相似三角形中學(xué)考試復(fù)習(xí)(知識(shí)點(diǎn)+題型分類練習(xí))40695

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案相似三角形一、知識(shí)概述1. 平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。2. 平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。3. 相似三角形的定義對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.4. 相似三角形的基本性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等. 相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。 相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比 面積比等于相似比的平方溫馨提示： 全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 所以全等三角形是相似三角形的特例其區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求

2、對(duì)應(yīng)邊成比例. 相似比具有順序性.例如ABBA AB'C'的對(duì)應(yīng)邊的比，即相似比為k，則 AB'C's ABC的相似比. ，當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r(shí)，才有k=k' =1. 相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出.5. 相似三角形的判定定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或其延長(zhǎng)線相交，所得的三角形與原三角形相似； 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似； 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。溫馨提示：(1) 判定三角形相似的幾條思路： 條件中若有平行，

3、可采用判定定理1; 條件中若有一對(duì)角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?，可再找一對(duì)角相等或找?jiàn)A邊對(duì)應(yīng)成比例； 條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等；但是，在選擇利用判定定理2時(shí)，一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等必 須是成比例兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等. 條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等或底角相等，也可找腰和底對(duì)應(yīng)成比例。(2) 在綜合題中，注意相似知識(shí)的靈活運(yùn)用，并熟練掌握線段代換、等比代換、等量代換技巧的應(yīng)用， 培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。(3) 運(yùn)用相似的知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題，要能夠在理解題意的基礎(chǔ)上，把它轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)知識(shí)的問(wèn)題， 要注意培養(yǎng)當(dāng)數(shù)學(xué)建模的思想。6. 位似 定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)

4、所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形 叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比因此，位似圖形一定是相似圖形，但 相似圖形不一定是位似圖形. 性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.注意：(1)位似圖形是相似圖形的一個(gè)特例，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.(2)兩個(gè)位似圖形不僅相似而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊平行或在同一直線上7. 三角形的重心 三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心. 三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍二、相似三角形解題思路：1、尋找相似三角形對(duì)應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對(duì)應(yīng)元素是分

5、析與解決相似三角形問(wèn)題的一項(xiàng)基本功.通常有以下幾種方法：(1) 相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對(duì)應(yīng)角；相似三角形中最大的角 最小的角)一定是對(duì)應(yīng)角；相似三角形中，一對(duì)相等的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的 夾邊是對(duì)應(yīng)邊；(2) 相似三角形中，一對(duì)最長(zhǎng)的邊 (或最短的邊)一定是對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角；對(duì)應(yīng)邊所 夾的角是對(duì)應(yīng)角.2、常見(jiàn)的相似三角形的基本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定， 要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來(lái)；對(duì)一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對(duì)相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形 成一整套完整的判

6、定方法如：(1) “平行線型”相似三角形，基本圖形見(jiàn)上節(jié)圖“見(jiàn)平行，想相似”是解這類題的基本思路;(2) “相交線型”相似三角形，如上圖其中各圖中都有一個(gè)公共角或?qū)斀?“見(jiàn)一對(duì)等角，找另一對(duì)等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路；(3) “旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖.若圖中/仁/ 2,/ B=Z D(或/ C=Z E)，則 AD0A ABC,該圖可看成把第一個(gè)圖中的 ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的.溫馨提示：從基本圖形入手能較順利地找到解決問(wèn)題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線以上“平行線型”是常見(jiàn)的，這類相似三角形的對(duì)應(yīng)元素有較明顯的順序，“相交線型”識(shí)圖較困難，解題時(shí)

7、 要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線構(gòu)造出基本圖形.文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案相似三角形專題分類練習(xí)講解題型一：線段的比、黃金分割1.在比例尺1: 10000的地圖上,相距2cm的兩地的實(shí)際距離是(A. 200cmB . 200dm.200mD. 200km2. 若貝U下列各式中不正確的是(y 4x + p 7A.y 4B . Cy-j3.若亍；已知-，且 3y 2z 6，則6,y4. 若 5x 4y5.2和8的比例中項(xiàng)是 ;線段2 cm與8 cm的比例中項(xiàng)為 6.已知 a : b : c = 2 : 3 : 4,且 2a + 3b 2c= 10,求 a, b , c 的值。題型二：相似的性質(zhì)1.

8、如果兩個(gè)相似三角形的面積比為3 ： 4,則它們的周長(zhǎng)比為 。2. 已知 ABCA DEF且 AB DE=1: 2，則 ABC的面積與 DEF的面積之比為 3. 女口圖，DE/ BC, AD： BD=2： 3，則 ADE的面積：四邊形 DBCE的面積=。4. 如圖，已知等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為2, DE是它的中位線，則下面四個(gè)結(jié)論：(1) DE=1, ( 2)A CDE CAB ( 3)A CDE的面積與 CAB的面積之比為1 : 4.其中正確的有：個(gè)5. 如圖，在梯形 ABCD中, AD/ BC, 人。£與厶BCE面積之比為 4 : 9,那么人。£與厶ABE面積之比為 6

9、. 平行四邊形 ABCD中, AB=28, E、F是對(duì)角線 AC上的兩點(diǎn)，且 AE=EF=FC DE交AB于點(diǎn)M MF交CD于點(diǎn)N,貝y CN=。第3題7. 如圖，已知平行四邊形 ABCD中 , E是AB邊的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F , AC, DE把平行四邊形 ABCD分成的 文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案四部分的面積分別為Si, S2, S3, S4.F面結(jié)論：只有一對(duì)相似三角形；EF: ED=1: 2;Si： S2： S3： S4=1: 2: 4 : 5.其中正確的結(jié)論是（）A . B . C .D .8.如圖，大形中有2個(gè)小形，如果它們的面積分別是Si、S2，那么S、S的大小關(guān)系是（A.Si &g

10、t; S2B.S = S2C.S<S2D. S、S2的大小關(guān)系不確定文檔大全9.如圖，在形 ABCD中，點(diǎn) E在AB邊上，且AE： EB= 2 : 1 , AF丄DE于G交BC于卩，則厶AEG的面積與四11.已知三個(gè)邊長(zhǎng)為2, 3, 5的形按圖4排列，則圖中陰影部分的面積為 第7題第8題第9題第10題第11題邊形BEGF的面積之比為（）A.1:2B.1:4C.4:9D.2:310.如圖，已知DE/ BC,CD和BE相交于點(diǎn)0,S DOE ： S COB = 4 :9，貝U AE： EC%()A.2:1B.2:3C.4:9D.5:4變式 2圖13.已知如圖，形 ABCD中, AB= 2,

11、E是BC的中點(diǎn), 的面積S2 。DF丄AE, F為垂足，求 DFA的面積S1和四邊形CDFE12.如圖在 ABC中，矩形 DEFG G F在BC上, D E分別在 AB AC上, AH丄BC交DE于 M DG： DE=1 : 2, BC= 12 cm, AHk 8 cm,求矩形的各邊長(zhǎng)。題型三：相似的有關(guān)證明1.已知：如圖，梯形 ABCD中, AB/ DC E是AB的中點(diǎn)，直線N點(diǎn)求證：MD ME= ND NEED分別與對(duì)角線AC和BC的延長(zhǎng)線交于M2.如圖，D在AB上，且 DE BC交AC于 E, F在AD上，且AD2AF AB，求證： AEDA ACD3. 如圖，在平行四邊形 ABCD中,

12、過(guò)點(diǎn)A作AE! BC,垂足為E,連接DE F為線段DE上一點(diǎn)，且/ AFE=ZB(1) 求證： ADFA DEC(2) 若 AB=8 AD=6 一 -；, AF=4_ 二求 AE 的長(zhǎng).D題型四：函數(shù)與相似1. 如圖，形 ABCD中, AB= 1, G為DC中點(diǎn)，E為BC上任一點(diǎn)，（E點(diǎn)與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合）設(shè) BE= 1 ,過(guò)E作GA平行線交AB于F,設(shè)AFEC面積為，寫出了與的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值圍。EitC2. 如圖，ABCD是矩形，AH 2, HD= 4, DE= 2, EC= 1 , F是 BC上任一點(diǎn)（F實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合)，過(guò)F作EH的平行線交AB于G,設(shè)BF

13、為工|,四邊形HGFE面積為卩，寫出卩與X 的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量|；|的取值圍。3. 如圖，有一塊直角梯形鐵皮 ABCD AD= 3cm, BC= 6cm, CD= 4cm,現(xiàn)要截出矩形 EFCG ( E點(diǎn)在AB上,與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合)，設(shè)BE=P. I,矩形EFCG周長(zhǎng)為' ,( 1)寫出與L |的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變5量X取值圍；(2) |忑取何值，矩形EFCG面積等于直角梯形 ABCD面積的E。4. 如圖，已知拋物線 y = x 1與x軸交于A B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C. (1 )求A、B C三點(diǎn)的坐標(biāo).(2) 過(guò)點(diǎn)A作AP/ CB交拋物線于點(diǎn) P,求四邊形 ACBP勺面積

14、.(3)在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn) M 過(guò)M作Mdx軸于點(diǎn)G,使以A M G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與厶 PCA相似？若存在，請(qǐng)求出 M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.C5. 如圖，已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-4 , 0)、B(1 , 0)、C(-2 , 6) . (1)求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋x文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案文檔大全物線解析式；(2)設(shè)直線BC交y軸于點(diǎn)E,連接AE,求證：AE=CE;(3)設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)D,連接AD交BC于點(diǎn)F,試問(wèn)以A B、F,為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.題型五、圓與相似1. (2013?)如圖，點(diǎn)A,B,C,D為O O上的四個(gè)點(diǎn)，AC平分

15、/ BAD AC交BD于點(diǎn)E,CE=4 CD=6貝UAE的長(zhǎng)為()A.4B.5C.6D.72. 如圖，AB為O O的直徑，D是弧BC的中點(diǎn)，DEI AC交AC的延長(zhǎng)線于 E,O O的切線 BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。(1)求證：DE是O O的切線； 若DE= 3, O O的半徑為5,求BF的長(zhǎng)。3.如圖，Rt ABC中，/ C=90°, O為直角邊BC上一點(diǎn)，以 O為圓心，OC為半徑的圓恰好與斜邊 AB相切于點(diǎn)D,與BC交于另一點(diǎn) E.(1) 求證： AOCA AOD(2) 若BE=1, BD=3,求O O的半徑及圖中陰影部分的面積 S.4.如圖O 0是厶ABC外接圓，AB是直徑，D是

16、AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， AE丄DC的延長(zhǎng)A*OB線于點(diǎn)E,且AC平分/ EAB (1)求證：DE是O O的切線；(2) 若AB=6, AE=4,求BC和 BD的長(zhǎng)5. ( 2012)如圖，AB是O O的直徑，點(diǎn) C在O O上，/ CAB的平分線交O O于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交BAC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,連接BC交AD于點(diǎn)F。(1) 猜想ED與OO的位置關(guān)系，并證明你的猜想;(2) 若 AB= 6, AD= 5,求 AF的長(zhǎng)。6. (2013?)如圖1, ABC中，CA=CB點(diǎn)O在高CH上，ODL CA于點(diǎn)D, OEL CB于點(diǎn)E,以O(shè)為圓心，OD為半徑作O O.(1) 求證：O O與CB相切于點(diǎn)E

17、;(2) 如圖2，若O O過(guò)點(diǎn)H,且AC=5 AB=6,連接EH求厶BHE的面積.題型六、因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似問(wèn)題實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1. D是厶ABC的AB邊上一點(diǎn)，過(guò) A D及三角形邊上的一點(diǎn) E的三角形與 ABC相似，畫出示意圖。D是Rt ABC的BC邊上一點(diǎn)，過(guò) C D及三角形邊上的一點(diǎn) E的三角形與 ABC相似，畫出示意圖。PC把Rt OAB分成兩部分，問(wèn)點(diǎn) C在什么位置時(shí)，分割得到的三角形與厶OAB相似？畫出所有符合要求的線段，寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)。A（4，0），B （ 0，2），如果點(diǎn)第3題C在x軸上（C與A不重合），當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，使得由點(diǎn)B O C組成的三角形與厶AOB相似。4.已知：如圖,

18、P是邊長(zhǎng)為4的形ABCD一點(diǎn)，且PB=3,BF丄BP,垂足為B,請(qǐng)?jiān)谏渚€BF上找一點(diǎn)M,使以B、M C為頂點(diǎn)的三角形與 ABP相似。5.形ABCD&長(zhǎng)為4, M N分別是BC CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直.（1）證明：Rt ABMh RtA MCN（2）設(shè)BMx，梯形ABCN勺面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng) M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCb面積最大，并求出最大面積；（3）當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí) RtA ABMh RtA AMN求此時(shí)x的值.6. 如圖，在 ABC中，/ BAC=90 , AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與 B,C重

19、合），EF丄AB,EG丄AC垂足分別為 F,G.文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(1) 求證：EG CG ;AD Cd(2) FD與DG是否垂直？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由;(3) 當(dāng)AB=AC寸， FDG為等腰直角三角形嗎？并說(shuō)明理由.7. 矩形OAB(在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖所示，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A (6, 0), C (0, 3),直線y3=3x與BC邊相交于D點(diǎn).4(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2) 若拋物線y = ax 2 9x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,試確定此拋物線的表達(dá)式；4(3) 設(shè)(2)中的拋物線的對(duì)稱軸與直線OD交于點(diǎn)M點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，以 P、O M為頂點(diǎn)的三角形與 OCDf似，

20、求符合條件的點(diǎn) P的坐標(biāo).&如圖，拋物線 y= lx2 + 5x 2與x軸相交于點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C. 2 2(1)求證： AOQA COB文檔大全(2)過(guò)點(diǎn)C作CD/ x軸交拋物線于點(diǎn) D.若點(diǎn)P在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度由 A向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CD上也以每秒1個(gè)單位的速度由 D向C運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)幾秒后， PQ= AC9.如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(0, 7 .3)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為9的長(zhǎng)為6.求二次函數(shù)的解析式；在該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P,使PA+PD最小，求出點(diǎn) P的坐標(biāo);在拋物線上是否存在點(diǎn) Q使厶ABC相似？如果存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型三：位似1.如圖所示，以點(diǎn)0為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形 A B' C D' E.已知OA= 10 cm, OA =20 cm,則五邊形 ABCDE的周長(zhǎng)與五邊形 A' B' C D' E'的周長(zhǎng)的比值是 .2. 如圖，在6X 8的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小形邊長(zhǎng)均為 1,點(diǎn)0和厶ABC勺頂點(diǎn)均為小形的頂點(diǎn). 以0為位 似中心，在網(wǎng)格圖 中作 A' B' C'，使 A B C和厶ABC位似，且位似比為 1: 2連接中的