Dunnett檢驗法（q值檢驗法）.例7對某中藥抑癌作用的研究中，先使一批小白鼠致癌，然后分為四組，三個實驗組和 一個對照組.各組的處理如下：第§，用30%該中藥注射液0.5ml實黨組 隨】用30%該中藥注射液LDmlC組：用30%該中藥注射液1.5ml對照組一等量生理鹽水經(jīng)過相同的實驗期后，測定四組小白鼠的腫癖重量，測定結果如表一14所示.試分析三 種劑量的抑痛作用.*-14某中藥對小白鼠的抑痛作用，腫瘤重量(g)對照組實睡組ABC3.63.0043.34.52.31.71.24.224130.04.41.14 52.7374.03 63.05.6371.

42、33.27.02.13.20.64.11.93 01.45.02.62.11.24.51.3252.1合計»vx. 7u內(nèi)46625.024613.7114 9(即1010101040 (n)W4.662.502 461.S72.87 (T)226.32703073.1447.03416.75 (5LTa)7.1 先作四組均數(shù)間比較的方差分析1.檢嗡假設：四組均數(shù)間無顯著性差異.2計尊:114 *0 = -= 330 0540SS= 416.79-330,05= 86.74330.05=45.0946S + 25 02 + 24£ + lg7io33=86.74-45 09

43、 = 41.653,列方差分析表:r ,表一方15方差分析表國變異來源SSDMSFP總變異86.7439組間變異45 09315.031299 <0.01組內(nèi)變異41.653d1 15694.確定P值；根據(jù)u3, %=我查方差分析用F®表得P© 0L5,判斷結果：由于p疑團，因此，四組均數(shù)間有高度顯著性差異口7.2三個實嗡蛆加數(shù)與一個對照蛆均效間的兩兩比較1.將各組均數(shù)（包括對照組）從大到小排列編蛆；均數(shù)組次（i）均數(shù) f 無）4 662 502 461.87組別 對照組A實警B實魄Cg2計篝*-Z）與q'iS，精選資料，歡迎下載(47)公式47用于各組樣本含

44、量相等時.(2x1,15694 160 481精選資料，歡迎下載當各組樣本含量不盡相同時，可用公式45先計算4,迭后再計算S總Xa-Xb(43)本例對比組有11與4、1與3% 1與2三組，其a值分別為小3、區(qū)1與4組：年產(chǎn)=5年0,乳。妙網(wǎng)= 3.09, <0 014 66-2.461 與湖；“二0 481二457，乳小阿二2一95,尸 <0.011與溺才二”:二任二 457 -劭岬，硼=4.49，F(xiàn)<0 01 UHO 13,確定p1i*根據(jù)a與遒q界值表得出以上結論.4,判斷結果：由于三組實晚組均數(shù)與對照組有高度顯著性差異，因此，可以認為該中藥三種劑篦均有 抑癌作用口&am

45、p; F檢驗、t檢驗、q值檢驗及b值檢嗡之間的關系F檢魄 t檢驗、q值檢驗及d值檢驗方法，都是計量數(shù)據(jù)中均數(shù)分析最常用的方法,這四 種方法都有各自的數(shù)學理論依據(jù)，但是，它們之間又有一些聯(lián)系.8.1 F檢驗與t檢猿的關系當比較兩個均數(shù)時，從同一資料計算得F11和t值有以下關系，4-£（49）由于是兩均數(shù)比較，因此，組間變異的自由度（內(nèi)）為1，組內(nèi)變異的自由度（）與t 檢嗡時的自由度相同.例8某地測定了 11例急性克山病患者與13例克山病區(qū)健康人的血磷（mg%），資料如表-16,試上限兩組均數(shù)有無顯著性差異.已計算得=2 539，查f界值表得P<0 Q5.以下進行方差分析，以說明F

46、值與t值的關系.表一 克山病患者與健康人血磷含量的比較Cm%)患者組健康人組2.601.673.241.P83.731.983.732.334 322.344.732,505.183.605.583.735.7S4J46.404.176.534.574.825.78合計51.S243.6155.43 (£Y)111324 (n)訪4.7113 3553.976 (T)£后 j-i261.09 胡166.7113427.3081 (Sir2)表一17方差分析表變異來源SSVMSFP總變異48 354623組間殳異10 P606110 915065.449<005組內(nèi)變舁

47、37 3940塞1 65977 = 7449 = 2,539 = /可見在兩組均數(shù)比較時，方差分析與t檢酷的效果完全一樣.8.2 q檢嗡與q檢驗的關系1 .當時，同一涿準和同一自由度的q界值與f界值的意義是一樣的，檢騎的效果也是 一樣的.2 .當62時，q1值檢驗的把握度高于q值檢驗.即在同樣的箝中 磔件下，q1值比q值較易 達到顯著性水準，而且，遜大（扇u不變），差別也越大,u越大（占口不變），差別略 有縮小口因此，多個實驗蛆馬一個對照組均數(shù)比較時，用q值檢驗可得到較好的效果.8.3 q值，q1值檢猿與檢驗的關系1 .當比較兩個樣本均數(shù)時匕=2，它們的關系如下工八上(50)2 .當比較多個樣

48、本場數(shù)時，q與仃值檢驗的把握度高于t檢瑜.同四口用t檢臉對多個樣本均 藪進行兩兩比較時，會丟失部分信息.3 .4 F檢驗與q值 q1值檢驗一般認為，當F檢嗑結果多個樣本均數(shù)之間無顯著性差異時，沒必要再進行的數(shù)間的兩 兩比較.但是，在分析實際資料時，如襤驗的各統(tǒng)計量在其界限值鄰近處時，結論應當特 別慎重，此時尤其要重視q或寸值檢喊結果.否則，可能會出現(xiàn)以下情況.L經(jīng)F檢臉多蛆樣本均數(shù)之間無顯著性差異，而q或咽1檢晚的結詒卻得出“對比的某兩個 均數(shù)有顯著性差異Z2.經(jīng)F檢驗多組樣本均數(shù)之間有顯著性差異，而q或丫值檢晚的結論為，各均數(shù)間無顯著性 差異，即提不出任何一對有差異的均效來.9塊項的估計（雙

49、因素多個樣本均數(shù)比較時）當實驗數(shù)據(jù)有時由于偶然的原因或工作中的過失而出現(xiàn)映項時，如無法或不宜補做 者，可采用對減項的估計.所補入的估計值實際上是一種經(jīng)過加工的“均數(shù)”，它將值方差 分析中受補人數(shù)據(jù)的惠響為最小口補進缺嗔敬信的意義僅僅是為了能按原設計的 方法進行分析，而絕不是以此噌加資料的信息.因此,應當盡量避免缺血的產(chǎn)生.通常只對一、二個缺項作估計，如缺項太多，不但估計值的計篁不易穩(wěn)定，而且也難 以得出準確的誤差值.因此，可改用單因素均數(shù)間的比較.91有一個缺麻時的估計1 .計算估計值：(51)無_ *bB-&公式£51中，X為時微項的估計值;t為處理組數(shù)；b為配伍坦數(shù)，T為X所在處理組內(nèi)實 有觀察值之和；B為乂所在配伍組內(nèi)實有觀察值之和；S為實有全部觀察值之和.2 .計算1就處理與MS配/偏差值;MS處JS偏差值二L3)精選資料，歡迎下載3)由于包括估計值在內(nèi)計尊的MS弛理和MS配花邰偏高，因此，必須從中減去偏差值，予以 校正.o3,自由度，由于缺項補入的估計值