線性代數(shù)期末考試試卷+答案合集

1、線性代數(shù)期末考試試卷+答案合集、填空題（將正確答案填在題中橫線上。每小題2分，共10分）19 / 161x 01.若2,則 X1X2X30X1X2X302 .若齊次線性方程組只有零解，則應(yīng)滿足3 .已知矩陣A' B' C （cj）sn,滿足AC CB,則A與B分別是階矩陣。a11a12a21a224 .矩陣 a31 a32的行向量組線性。215 . n階方陣A滿足A 3A E 0,則A1 。、判斷正誤（正確的在括號(hào)內(nèi)填，錯(cuò)誤的在括號(hào)內(nèi)填“x”。每小題2分，共10分）1 .若行列式D中每個(gè)元素都大于零，則 D 0。（）2 .零向量一定可以表示成任意一組向量的線性組合。（）3.向量

2、組a1，a2， ，am中，如果為與垢對(duì)應(yīng)的分量成比例，則向量組 a1, （）0 10 0a2， , as線性相關(guān)。10 0 0 A0 0 0 14.5.若0 0 1 0 ,則 A1 A。（）為可逆矩陣 A的特征值，則 A 1的特征值為三、單項(xiàng)選擇題 （每小題僅有一個(gè)正確答案，將正確答案題號(hào)填入括號(hào)內(nèi)。每小題1 .設(shè)A為n階矩陣，且A 2,則1AA（）。2n 2n12n 142分，共10分）2. n維向量組 1，2， s （3 s n ）線性無關(guān)的充要條件是（1,2，,s中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān)1，2， ,s中存在一個(gè)向量不能用其余向量線性表示1，2， s中任一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示3.

3、1,2，,下列命題中正確的是s中不含零向量（）。任意n個(gè)n 1維向量線性相關(guān)4.5.任意n個(gè)n 1維向量線性無關(guān)任意n 1個(gè)n維向量線性相關(guān)任意n 1個(gè)n維向量線性無關(guān)設(shè)A,若 可逆四、計(jì)算題1,B均為n階方陣，下面結(jié)論正確的是 （）A,2,解向量1.計(jì)算行列式 解.B均可逆，則A B可逆B可逆，則 A B可逆每小題若A,若A B可逆,B均可逆，則則 A,B均可(xc d)2.設(shè) AB A2B解.(A2E)B3.設(shè)100011 00，4是線性方程組A基礎(chǔ)解系9分，共63分）0的基礎(chǔ)解系，則通解4是AA的行向量011 0(xd)(xd)x3(A001 ,12E)B (A2E)1A20001200

4、312 04312且矩陣滿足關(guān)系式X（CB)E,12 12 aX2X3X2X3X2X3有唯一解，無解和有無窮多解？當(dāng)方程組有無窮多解4 .問a取何值時(shí)，下列向量組線性相關(guān)?x1x15 .為何值時(shí)，線性方程組x1時(shí)求其通解。當(dāng) 1且 2時(shí)，方程組有唯一解;當(dāng)2時(shí)方程組無解0C1 1 a。當(dāng)1時(shí)，有無窮多組解，通解為1213490101，,2,3- ,411376.設(shè)0317量用該極大無關(guān)組線性表示。求此向量組的秩和一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向7.設(shè) 0 2 1 ，求A的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。五、證明題（7分）若A是n階方陣，且AA I,A1，證明A 1°。其中I為單位矩陣。XXX大學(xué)線

5、性代數(shù)期末考試題答案一、填空題1. 52.13. s s ，n n4.相關(guān)5. A 3E二、判斷正誤1. X2. V3. V4. V5. X三、單項(xiàng)選擇題1.2.3.4.5.四、計(jì)算題1.x aba x bababcc dx c dc x db c x a b c x a b c x a b c2.(x a b11 c d)11b cdx b cdb x c db c x d0x0 (x a b c d)0 0 x(x a b c d)x311521B (A 2E) 1A 4(A 2E)B A2(A 2E)1213.12 3 40 12 30 0 12B)10 0 02 10 03 2 104

6、 3 2 14.a1, a2, a3100021001210012 1a121211221 a21 a212-(2a 1)2(2a 2) 8a當(dāng)2或a 1時(shí)，向量組a1，a2，a3線性相關(guān)。5.當(dāng) 1且2時(shí)，方程組有唯一解;當(dāng)2時(shí)方程組無解當(dāng) 1時(shí)，有無窮多組解，通 6.1249(a1, a2, a3, a4)11031 0 020 10 20 0 110 0 0 0則 r a1, a2, a3, a437.100E A 010021特征彳t 123 1,對(duì)于五、證明題AIA AA AI A.2 I A 0一 ? ,0C1 1C2J00131210100143703417031書中a1, a2

7、,a3構(gòu)成極大無關(guān)組,(1)300001E A 000一02 01=1,I A I AI A 0013121320 142100 0161670 0131310k 0 l 001,特征向量為01一、選擇題(本題共4小題，每小題4分，滿分16分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)符合題目要求)1、設(shè)A, B為n階方陣，滿足等式AB 0,則必有()(A) A B 0; (B) A B 0;(C) A 0或 B 0; (D) A B 0。2222、A和B均為n階矩陣，且(A B) A 2AB B ,則必有()(A) A E；(B) B E；(C) A B. (D) AB BA。3、設(shè)A為m n矩陣，

8、齊次方程組Ax 0僅有零解的充要條件是()(A) A的列向量線性無關(guān)；(B)A的列向量線性相關(guān)；(C) A的行向量線性無關(guān)；(D)A的行向量線性相關(guān).4、 n階矩陣A為奇異矩陣的充要條件是()(A) A的秩小于n ;(B)A 0 ;(C) A的特征值都等于零；(D) A的特征值都不等于零;二、填空題(本題共4小題，每題4分，滿分16分)5、若4階矩陣A的行列式A26、A為n n階矩陣，且A A121xi2 3a 2 X25, A是A的伴隨矩陣，則2E 0,則(A 2E) 1 4無解，則a8、二次型是f (X1,X2,X3)2x2c 2 x 23X2 tx3 2X1X2 2X1X3是正定的，則t

9、的取值范圍三、計(jì)算題(本題共2小題，每題8分，滿分16分)D9、計(jì)算行列式1 X 11111x11111 y 11111 y7、已知方程組1a 2x3xnxnMxn310、計(jì)算n階行列式X1 3% Lx1X2 3 LDn MMx1x2L四、證明題(本題共2小題，每小題8分，滿分16分。寫出證明過程)11、若向量組1, 2, 3線性相關(guān)，向量組 2, 3, 4線性無關(guān)。證明：(1) 1能有2, 3線性表出；(2) 4不能由1, 2, 3線性表出12、設(shè)A是n階矩方陣，E是n階單位矩陣，A E可逆，且f(A) (E A)(E A)證明(1) (E f (A)(E A) 2E .(2) f(f(A)

10、 A。五、解答題（本題共3小題，每小題12分，滿分32分。解答應(yīng)寫出文字說明或演算步驟）A13、設(shè)1 .,求一個(gè)正交矩陣P使得P AP為對(duì)角矩陣。X1X2 X314、已知方程組 求a的值。x1 2x2x1 4x2ax32a x3000與方程組x1 2x2 x3 a 1有公共解15、設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為2 13 21423354求該方程組的通解。3,已知1,2,3是它的三個(gè)解向量，且解答和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題1、C; 2、D; 3、A; 4、A。二、填空題5、-125;6、2 ；7、-1 ；8三、計(jì)算題5。9、解：第一行減第二行,x x 0011x11D00 y y111 1 y

11、第三行減第四行得:x 0001x10D00 y 0第二列減第一列，第四列減第三列得：101y按第一行展開得（4分）按第三列展開得x 0D xy1 y（4分）10、解：把各列加到第一列, 為上三角形行列式然后提取第一列的公因子inxi13,再通過行列式的變換化Dnxi1x2Lxn1x2 3LxnMMM1x2Lx3（4分）3n 1xi i 1四、證明題11、證明:、又r（ 1因?yàn)椋?）、 不妨設(shè)10 M0X23M0xn0 M32 ，3）（4分）3,3線性無關(guān)，所以線性相關(guān)，故31能由22，3線性無關(guān)。3線性表出。（4分）（反正法）若不，則4k1 1 k2卜34能由13o2, 3線性表出,由（1）知

12、,不妨設(shè)所以4這表明121能由t1 2t2k1（t1 2 t23。3 ），3線性表出,k2 2k3 32，3, 4線性相關(guān)，矛盾。、證明(1) (E f(A)(E一一1 一A) E (E A)(E A) (E A)(E A) (E一1 一一一A)(E A) (E A) (E A) (EA)2E(4分)(2) f(f(A) E1f(A)E f(A)， /口 E由（1）得：,11f(A)/ A)代入上式得f(f(A) E(E1 1 A)(E A) 2(E1A) 2(EA)(EA)(E1 1A) * A)2(EA)12(E A) A(4分)五、解答題13、解：(1)0得A的特征值為0(4分)(2)1

13、的特征向量為2的特征向量為5的特征向量為(3)因?yàn)樘卣髦挡幌嗟?1,3正交0P1P2(4)將1, 2, 3單位化得P1, P2, P3(5)121-21121-2（3分）（2分）P3(2分)1 0 01一P1AP 020(1分)即任何一個(gè)非零解都是它的(6)00514、解：該非齊次線性方程組 A b對(duì)應(yīng)的齊次方程組為Ax 0因R(A) 3 ,則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有 1個(gè)非零解構(gòu)成,基礎(chǔ)解系。(5分)另一方面，記向量2 1 ( 2 3),則A A(2 1 23) 2A 1A 2 A 32bb b 0直接計(jì)算得(3,4,5,6)T 0,就是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)知,原

14、方程組的通解為3 24 3x k 1k5 46 5 , k R。(7 分)x3ax32a x3x30,0,0,a 1.15、解：將與聯(lián)立得非齊次線性方程組：x1 2x2x1 4x2x1 2x2若此非齊次線Tt方程組有解，則與有公共解且的解即為所求全部公共解對(duì)的增廣矩陣A作初等行變換得：1 110 1a 10 0 (a 2)(a 1)0 01 a1 110-12a0A21 4 a01 21 a 1000a 1（4分）即與有公共解，其全部公共解即1。當(dāng)a 1時(shí)，有r(A) r(A) 2 3,方程組有解， 為的通解，此時(shí)10 100 10 0A0 0 0 00 0 0 0則方程組為齊次線性方程組,其

15、基礎(chǔ)解系為所以與的全部公共解為1 , k為任意常數(shù).(4分)2時(shí),有r(A) 1 0-0 1A0 00 001r(A) 3,方程組有唯一解,此時(shí)000111000x 1故方程組的解為：1 ,即與有唯一公共解1 .（4分）線性代數(shù)習(xí)題和答案第一部分選擇題（共28分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的,請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無分。aiia12a13 a11aiia12 a131.設(shè)行列式A. m+nC. n- ma2ia22二ma23 a21=n,則行列式a2ia22 a 23B. - (m+n)D. m-2.

16、設(shè)矩陣130則A-1等于（）A.0 B.120C.D.24 /163.設(shè)矩陣A. -6C. 24 , A*是A的伴隨矩陣，則A中位于（1,2）的元素是（B. 6D. t24.設(shè)A是方陣,如有矩陣關(guān)系式 AB=AC ,則必有（A. A =0C. A 0 時(shí) B=C5.已知3X 4矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩（AT）等于（）A. 1D. |A|B. 2C. 3D. 46.設(shè)兩個(gè)向量組 a 1, a 2,，as和31，3 2,3 s均線性相關(guān)，則（B. B C 時(shí) A=00 時(shí) B=CA.有不全為0的數(shù)入1, B.有不全為0的數(shù)入1, C.有不全為0的數(shù)入1, D.有不全為0的數(shù)入1,入2,，入s

17、使入1a1+入2a2+A.sa s=0和入1 3 1+入2 3 2+入s 3 s=0入 2,，入s 使入 1 ( a 1+3 1) + 入 2 (a2+32)+Xs(as+3s)=0入 2,，入s 使入 1 (“1- 31) +入 2 (a2- 3 2)+ +A.s(as-s)=0入2,，入s和不全為0的數(shù)1 1 ,(12,，(is使入10C1+入20C2+入sa s=0和J-L 1 3 1+ 2 3 2+-" + s 3 s=07 .設(shè)矩陣A的秩為r,則A中（A.所有r- 1階子式都不為0C.至少有一個(gè)r階子式不等于08 .設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組,）B.所有r- 1階子式全

18、為0D.所有r階子式都不為0刀1,刀2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（11A.刀1+打2是Ax=0的一個(gè)解C. Y 1- Y 2 是 Ax=0 的一個(gè)解9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（）B. 2刀1+2 v 2是Ax=b的一個(gè)解D.2 Y 1- Y 2是 Ax=b 的一個(gè)解A.秩（A）nB.秩（A）=n- 1C.A=0D.方程組Ax=0只有零解10.設(shè)A是一個(gè)n（3）階方陣，下列陳述中正確的是（）A.如存在數(shù)入和向量 a使Aa = X a ,則a是A的屬于特征值入的特征向量B.如存在數(shù)入和非零向量a,使（入E-A）a=0,則入是A的特征值C.A的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量D.如入

19、1,入2, 量，貝U a 1.11.設(shè)入0是矩陣A. k<3入3是A的3個(gè)互不相同的特征值，a 2, a 3有可能線性相關(guān)A的特征方程的3重根，A的屬于入a 1, a 2, a 3依次是A的屬于入1,入2,入3的特征向0的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k,則必有()B. k<3C. k=3D. k>312 .設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.|A|2 必為 1B.|A|必為 1C.A-1=ATD.A的行(列)向量組是正交單位向量組13 .設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTACU ()A.A與B相似B. A與B不等價(jià)C. A與B有相同的特征值D. A與B合同14.下

20、列矩陣中是正定矩陣的為()2A. 310C. 011D. 13 4B. 2 6102第二部分二、填空題非選擇題(共72分)(本大題共 10小題，每小題2分，共20分)不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無分。1113569 25 3615.11 112 316 .設(shè) A= 1 11 , B= 12 4 .則 A+2B=.17 .設(shè)A=(aij)33 A|=2, Aj表示|A|中元素aj的代數(shù)余子式(i,j=1,2,3)，則 (a11A21+a12A 22+a13A23)2+(a21A 21+a22A22+a23A23)2+(a31A 21+a32A22+a33A23)2=

21、.18 .設(shè)向量(2,-3, 5)與向量(-4, 6, a)線性相關(guān)，則a=.19 .設(shè)A是3X 4矩陣，其秩為3,若刀1, Y 2為非齊次線性方程組Ax=b的2個(gè)不同的解，則它的通解為.20 .設(shè)A是mxn矩陣，A的秩為r(<n),則齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有解的個(gè)數(shù)為21 .設(shè)向量a、3的長度依次為2和3,則向量a + 3與a - 3的內(nèi)積("+ 3 , a - 3 )=.22 .設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8,已知A有2個(gè)特征值-1和4,則另一特征值為 .01062133123.設(shè)矩陣A= 2 10 8 ,已知a =2是它的一個(gè)特征向量，則 a所對(duì)應(yīng)的特征

22、值為3,則其規(guī)范形為24 .設(shè)實(shí)二次型f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩為4,正慣性指數(shù)為三、計(jì)算題(本大題共7小題，每小題6分，共42分)25 .設(shè) A= 1 2 1 , B= 2 4 0 .求(1) ABT； (2) |4A|.,127.設(shè)矩陣A=2 3求矩陣B使其滿足矩陣方程AB =A+2B.21301301022428.給定向量組a3 1=a 2=41,(X 3=, (X 4 =9.試判斷a 4是否為a 12 2 ,a 3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。121022 42662102329.設(shè)矩陣A= 33334.412 31 0求：（1）秩（A）;（2） A的列向量組的一個(gè)最大

23、線性無關(guān)組。26.試計(jì)算行列式311 25 134201115 3302 223 430 .設(shè)矩陣A= 243的全部特征值為1, 1和-8.求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D,使T-1AT=D.31 .試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 222f（X1,X2,X3）=X12x2 3x3 4X1X2 4i3 4x2x3,并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共 2小題，每小題5分，共10分）32 .設(shè)方陣A滿足A3=0,試證明E-A可逆，且（E-A） -1=E+A+A2.33 .設(shè)刀0是非齊次線性方程組 Ax=b的一個(gè)特解，衛(wèi)1, E 2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.試證明（1）刀1=刀0+衛(wèi)1,刀

24、2二刀0+衛(wèi)2均是Ax=b的解；（2） Y 0, Y 1 , Y） 2 線性無關(guān)。15. 6 16.13 717.420. n- r 21. 5 22. 2 23. 1三、計(jì)算題(本大題共 7小題,1 21-Z氏 4 1 2萬刀24Z +1 23 XZ 9 22 1 Z1刀-2答案：一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）33 712022863403418101211031025.解(1) ABT=(2) 14A |=43|A|=64|

25、A|,而26.解|A|=1110所以 14A |二64(-2) =- 12827.解 AB=A+2B 即(A- 2E)28.解一,1(A- 2E) -1=1所以11J301040.B=A,1213005321035103513011301011201120224011200880011341901311200141400001641232129B=(A- 2E)- 1A =120100解二考慮4 4=X1a所以什 a 2+ a3,組合系數(shù)為2,1,1).1+X2 a 2+X3 a 3,2x1 X2X1 3x2 2X2 2X3 3x1 4x23X3 014X3 9.方程組有唯一解2,1,1)組合系數(shù)為2,1,1).29.解對(duì)矩陣A施行初等行變換A(1)(2)621=B.秩(B)=3 ，所以秩(A)=秩(B)=3.由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系,B是階梯形,的第1、2、4列是B的列向量組的一個(gè)最大線性無