17.5反證法

1、八年級數(shù)學(xué)八年級數(shù)學(xué)上上 新課標(biāo)新課標(biāo) 冀教冀教 第十七章特殊三角形第十七章特殊三角形 學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知反證法反證法檢測反饋檢測反饋三個古希臘哲學(xué)家甲、乙、丙,由于爭論和天氣炎熱感到疲倦了,于是在花園里的一棵大樹下躺下來休息一會兒,結(jié)果都睡著了.這時一個愛開玩笑的人用炭涂黑了他們的前額.三個人醒來以后,彼此看了看,都笑了起來.但這并沒有引起他們之中任何一個人的擔(dān)心,因為每個人都以為是其他兩人在互相取笑.其中甲突然不笑了,因為他發(fā)覺自己的前額也被涂黑了.他是怎樣覺察到的呢?你能想出來嗎?問題思考問題思考學(xué)學(xué) 習(xí)習(xí) 新新 知知活動一活動一:反證法反證法4.根據(jù)原來的假設(shè):前額沒被涂黑是錯誤的,便可

2、知道沒被涂黑的反面被涂黑了是正確的結(jié)論.簡單地說,甲是通過說明前額被涂黑了的反面沒被涂黑是錯誤的,從而覺察到自己的前額被涂黑了.仔細分析甲的思考過程,不難看出它分4個步驟:1.假設(shè)自己的前額沒被涂黑;2.根據(jù)這個假設(shè)進行推理,推得一個與乙對丙的笑不感到奇怪的這個事實相矛盾的結(jié)果乙應(yīng)對丙的笑感到奇怪;3.根據(jù)這個矛盾,說明原來假設(shè)自己的前額沒被涂黑是錯誤的;已知:如圖所示, ABC. 求證:在 ABC中,如果它含直角,那么它只能有一個直角.這與“三角形的內(nèi)角和等于180”相矛盾,因此三角形有兩個(或三個)直角的假設(shè)是不成立的.所以如果三角形含直角,那么它只能有一個直角.證明:假設(shè) ABC中有兩個

3、(或三個)直角，不妨設(shè)A=B=90，A+B=180，A+B+C=180+C180，總結(jié)：反證法是間接證明的方法總結(jié)：反證法是間接證明的方法 第三步第三步: :由矛盾的結(jié)果由矛盾的結(jié)果, ,判定假設(shè)不成立判定假設(shè)不成立, ,從而說明命題的結(jié)論是正確的從而說明命題的結(jié)論是正確的. .用反證法證明一個命題是真命題的一般步驟用反證法證明一個命題是真命題的一般步驟.第一步第一步: :假設(shè)命題的結(jié)論不成立假設(shè)命題的結(jié)論不成立. .第二步第二步: :從這個假設(shè)和其他已知條件出發(fā)從這個假設(shè)和其他已知條件出發(fā), ,經(jīng)經(jīng)過推理論證過推理論證, ,得出與學(xué)過的概念、基本事實、得出與學(xué)過的概念、基本事實、已證明的定理

4、、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)已證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果果. .活動二活動二:應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例用反證法證明平行線的性質(zhì)定理一:兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等.已知:如圖所示，直線ABCD，直線EF分別與直線AB,CD交于點G，H，1和2是同位角. 求證:1=2.證明:假設(shè)12.過點G作直線MN，使得EGN=1.EGN=1，MNCD(基本事實).又ABCD(已知)，過點G，有兩條不同的直線AB和MN都與直線CD平行.這與“經(jīng)過已知直線外一點,有且只有一條直線和已知直線平行”相矛盾.12的假設(shè)是不成立的.因此1=2.已知:在ABC和ABC,C=C=90,AB=AB,AC=AC,如

5、圖所示. 求證: ABC ABC.證明:假設(shè) ABC與 ABC 不全等，即BC BC ，不妨設(shè)BC BC ，在BC上截取CD=CB,連接AD.在 ABC與 ADC中，AC=AC,C=C,CB=CD, ABC ADC(SAS).AB=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等).AB=AB(已知),AB=AD(等量代換).B=ADB(等邊對等角).ADB90(三角形的內(nèi)角和定理),即CADB45,B45B.A45,B45C.A45,B45,B45.故選A.A解析:當(dāng)a=1,b=-2或a=0,b=-1或a=-1，b=-2時，ab，a2b,則a2b2”是假命題，故A，B，C不符合題意，只有當(dāng)a=2，b=-1時，“

6、若ab,則a2b2”是真命題,故此時a,b的值不能作為反例.故選D.2.要證明命題“若ab，則a2b2”是假命題,下列a，b的值不能作為反例的是()A.a=1，b=-2B.a=0，b=-1C.a=-1，b=-2D.a=2，b=-1D解析:“至少有兩個”的反面為“至多有一個”,而反證法的假設(shè)即原命題的結(jié)論不成立,應(yīng)假設(shè):三角形三個外角中至多有一個鈍角,也可以假設(shè):三個外角中只有一個鈍角.故選D.3.用反證法證明“三角形的三個外角中至少有兩個鈍角”時,假設(shè)正確的是 ()A.假設(shè)三個外角都是銳角B.假設(shè)至少有一個鈍角C.假設(shè)三個外角都是鈍角D.假設(shè)三個外角中只有一個鈍角D4.用反證法證明“如圖所示,

7、如果ABCD,ABEF,那么CDEF”時,證明的第一步是 () A.假設(shè)AB不平行于CDB.假設(shè)AB不平行于EFC.假設(shè)CDEFD.假設(shè)CD不平行于EF解析:用反證法證明命題“如果ABCD,ABEF,那么CDEF,”證明的第一步應(yīng)是:從結(jié)論反面出發(fā),假設(shè)CD不平行于EF.故選D.D5.用反證法證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.解析:首先假設(shè)三角形的一個外角不等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和,根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180,得到矛盾,所以假設(shè)不成立,進而可知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.已知:如圖所示,1是ABC的一個外角. 求證:1=A+B.證明:假設(shè)1A+B,在AB

8、C中,A+B+2=180,1+2=180, 2=180-1,1A+B,2180-(A+B)A+B+2180.與“三角形的內(nèi)角和等于180”相矛盾,假設(shè)不成立,原命題成立,即1=A+B.6.用反證法證明一個三角形中不可能有兩個角是鈍角.解析:根據(jù)反證法的證明方法先假設(shè),進而證明即可.已知:ABC.求證:A,B,C中不可能有兩個角是鈍角.證明:假設(shè)A,B,C中有兩個角是鈍角,不妨設(shè)A,B為鈍角,A+B180,這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾,故假設(shè)不成立,原命題正確.即一個三角形中不可能有兩個角是鈍角.7.請用反證法證明“如果兩個整數(shù)的積是偶數(shù),那么這兩個整數(shù)中至少有一個是偶數(shù).”解析:首先假設(shè)這兩個整

9、數(shù)都是奇數(shù),其中一個奇數(shù)為2n+1,另一個奇數(shù)為2p+1,利用多項式乘以多項式得出(2n+1)(2p+1)=2(2np+n+p)+1,進而得出矛盾,則原命題正確.證明:假設(shè)這兩個整數(shù)都是奇數(shù),其中一個奇數(shù)為2n+1,另一個奇數(shù)為2p+1(n,p為整數(shù)),則(2n+1)(2p+1)=2(2np+n+p)+1,無論n,p取何值,2(2np+n+p)+1都是奇數(shù),這與兩個整數(shù)的積為偶數(shù)相矛盾,假設(shè)不成立,這兩個整數(shù)中至少有一個是偶數(shù).8.試用舉反例的方法說明下列命題是假命題.舉例:如果ab0,那么a+b0.反例:設(shè)a=4,b=-3,則ab=4(-3)=-120,所以這個命題是假命題.(1)如果a+b0,那么ab0;(2)如果a是無理數(shù),b是無理數(shù),那么a+b是無理數(shù);(3)兩個三角形中,兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等,則這兩個三 角形全等(畫出圖形,并加以說明).解析:(1)此題是一道開放題,可舉的反例很多,但只舉一例即可.如果a+b0,那么ab0,所舉的反例是a,b一個為正數(shù),一個為負數(shù),且正數(shù)的絕對值大于負數(shù).(2)可利用平方差公式找這樣的無理數(shù),比如1 ,兩數(shù)相加就是有理數(shù).(3)此題主要利用三角形全等的判定方法來舉例,在這里注意,沒有邊邊角定