求數(shù)列通項公式的常用方法(共10頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上求數(shù)列通項公式的常用方法一、累加法 1適用于： -這是廣義的等差數(shù)列 累加法是最基本的二個方法之一。2解題步驟：若，則 兩邊分別相加得 例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通項公式為。練習. 已知數(shù)列滿足，求此數(shù)列的通項公式. 答案：裂項求和 評注：已知,，其中f(n)可以是關于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項.若f(n)是關于n的一次函數(shù)，累加后可轉化為等差數(shù)列求和;若f(n)是關于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;若f(n)是關于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉化為等比數(shù)列求和;若f(n)是關于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。二、累乘

2、法 1. 。 -適用于： -這是廣義的等比數(shù)列，累乘法是最基本的二個方法之二。2解題步驟：若，則兩邊分別相乘得，例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以，則，故所以數(shù)列的通項公式為練習. 已知,求數(shù)列an的通項公式答案：-1.評注：本題解題的關鍵是把原來的遞推關系式轉化為若令,則問題進一步轉化為形式，進而應用累乘法求出數(shù)列的通項公式.三、待定系數(shù)法 適用于 基本思路是轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。1形如,其中)型（1）若c=1時，數(shù)列為等差數(shù)列;（2）若d=0時，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若時，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法

3、構造輔助數(shù)列來求.解題步驟：設，得，與題設比較系數(shù)得，所以 ，所以有：因此數(shù)列構成以為首項，以c為公比的等比數(shù)列，所以 即：.例3 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解： 又是首項為2，公比為2的等比數(shù)列 ，即練習已知數(shù)列中，求通項答案：2形如： (其中q是常數(shù)，且n0,1) 若p=1時，即：，累加即可.若時，即：，求通項方法有以下三種方向：i. 兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構造成等差數(shù)列即： ,令，則，然后累加求通項.ii. 兩邊同除以， 目的是把所求數(shù)列構造成等差數(shù)列。 即： ,令，則可化為，然后轉化為待定系數(shù)法第一種情況來解。iii. 待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構造成等差數(shù)列設.通過比較系

4、數(shù)，求出，轉化為等比數(shù)列求通項.注意：應用待定系數(shù)法時，要求pq，否則待定系數(shù)法會失效。例4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一（待定系數(shù)法）：設，比較系數(shù)得，則數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，即解法二（兩邊同除以）： 兩邊同時除以得：，下面解法略解法三（兩邊同除以）： 兩邊同時除以得：，下面解法略3形如 (其中k,b是常數(shù)，且)待定系數(shù)法解題步驟：通過湊配可轉化為 ；比較系數(shù)求x、y；解得數(shù)列的通項公式；得數(shù)列的通項公式。例5 . 在數(shù)列中，,求通項.（待定系數(shù)法）解：原遞推式可化為比較系數(shù)可得：x=-6，y=9,上式即為所以是一個等比數(shù)列，首項，公比為。 即： ， 故。練習 在

5、數(shù)列中，求通項.（逐項相減法）解：， 時，兩式相減得 .令，則知 即 再由累加法可得. 亦可聯(lián)立 解出.4形如 (其中a,b,c是常數(shù)，且)基本思路是轉化為等比數(shù)列，而數(shù)列的本質是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。例6 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設 比較系數(shù)得， 所以 由，得則，故數(shù)列為以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。5.形如時將作為求解分析：原遞推式可化為的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列為等比數(shù)列。例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設比較系數(shù)得或，不妨取，（取-3 結果形式可能不同，但本質相同）則，則是首項為4，公比為3的等比數(shù)列，所以練習.數(shù)列中，若,且滿足,

6、求.答案： .四、不動點法 目的是將遞推數(shù)列轉化為等比（差）數(shù)列的方法不動點的定義：函數(shù)的定義域為，若存在，使成立，則稱為的不動點或稱為函數(shù)的不動點。分析：由求出不動點，在遞推公式兩邊同時減去，再變形求解。類型一：形如 例8 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解：遞推關系是對應得遞歸函數(shù)為，由得，不動點為-1，類型二：形如分析：遞歸函數(shù)為（1）若有兩個相異的不動點p,q時，將遞歸關系式兩邊分別減去不動點p,q，再將兩式相除得，其中，（2）若有兩個相同的不動點p，則將遞歸關系式兩邊減去不動點p，然后用1除，得，其中。例9. 設數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式.（答案：）分析：此類問題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求

7、解.解：對等式兩端同時加參數(shù)t,得：,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首項為，公比為的等比數(shù)列, =, 解得.練習. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項答案：五、對數(shù)變換法 適用于(其中p,r為常數(shù))型 p>0， 例10. 設正項數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得：，設，則 是以2為公比的等比數(shù)列， ，練習 數(shù)列中，（n2），求數(shù)列的通項公式. 答案：六、倒數(shù)變換法 適用于分式關系的遞推公式，分子只有一項例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：求倒數(shù)得為等差數(shù)列，首項，公差為，七、階差法（逐項相減法） 1、遞推公式中既有，又有 分析：把已知關系通過轉化為數(shù)列或的遞推關系，然后采用相應的方法求解。例12 已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且