第二章作業(yè)題答案

1、2-1什么叫流線、流管流線與跡線有什么區(qū)別答：流線就是在流場(chǎng)中某一瞬間作出的一條空間曲線，使這一瞬間在 該曲線上各點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)所具有的速度方向與曲線在該點(diǎn)的切線方 向重合。在流場(chǎng)中經(jīng)過(guò)一封閉曲線（不是流線）的所有流線所圍成的管狀表面， 稱為流管。流線是反映流場(chǎng)某瞬時(shí)流速方向的曲線。其是同一時(shí)刻，由不同流體 質(zhì)點(diǎn)組成的。跡線是同一質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻的軌跡線。在定常流動(dòng)中，流 線形狀不隨時(shí)間改變，流線與跡線重合。在非定常流動(dòng)中，流線的形 狀隨時(shí)間而改變，流線與跡線不重合。2-2直角坐標(biāo)系中，流場(chǎng)速度分量的分布為試證過(guò)點(diǎn)（1, 7）的流線方程為y2-x2=48證：根據(jù)流線微分方程=II V求得,dx _

2、dy2x2y積分得/_x2=c代入點(diǎn)（1, 7）求積分常數(shù)c = 48二過(guò)點(diǎn)（1, 7）的流線方程為/-x2=482-3設(shè)流場(chǎng)中的速度大小及流線的表達(dá)式為|V| = yjx2 + 2xy + ly1 , y1 + 2xy =常數(shù)求速度分量的表達(dá)式。解：對(duì)y2+2 =常數(shù)求導(dǎo)，2v + 2y + 2x= 0,得出空=二- dxdxdx x+ y根據(jù)流線微分方程=-,得到U和V的關(guān)系，“=亠卩 u vy代入阿=肩 + 2小+ 2）丿得卩=±y求得 U 和 V 的表達(dá)式：v = y.u = -x-yv = -y,u = x+y2-4求第2-3題中速度分量“的最大變化率及方向。解：梯度矢量G

3、 = grad<p = UJ + kdx dy dzu = ±(x+ y)|G| = ±>/22-5試證在柱坐標(biāo)系（幾恥）下，速度的散度表達(dá)式為dw + dzJ/vV = + l(V+ dr r r證：如7=空+色+空dx dy dzx =廠cos 0)rsin&, Vr=,竺”r dt 6 dt=V cos-Vsindu du dr du dO du八 du sin 0=1=cos&dx dr dx dO dx drc0 rdv dv dr dv dO 創(chuàng).八 8v cos& dy dr dy de dydrdO rdr dr礦-si0

4、-(函dOsin& + %cos&)忙坐sin& ,空=遇眄+（坐辭-尬in。） dr drdOdO逆+忙坐曲& + & +些曲0 +坐曲& +么心+些曲"理+比+些 dx dy drrrdOdrrrdOdr r rdO代入如/=竺+色+型二空dx dy dz dr+丄（匕+害）dv+ dz2-6在不可壓流中，下列哪幾個(gè)流動(dòng)滿足質(zhì)量守恒條件(a)u = 一x' sin yv = 一3兀 cos y(b)3u = x sin yv = -3x2 cos y(c)" = 2rin&cos&v = -2rsi

5、n2(d)m=4/ + y2=常數(shù)解：對(duì)于不可壓縮流體,應(yīng)滿足連續(xù)方程斜訂(a) 一 + 一 = -3x2sin y + 3x2 sin y = 0 滿足質(zhì)量守恒條件 ox dy(b) + = 3x2 sin y + 3x2 sin y 0不滿足質(zhì)量守恒條件dx dy(c) r = Jx2 + v2 , & = arctan丄'xdu du dr du dO du 八 du sin& =+= cos U dx dr ox dO dx drdO rdv dv dr dv dO dy dr dy dO dydv a dv COS0 =sm& +drdO r=-2 s

6、in? 0 + (-4r sin 0 cos 0)COS0=一 2sin' & 4sin0cos=2sin cos2 0 (2rcos2 -2rsin2 &)血=2sir? 0_ + _ = _4sin0不滿足質(zhì)量守恒條件(d)對(duì)x2 + y2=常數(shù)求導(dǎo)，2x + 2v=0得出空=_丄dxdx y根據(jù)流線微分方程,得到U和V的關(guān)系，v = -w u vy代入 |v| = yjll2 +V1 = X(x2 + y2V(x2 + y2y哲+竺=上竺匚+亠= 0滿足質(zhì)量守恒條件 dX dy <x2 + y2y (x2 + y2)y2-7流體力學(xué)具有分速度試問(wèn)該流場(chǎng)是否有

7、旋如果無(wú)旋，求出其速度位函數(shù)。解：判定無(wú)旋流的條件：9=0, 5=0, 0=0dx dz.du dv dv dv dy dx5 dzdydv'dx-3xy(x2 + y2 + z2ydu-3xy(x2 + y2 + z2yxdx + ydy + zdz, (x2 + y2 + z2y同理色=型;空=哲 比 dy dx dz該流場(chǎng)無(wú)旋 對(duì)于無(wú)旋流，速度位函數(shù)d(j)= udx + vdy + wdz,=2(x2 + y2 + z2y2-8有不可壓流體作定常運(yùn)動(dòng)，其速度場(chǎng)為it = ax« v = avCD = 一2仗式中a為常數(shù)。求：(D 線變形率、角變形率；(2) 流場(chǎng)是否有

8、旋；(3) 是否有速度位函數(shù)存在。解：微團(tuán)線變形速率dz=0微團(tuán)角變形速率1 dw dv= +2 dy dz始-糾。同理吹:該流場(chǎng)無(wú)旋對(duì)于無(wú)旋流，速度位函數(shù) d(/> = udx + vdy + wdz = axdx + aydy - 2azdz29 二維位流流場(chǎng)為 =- xy + y2,求曲線 x2y = -4 J1 點(diǎn)（2, 1 ）處的切向速度分量。解：對(duì)A = -4求導(dǎo)，得出字一空2嚴(yán)1,dx x 得到0 = 45。，©為X軸到切線方向的轉(zhuǎn)角。60 j 小如ru =x - 2x - y , v =-x + 2 vdx“dy vr = ii cos(x, s) + v co

9、s( y, s) = u cos 0 + ” sin 0 =2-10設(shè)下列幾種函數(shù)分別代表流動(dòng)的3個(gè)分速度:(1 ) u = kx,v = -kyco = 0 ；(2) u =kx,v = -ky、3 = kx ；(3) u = kx,v = -ky、3 = kz ；(4) u = kx.v = ky,co = 2kz ；(5) u = kx,v = ky,co = kz o其中R為常數(shù)。問(wèn)哪幾種情況可以代表不可壓流動(dòng)解：對(duì)于不可壓縮流體，應(yīng)滿足連續(xù)方程理+色+竺=0 dx dy dz.(1 ) u = kx.v = -ky,w = 0 ；理+空+竺=0可以代表不可壓流動(dòng)dx dy &

10、(2) u = kxy = -ky.w = kx ；色+空+竺=0可以代表不可壓流動(dòng)dx dy dz.(3) u = kx.v = -ky.w = kz ；空+竺+空HO不可以代表不可壓流動(dòng) dx dy dz(4) ii = kx,v = ky.w = -2kz ；理+竺+空=0可以代表不可壓流動(dòng) dx dy &(5) u = kxy = ky,w = kz o色+空+竺工0不可以代表不可壓流動(dòng) dx dy dz.2-11某一流動(dòng)可描述為|V| = /(r), x2 + /=常數(shù)。問(wèn)/(/)應(yīng)具有什么形 式，流場(chǎng)才能滿足連續(xù)條件為什么解：對(duì)? + /=常數(shù)求導(dǎo),2x + 2y= 0dx

11、 y根據(jù)流線微分方程牛=空,得到U和V的關(guān)系，v = -iw代入 |v| = Jir+v2 = f (r)要滿足質(zhì)量守恒條件，需-+ - = 0dx dy:.f（r） = cr （C, n為任意常數(shù)）2-12二維點(diǎn)渦誘導(dǎo)的無(wú)旋流場(chǎng)是否滿足連續(xù)條件 解：二維點(diǎn)渦的位函數(shù)2龍流速只有V嚴(yán)黑=字、,V. =0rd0 2 兀 r空+空=坐+丄少+坐）=丄坐=0 dx dy or r r dO r dO滿足連續(xù)方程埶斜滿足連續(xù)條件2-13某二維流動(dòng)可描述為|U|=W+4Q + 5y2 ,）,2+xy =常數(shù)。試用兩種 方法證明（見(jiàn)習(xí)題副圖2-13）圖中對(duì)curiv在暗影區(qū)的面積分等于一4。證：對(duì) y2

12、+ xy =常數(shù)求導(dǎo)，2y© + y + x© = 0dx ' dx得出空=二dx x + 2y根據(jù)流線微分方程,得到U和V的關(guān)系，“ =Il vy代入 |v| = y/i（2 + v2 = “+4小 + 5）衛(wèi)得* = ±y求得 U 和 V 的表達(dá)式：v = y.u = -(x + 2y)或 u = -y.u = x + 2y curl V為V在Z軸的旋度，同2。< z <1 dv du儀p跖訐±1r = V & = (udx + vdy) =£ ±(x + 2y)dx + ydy =±4沿空間

13、封閉曲線L的環(huán)量，等于穿過(guò)張?jiān)谯躺先我馇鍿上的渦通 量。r = V-Jsudx + vdy = ” (？ 一 學(xué))"S = ” 2odS = ±42-14 一架飛機(jī)以180km/h的速度在海平面上飛行，求駐點(diǎn)處的表壓（即大于或小于大氣壓的那部分壓強(qiáng)）及相對(duì)流速為60m/s處的表 壓。解：Vx=kmlh=5Qmls=幾農(nóng)i=卩一幾=（幾+一 1兒=rL225x5°2= 153125Pg根據(jù) Bernou I I i 方程 /? + = 1531.25-1x1.225x60-673.75P,2-15有一救火機(jī)，見(jiàn)習(xí)題附圖2-15,出水口直徑7. 5cm,入水口直徑 30cm,流量是 3640L/min(1L=1000c,n3),進(jìn)水口處水壓為 2X105N/m2o求救火機(jī)所受的反作用力。解：流量。=£嶺=企匕，求得V, =s, V2=s已知進(jìn)口水壓/? = 2 x 105pa=Pl求得 p2 = 1 057