1988年全國高考數(shù)學試題

1、1988年試題(理工農(nóng)醫(yī)類)一、本題每一個小題都給出代號為 A B、C、D的四個結論，其中只有一個是正確的，把你認 為正確的結論的代號寫在題后的括號內(nèi).1 _ t(看產(chǎn)的值等于1+1(A)1(B)-1 (C)I (D)-iKey一、本題考查基本概念和基本運算.B設圓M勺方程為(x-3) 2+(y-2) 2=2，直線L的方程為x+y-3=0，點P的坐標為(2,1),那么(A)點P在直線L上，但不在圓Mb(B)點P在圓Mt:，但不在直線L上(C)點P既在圓Mt,又在直線L上(D)點P既不在圓Mt，也不在直線L上Key (2)C集合1,2,3的子集總共有(A)7 個(B)8 個(C)6 個(D)5

2、個Key (3)B己知取曲線方程= L那么它的焦距是(A)10 (B)5【 1Key (4)A(5)在值-后'。的展開式中,x 6的系數(shù)是-27C；口6)274©TC；q)9/r第1頁共14頁Key (5)D(6)函數(shù)y=cos4x-sin 4x的最小正周期是(A)兀(B)2 九7T(Qy)4Tl【 1Key (6)A(7)方程5cos笠+3=0的解集是(A”笈|笈=女霸+(】)k , keZ，(B)卜| 3kTT+(1尸k ezkL3 d (C)h x = 2k7T± , kezk6(D) x | x = 2kn±y, k ez1.【 1KeyC極坐標方

3、程p =工:白所表示的曲線是(A)圓(B)雙曲線右支(C)拋物線(D)橢圓Key (8)D 如圖，正四棱臺中，A，D，所在的直線與BB所在的直線是(A)相交直線(B)平行直線(C)不互相垂直的異面直線(D)互相垂直的異面直線D' CJ第2頁共14頁Key (14)B第4頁共14頁(10)電(ajTtg： + arctg3)的值等于(A) 4(B) A©之)8oKey (10)D(11)設命題甲：AABC勺一個內(nèi)角為60° .命題乙： ABC勺三個內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列.那么(A)甲是乙的充分條件，但不是必要條件(B)甲是乙的必要條件，但不是充分條件(C)甲是乙的充要條

4、件(D)甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件Key (11)C則z所對應的點Z的集合構成的圖形是(12)復平面內(nèi)，若復數(shù)z滿足| z+1 | = | z-i(A)圓(B)直線 (C)橢圓 (D)雙曲線Key (12)B(13)如果曲線x2-y2-2x-2y-1=0經(jīng)過平移坐標軸后的新方程為-川小 那么新坐標系的原點在原坐標系中的坐標為(A)(1,1)(B)(-1,-1)(C)(-1,1)(D)(1,-1)Key (13)D (14)假設在200件產(chǎn)品中有3件是次品，現(xiàn)在從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有種或弓貝十出竦卯種(。片0貝和)C藐-c；c篙種(15)如圖,二面角a AB B

5、的平面角是銳角。是面a內(nèi)的一點(它不在棱AB 上)，點皿點C&面B上的射影，點皿棱AB1滿足/ CE的銳角的任意一點，那么(A) / CEB/ DEB(B) /CEBW DEB(C) /CEBa DEB(D) /CEBf / DEB勺大小關系不能確定Key (15)A、只要求直接寫出結果.求復數(shù)At的模和輻角的主值.(2)解方程 9'K-2 31F2T.己知士1。= -3k < 6 < ,求坨羨的值.如圖,四棱椎S-ABCD的底面是邊長為1的正方形,惻棱SB垂直于 底面,并且SB =的,用口袤示/ ASD,求sin 口的值.(5)已知等比數(shù)列an的公比q>1,

6、并且ai=b(b w0),求. %十 自力+a?+十、li m a6 +即+期+% Key 二、本題考查基礎知識和基本運算，只需要寫出結果.(1)2, ?筑> 2 凸 里 (5)1.6三、己知tg”丸求如+仙泰的值3cosx + cos3Key解法一三、本題主要考查三角公式和進行三角式的恒等變形的能力3sinx + sin3x3cosx + cos3x2sinx + sinz + sin3):2cosk + cosk + cos 3k2；sinx + 2sin2xcosx2cosx + 2cos2xcosx2sinx + 4sinxcos k2cos/(1 + cos2k)tgx(l +

7、 2cos x)2cos2m=1(scc1x + 2) =粵(暗為 + 3)解法二：原式=3sinK + sin(2x + k)3cosx + cos(2k + x)3sinx + sin2iicosx + cos2xsinx3cosx + cos2xcosx - sin2xsinxsinx(3 + 2cos x +cos2x)cosx(3 + cos2x -2sin z)二tgx4cos k + 24 -4sin"x2gx + l= (2 + l + tg、) w第14頁共14頁解法三:原式二Ssinx + 3sinx -4sirLxScosx + 4cos3x - 3cosxtg

8、x . 1 +2cosax2 cos x=-(sec2x + 2)= (l + tgax + 2)解法四:原式=3sinx + 3£iiix -4sin3x38s父 +4cos3h -3cosh6sinn -4sin3x 4cos3xa 33tgxsec k - 2tg x23tgK + 3tg 隈-2tg3x 2九g流+電隈3a + a3-2四、如圖，正三棱錐S-ABC勺側面是邊長為a的正三角形，D是SA勺中點,E是BC勺中點，求4SDE 繞直線SES轉一周所得到白旋轉體的體積.SBKey 四、本題主要考查空間想象能力、體積計算等知識和推理能力.解法一：連接AE,因為SBC3 AB

9、嘟是邊長為a的正三角形,并且SEKA的別是它們的中線 所以SE=AE從而4SE池等腰三角形,由于皿SA勺中點，所以EDLSA.作DF, SE,交SET點F.考慮直ijA SDE勺面積，得到-SE DF=-SD DE, 22所以rDF = ，-二李本2 g 6a2所求的旋轉體的體積是以DW底面半徑，分別以SFffiE四高的兩個圓率t的體積的和，即（手可3.郎+：河（自y -ef_ O3O旦解法二：連結BD.因為BD1正三角形SBA勺中線，所以BD, SA.連結CD,同理CD! SA.于是S 平面BDC所以SAL DE.作DF_L SE,交SET點F.在直角 SD4,SC2=SF- SE,于是SE

10、 asm60°所以 DF = 7SD3 - SF1 =收了 -用 a)1ft一0事燈也 6hr = bE br = a. - a = a. 263所求的旋轉體的體積為Vs=Va,17r i亞根,石J F 一樂熄一晅、冗 (-a)-a +(- a) (曲56。56J(3tI3 1后兀3 兀a +a -*3610854FDCB五、設月村 口上瞰3年/與1岬 =1的大小r并證明你的結論.UUKey解法一五、本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質，以及運用重要不等式解決問題的能力,t+i川爾加=i限一FU當且僅當加=%，即t = i時，取"="號.市+ :，當t = 1時，1密六匚=

11、0,Man t + 1 1 1即log*7- = 5logj.dLi當醫(yī)1時，1俎q滬3限t,此時分兩種情況.-W-U-情形 1 : 0<a<1.二五 > L2-I- H 1 t+ 11于是1謔,丁/W情形2 : a>1.Vt + ；.2 >b1 嗎>0，-I- B 1 t + 11于是 1限丁 >或收匕解法二：當t>0時，由重要不等式可得當且僅當t=1時取“二”號.，t = l時，log4 =103日 n 1 t +11即 1%虧= $logj,當0<a<1時,y=log ax是減函數(shù),所以log. ? ap i嗚卷當a>1時

12、,y=log ax是增函數(shù), 所以10久率>1通也工,It + 1 hlog.、1 >力空/UUi解法三：因為t>0,又有t2 +2t + l當且僅當t=1時取“二”號, 所以粵)幾當且僅當t=1時取“二”號. 以下同解法二.六、給定實數(shù)a,aw0,且a*1設函數(shù)y = -7R,且x產(chǎn)工).an -1a證明(1)經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸;(2)這個函數(shù)的圖象關于直線y=x成軸對稱圖形.Key六、本題主要考查考生在正確理解數(shù)學概念(函數(shù)的圖象的概念，軸對稱圖形的概念等)的基礎上進行推理的能力，以及靈活運用學過的代數(shù)和解析幾何的知識(互為反函數(shù)的圖象之

13、間的關系，兩條直線平行的條件等)解決問題的能力.證法一：(1)設M(x1,y 1),M2(x2,y2)是這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點,則的力叼，且y 1 二月二;-旦三- 1 %-1篇1 笈二- axx + 1-(3X2 一 乂一湛三 +1)的一 1)畫 1)=區(qū) f)("D(%-1)31-1); aw1,且x1wx2, y2-y”0.從而直線Ml電的斜率k =%一為r 0,芯口 -芯1因此,M1M不平行于x軸.Q)設點PR, y)是這個函數(shù)的圖象上任意一點，則/盧L 且 a易知點/)關于直線¥ =寰的對稱點？的坐標為伊，又) 由北諄yf(axr- 1) =sf- 1,即

14、 x (ayf - 1) = yr - 1,即，由此得a=1,與已知矛盾,，對一序0.于是由式得r y'lX ayf -1這說明點切在已知函數(shù)的圖象上，因此,這個函數(shù)的圖象關 于直線y = K成軸對稱圖形.證法二：(1)設M(x1,y 1),M2(x2,y2)是這個函數(shù)的圖象上任意兩個不同的點,則X1WX2.假如直線MM2平行于x軸，那么y1=y2,即勺-1 _3Jaxj -1 aza -1"亦即(x1-1)(ax 21)=(x 21)(ax 1-1), 整理得 a(x 1-x 2)=x 1-x 2,因為x1wx2,所以a=1,這與已知矛盾. 因此MM2不平行于x軸.(2)先

15、求所給函數(shù)的反函數(shù)：由y =三=(虻及之聲3, acc -1a得 y(ax-1)=x-1, 即 (ay-1)x=y-1.假如y-l = O,貝Uy = L代入所給函數(shù)的解析式，得 a1x-1a ax -1 即 ax-a=ax-1,由此得a=1,與已知矛盾，所以ay-1 w0.因此得到笈二二，其中ay -1a這表明函數(shù)了 =工匚 值£R,且汽盧1)的反函數(shù)是 ax-1ay 二三士(xt R,且jsrL) ax -1a由于函數(shù)y=f(x)的圖象和它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱.所以函數(shù)y =二二&E R,且*聲3的圖象關于直線y = x成轉對稱圖形， ax -

16、 1a證法三： 任取一條與x軸平行的直線L,則l的方程為y=c（c為常數(shù)）. 考慮L與所給函數(shù)的圖象是否相交以及交點數(shù)目的情況.將代入得c（ax-1）=x-1,即（ca-1）x=c-1.當c時，由式變成a由此得a=L這與已知矛盾，這說明當c = 1時原方程組無解， a從而直線L與所給函數(shù)的圖象無交點.當c盧1時，由式解得 ac -1 x=-, ca-1這說明原方程組恰有一個解，從而直線L與所給函數(shù)的圖象恰有一個交點.綜上述,平行于x軸的直線與所給函數(shù)的圖象或者不相交，或者恰有一個交點 因此，經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于 x軸.（2）同證法一或證法二.七，如圖，直線L的方程笈

17、=-，其中p > 0,橢圓的中心為DQ + £,0）, 焦點在芯軸上，長半軸長為2,短半軸長為1,它的一個頂點為A弓問P在哪個范圍內(nèi)取值時.橢圓上有四個不同的點.它們中每一個點 到點A的距離等于該點到直緋的距離.Key 七、本題主要考查考生利用方程研究曲線性質的能力，以及綜合運用學過的代數(shù)知識（一元二次方程的判別式，根與系數(shù)的關系，解二元二次方程組，解不等式等）去解題 的能力.解法一：假定橢圓上有符合題意的四個點，則這四個點的坐標都應滿足下面的橢圓方程：3-C2+I)3M-十y-， 4又這四個點的坐標應滿足下面的拋物線方程y2=2px,從而它們都是下面的方程組的解：收42+勒工

18、一+r=1，、r-2px.將式代入式，得x-Q +肘+如=4 .2即 x2 +(7p -4)x +2p = 0.由于上述方程組有4個不同的實數(shù)解，所以方程的判別式應大于零，即C7p-4)i-4(- + 2p)>0,整理得 3P 2-4p+1>0,解此不等式得p>1,或由已知，橢圓上的點的橫坐標都大于零，所以方程的兩個根應都為正數(shù)，于是得7P-4<0, 解此不等式得P <|由、以及已知條件得反之.當口 cp eg時，方程的判別式大于零，從而方程有兩個不相等的實數(shù)才既卜犯，又由于方程的常數(shù)項 + 2p>0, 一次項系數(shù)7P-4<0,所以xi,x 2都為正數(shù).把X1及X2分別代入中,可解得% =枷叼,y廣一抬向,為=平眸，% =一柢町.顯然yi,y 2,y 3,y 4兩兩不相等.由于(x i,y i)適合式和式，從而也適合式，因此點M(x i,y i)是符合題意的點. 同理M2(x i,y 2),M3(x2,y 3),M4(x2,y 4)都是符合題意的點,并且它們是互不相同的. 綜上述，所求的p的取值范圍是0 <p <1，解法二：橢圓上有四個點符合題意的