總結(jié)拉格朗日中值定理的應(yīng)用

1、_總結(jié)拉格朗日中值定理的應(yīng)用精品資料_總結(jié)拉格朗日中值定理的應(yīng)用以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個(gè)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)， 尤其是拉格朗日中值定理。 他建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可用中值定理通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)。中值定理的主要作用在于理論分析和證明，例如為利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、取極值、凹凸性、拐點(diǎn)等項(xiàng)重要函數(shù)性態(tài)提供重要理論依據(jù)，從而把握函數(shù)圖像的各種幾何特征?？傊⒎謱W(xué)中值定理是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具。 而拉格朗日中值定理作為微分中值定理中一個(gè)承上啟下的一個(gè)定理，我們需要對(duì)其能夠熟練的應(yīng)用，這對(duì)

2、高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著極大的意義！拉格朗日中值定理的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面：利用拉格朗日中值定理證明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求極限、研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)、估值問題、證明級(jí)數(shù)收斂。首先我想介紹幾種關(guān)于如何構(gòu)造輔助函數(shù)的方法。精品資料_湊導(dǎo)數(shù)法。：這種方法主要是把要證明的結(jié)論變形為羅爾定理的結(jié)論形式，湊出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)做為輔助函數(shù)，即將要證的結(jié)論中的換成 X，變形后觀察法湊成 F(X) ，由此求出輔助函數(shù)F(x) 如例 1.常數(shù)值法：在構(gòu)造函數(shù)時(shí)； 若表達(dá)式關(guān)于端點(diǎn)處的函數(shù)值具有對(duì)稱性，通常用常數(shù) k 值法來求構(gòu)造輔助函數(shù)， 這種方法一般選取所證等式中含的部分作為k，即使常數(shù)部分分離出來并令其為

3、k，恒等變形使等式一端為a 與 f(a) 構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為 b 與f(b) 構(gòu)成的代數(shù)式，將所證式中的端點(diǎn)值(a 或 b)改為變量x 移項(xiàng)即為輔助函數(shù)f(x), 再用中值定理或待定系數(shù)法等方法確定k，一般來說，當(dāng)問題涉及高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，往往考慮多次運(yùn)用中值定理，更多時(shí)要考慮用泰勒公式如例 3.精品資料_倒推法：這種方法證明方法是欲證的結(jié)論出發(fā)，借助于邏輯關(guān)系導(dǎo)出已知的條件和結(jié)論如例4。精品資料_乘積因子法：對(duì)于某些要證明的結(jié)論， 往往出現(xiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間關(guān)系的證明，直接構(gòu)造函數(shù)往往比較困難 將所證結(jié)論的兩端都乘以或除以一個(gè)恒正或恒負(fù)的函數(shù)， 證明的結(jié)論往往不受影響，(為常數(shù) )是常用的乘

4、積兇子 如例 5.介值法：證明中，通過引入輔助函數(shù)g(x)=f(x)-x 將原問題轉(zhuǎn)化為 (a,b) 可導(dǎo)函數(shù) g(x) 的最大值或最小值至少有一個(gè)在必在內(nèi)點(diǎn)達(dá)到，從而可通過 g(x) 在（a,b ）可導(dǎo)條件，直接運(yùn)用費(fèi)馬定理，完成證明。如例6 。精品資料_一拉格朗日中值定理證明（不）等式在不等式的證明中， 關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù) （）和區(qū)間（，），通過的范圍，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定（）和分式的范圍，得證。如例題7。例 7精品資料_例 8：例 9：二利用拉格朗日中值定理求極限求極限的方法有很多，常見的有利用洛必達(dá)法則, 利用重要極限等，而對(duì)于一些極限也可用拉格朗日中值定理或者只能用這種方法來求解，如例10,11.例 10：精品資料_例 11：精品資料_三研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)因?yàn)槔现兄刀ɡ頊贤撕瘮?shù)與其導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，很多時(shí)候。我們可以借助其導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)從而了解函數(shù)在整個(gè)定義域區(qū)間上的整體認(rèn)識(shí)。比如研究函數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)、單調(diào)性、一致連續(xù)性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定理的結(jié)論。通過對(duì)函數(shù)局部性質(zhì)的研究把握整體性質(zhì)，這是數(shù)學(xué)研究中一種重要的方法。如例 12 ：四估值問題證明估值問題， 一般情況下選用泰勒公式證明比較簡(jiǎn)便。特別是二階及二階以上的導(dǎo)函數(shù)估值時(shí)。但對(duì)于某些積分估