(完整word版)應用回歸分析,第2章課后習題參考答案匯總(word文檔良心出品)

1、第二章一元線性回歸分析思考與練習參考答案2.1 一元線性回歸有哪些基本假定？答：假設1、解釋變量X是確定性變量，Y是隨機變量；假設2、隨機誤差項e具有零均值、同方差和不序列相關性:E( e)=0i=1,2,nVar (i)=。2i=1,2,nCov( i, j)=0i wj i,j= 1,2,，n假設3、隨機誤差項e與解釋變量X之間不相關:Cov(Xi, i)=0i=1,2,，n假設4、e服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布iN(0,仃2)i=1,2,，n2.2 考慮過原點的線性回歸模型Yi= 3iXi+ a i=1,2,，n誤差& (i=1,2,)n仍滿足基本假定。求 自的最小二乘估計解:

2、nnQe =Z (Yi -Y?)2 = (Yi 邑 Xi)2 i =1i=1Qe = 2. (Yi /Xi)Xi =0二？1i 1n” (XiYJ i dnx (Xi2)i T2.3 證明(2.27 式)，工ei =0 ,工eiXi=0 。nnQ=Z (Y -Y?)2 =S (Y -(K+因XJ)2證明：11其中：葉=用+歌 e=Y-Y?I (向+A37= o|Vo+/?rVj-T；)A； = 0即:三 eiXi=02.4 回歸方程E (Y)=向+自X的參數(shù) 亂例的最小二乘估計與最大似然估計在什 么條件下等價？給出證明。答：由于 e iN(0,仃2)i=1,2,，n所以 Yi=0 + X +

3、qN (向+ iXi ,仃2 )最大似然函數(shù)：一 一 2-n2n/217- 一2L( 0, 1,02) =nLfi(Yi) =(2二二 2)exp Yi -( 01 0,Xi)22 ijcm)n91，ncc9LnL( 0, 1,二 2)= -2 二二2)一2% Yi -( 01 0,X i )222 ij使彳3Ln (L)最大的網，邑就是由，伉的最大似然估計值。同時發(fā)現(xiàn)使得Ln (L)最大就是使得下式最小， nnQ = (Y T)2 = (Y-(凡+ Xi)2 11上式恰好就是最小二乘估計的目標函數(shù)相同。值得注意的是：最大似然估計是在iN(0,。2)的假設下求得，最小二乘估計則不要求分布假設。

4、所以在iN(0,仃2 )的條件下，參數(shù)亂代的最小二乘估計與最大似然估 計等價。2.5 證明穌是由的無偏估計。n _ n x _ x證明：E(彳)=E(Y- ZX)= E-x Yi - X iYi)nid Lxx二 En (l_X)Yi = En (口一 XA)。,)i=1 nLxxy nLxx=E 0 ： P -X，i=1 nLxx2.6證明證明：)曾=九十 PX告二X)E(M) = P0i T nLxxVar( ?0)=(工X)，2 =二 2p -X-)n Xi X 2n Lxxi 1Var(?0) =VarJ - XXi X(- X jXjX)2Var( 0Xi i)U nLxxV nLx

5、x1 2_ X X一()2 -2X ii4 nnLxx(XXi XLxxr1 X、2 二n小2.7 證明平方和分解公式：SST=SSE+SSR證明:SST = (Yi -Y 2 = M Y?)+(Y?Y2=z_ 2 n_ nY? Y2V Yi Y?)(Y? Y 八 Yid)2=(Yi Y2 +Z (Yi i) 2 =SSR +SSE i=12.8驗證三種檢驗的關系,即驗證:(2)u SSR/1F 二SSE/(n -2)c?2=t2證明：（1）t ?Lxx一 ；？yy Lxx.c? Lxx - SSE(Lxx(n-2) - . SSE (n - 2) 一，SSE SST 一，1 一 r2(2)s

6、src(?-y)2 = (?1xi -y)2 =、(y 備Xi-X)-y)2=E (耳(xX)2”2Lxxi=1l SSR/1F 二?2hSS日(n -2)2.9 驗證(2.63)式:1 Var(ei )=(1 -1 n(xi -x)2Lxx證明:var(e ) = var( X y?) = var( x) + var( y?) 2cov( yi, y?)= var(V)+var(用 +) -2cov( yi, y + 用3 1)(為-x)22 1 (xi -x) -2； -=1（xx）Lxx二2Cov(yi,y ?i(Xi X)=Cov(yi, y) Cov(yi, ?i(Xi X)nn其中

7、:1 (xi - x)、= Cov(yi,yi) (xi - x)Cov(y-y )n i 1iL xx2 21 _ 2 (xi - X) _ 21 (xi - X) 2=；.- = (一 - ) _nLxxn Lxx2.10用第9題證明 n-2是的無偏估計量證明：1 n1noE(；22) =-E(yi -？)2 =- E(e2)n -2 yn -2 T1 J / 1 ,1 (x -x)22二一var(s)二一-y 1 -(卜n _ 2 i 4n _ 2 i 4 nLxx122=(n2)。=：;n -22.11驗證決定系數(shù)與F值之間的關系式2 F r 二F n-2證明：2 SSR SSR1r

8、二 SST SSR SSE 1 SSE/SSR1二n21 SSR/(SSE/(n -2)1Fd n -2 F n -21 - F2.14為了調查某廣告對銷售收入的影響， 某商店記錄了 5個月的銷售收入y （萬元）和廣告費用x （萬元），數(shù)據(jù)見表2.6,要求用手工計算：表2.6月份12345X12345Y1010202040（1）畫散點圖（略）（2） X與Y是否大致呈線性關系?答：從散點圖看，X與Y大致呈線性關系(3)用最小二乘法估計求出回歸方程。計算表XY一 2(Xi -X)一 2(Yi Y)(Xi _X)(Yi _Y)Y?(Y?-Y)2(Y?-Yi)21104100206(-14) 2(-4

9、) 221011001013(-7) 2(3) 2320000200042010027727254044004034142(-6) 2和15100和 Lxx=10Lyy=600和 Lxy=70和100SSR=490SSE=110均3均20均20Lw70M7，*iX回歸方程為：Y?=阿+I?X = 1+7X(4)求回歸標準誤差所以先求SSR (Qe)見計算表。qQe110-？6.055.,n-23(5)給用，耳的置信度為95%的區(qū)間估計；由于(1-口)的置信度下，f?的置信區(qū)間是(現(xiàn)-7?,? + %/5?)查表可得 t /2(n-2)=to.o25(3) =3.182。?236.667S ?1

10、.915所以？的95%的區(qū)間估計為:1 Lxx. 10(73.182*1.915, 7+3.182*1.915),即(0.906,13.094)y 1X2氣=?(nL、x)1 2536.667() = 6.3515 10所以?0的 95%的區(qū)間估計為：(-1-3.182*6.351, -1+3.182*6.351),即(-21.211,19.211)。P0的置信區(qū)間包含0,表示P0不顯著“ SSR SSRSST Lyy490600= 0.817(6)計算x和y的決定系數(shù)說明回歸方程的擬合優(yōu)度高。(7)對回歸方程作方差分析方差分析表方差來源平方和自由度F值SSR490149013.364SSE1

11、10336.667SST6004F值= 13.364F 0.05(1,3)=10.13(當5=1m2=8時,%=0.05查表得對應的值為10.13)，所以拒絕原假設，說明回歸方程顯著。(8)做回歸系數(shù)01的顯著性檢驗H0: P 1=0t =舀/S? =7/1.915 = 3.656t值=3.656t 0.05/2(3)=3.182,所以拒絕原假設，說明x對Y有顯著的影 響。(8)做相關系數(shù)R的顯著性檢驗R = R2 = SSR = 0.817 = 0.904 SSTR值=0.904R 0.05(3)=0.878,所以接受原假設，說明x和Y有顯著的 線性關系。(9)對回歸方程作殘差圖并作相應的分

12、析殘差圖(略).從殘差圖上看出，殘差是圍繞e=0在一個固定的帶子里隨 機波動，基本滿足模型的假設eiN(0, 22，但由于樣本量太少，所以誤差 較大.(10)求廣告費用為4.2萬元時，銷售收入將達到多少？并給出置信度為95%的 置信區(qū)間.解：當=4.2時，Y0 = ?0?,=1 7 4.2 = 28.4所以廣告費用為4.2萬元時，銷售收入將達到28.4萬元.由于置信度為1-a時，Yo估計值的置信區(qū)間為：Yo-t：Sy?丫Y0：二 Y0t：Sy?y2 Yo- 0-2 丫0-丫0qq2 1( X 0 - X )1 1.44 xSY? Y = ? (136.667(1 -)工 0nLxx.510所以

13、求得Yo的95%的置信區(qū)間為：6.05932 ,50.74068預測誤差較大.2.15 一家保險公司十分關心其總公司營業(yè)部加班的制度，決定認真調查一下現(xiàn)狀。經過十周時間，收集了每周加班工作時間的數(shù)據(jù)和簽發(fā)的新保單數(shù)目，x為每周新簽發(fā)的保單數(shù)目，y為每周加班工作時間(小時)。見表2.7。表 2.7周序號12345678910X825215107055048092013503256701215Y3.51.04.02.01.03.04.51.53.05.01、畫散點圖散點圖5.0 每周加 4.0 一班工作,3.0 時間（小 2.0 時）1.0 OO0&O。GOOO111111120040060080

14、0100012001400每周簽發(fā)的新保單數(shù)目2、由散點圖可以看出,x與y之間大致呈線性關系3、用最小二乘法求出回歸系數(shù)回歸系數(shù)顯著性檢驗表a模型未標準化系數(shù)標準化系數(shù)tP直95%回歸系數(shù)的置信區(qū)間B標準誤下限上限1(Constant).118.355.333.748-.701.937每周簽發(fā)的新保單數(shù)目.004.000.9498.509.000.003.005a. Dependent Variable：周加班工作時間（小時）由表可知：?0 =0.118 ?1 = 0.00 35 9回歸方程為：夕=0.118+0.00359X4、求回歸標準誤差?方差分析表b模型平方和自由度均方FP值1回歸16

15、.682116.68272.396.000 a殘差1.8438.230總和18.5259a. Predictors: （Constant）, 每周 簽發(fā) 的新 保單 數(shù)目b. Dependent Var iable:每周 加班 工作時間（小時）由方差分析表可以得到：SSE=1.843A 2故回歸標準誤差仃=壁，仃=0.48n 25、給出回歸系數(shù)的置信度為95%的區(qū)間估計回歸系數(shù)顯著性檢驗表a模型未標準化系數(shù)標準化系數(shù)tP195%回歸系數(shù)的置信區(qū)間B標準誤3下限上限1(Constant).118.355.333.748-.701.937每周簽發(fā)的新保單數(shù)目.004.000.9498.509.00

16、0.003.005a. Dependent Variables周加班工作時間（小時）由回歸系數(shù)顯著性檢驗表可以看出，當置信度為95%時：*0的預測區(qū)間為-0.701,0.937,61的預測區(qū)間為0.003,0.005.瓦的置信區(qū)間包含0,表示瓦不拒絕為零的假設。模型概要b模型R決定系 數(shù)調整后的 決定系數(shù)估計值的標 準誤差Durbin-Wats on1.949 a.900.888.4800.753a. Predictor s: (Constant), 每周簽發(fā)的新保單數(shù)目b. Dependent Vari able:每 周加 班 工作時 間(小 時)6、決定系數(shù)由模型概要表得到決定系數(shù)為0.9

17、接近于1,說明模型的擬合優(yōu)度高方差分析表b模型平方和自由度均方FP值1回歸16.682116.68272.396.000 a殘差1.8438.230總和18.5259a. Predictors: （Constant）, 每周 簽發(fā) 的新保單 數(shù)目b. Dependent Var iable:每周加班 工作 時間（小時）7.對回歸方程作方差分析由方差分析表可知：F值=72.3965.32（當星=1門2=8時,查表得對應的值為5.32）P值=0,所以拒絕原假設，說明回歸方程顯著。8、對3的顯著性檢驗從上面回歸系數(shù)顯著性檢驗表可以得到 Pi的t統(tǒng)計量為t=8.509 , 所對應的p值近似為0,通過t

18、檢驗。說明每周簽發(fā)的新保單數(shù)目x對每 周加班工作時間y有顯著的影響。9.做相關系數(shù)顯著性檢驗相關分析表每周簽發(fā)的 新保單數(shù)目每周加班 工作時間 （小時）每周簽發(fā)的新保單數(shù)目Pearson Correlation1.949*Sig. (2-tailed).000N1010每周加班工作時間（小Pearson Correlation.949*1時）Sig. (2-tailed).000N1010*.Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).相關系數(shù)達到0.949,說明x與y顯著線性相關。10、對回歸方程作殘 差圖并作相應分析從殘差

19、圖上看出，殘 差是圍繞e=0隨即波 動，滿足模型的基本 假設。0.600000.30000 _未標 0.00000 _準化殘-0.30000 差-0.60000 一-0.90000殘差圖20040060080010001200每周簽發(fā)的新保單數(shù)目140011、該公司預計下一周簽發(fā)新保單 X0=1000張,需要的加班時間是多少？當X0=1000 張時，y =0.118 + 0.00359* 1000 = 3.7032 小時12、給出Y。的置信水平為95%的預測區(qū)間通過SPSS運算得到Y0的置信水平為95%的預測區(qū)間為:(2.5195 , 4.8870 )13給出E （Y0）的置信水平為95%的預

20、測區(qū)間(3.284,通過SPSS運算得到Y0的置信水平為95%的預測區(qū)間為:4.123）。2.16 表是1985年美國50個州和哥倫比亞特區(qū)公立學校中教師的人均年工資 y（美元）和學生的人均經費投入x（美元）.序號yX序號yX序號yX119583334618208163059351953826422202633114191809529673620460312432032535542020939328537214192752426800454221226443914382516034295294704669222462445173922482394762661048882327186434940

21、209692509730678571024339905020412722454408271705536252338235944225892404292585341682620627282143226443402102450035472722795336644246402829112427431592821570292045223412297122717036212922080298046256102932133016837823022250373147260153705142652542473120940285348257884123152736039823221800253349291323608162169035683322934272950414808349172197431553418443230551258453766解答：（1）繪制y對x的散點圖，可以用直線回歸描述兩者之間的關系嗎?4 0 0 0 0.03 5 0 0 0.03 0 0 0 0.02 5 0 0 0.02 0 0 0 0.02 0 0 0.0 030 00.0 04 0 0 0.0 0500 0.0 06