高三數(shù)學總復習平面向量Word版

1、高三數(shù)學總復習平面向量本周題目平面向量本周重點向量的運算與應用本周難點向量的應用、向量與函數(shù)、三角、解析幾何綜合問題考點分析1. 向量是數(shù)形結合的典型。向量的幾何表示法-有向線段表示法是運用幾何性質解決向量問題的基礎。在向量的運算過程中，借助于圖形性質不僅可以給抽象運算以直觀解釋，有時甚至更簡捷。向量運算中的基本圖形：向量加減法則：三角形或平行四邊形法則；實數(shù)與向量乘積的幾何意義-共線；定比分點基本圖形-起點相同的三個向量終點共線等。2. 向量的三種運算及運算的三種形式。向量的加減法，實數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積都是向量的基本運算，前兩者的結果是向量，兩個向量數(shù)量積的結果是數(shù)量。每一種運

2、算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標語言。主要內容列表如下：運算圖形語言符號語言坐標語言加法與減法記則. 實數(shù)與向量的乘積記則兩個向量的數(shù)量積記運算律加法：實數(shù)與向量的乘積：兩個向量的數(shù)量積：說明：根據(jù)向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿足實數(shù)多項式乘積的運算法則，正確遷移實數(shù)的運算性質可以簡化向量的運算，例如3. 重要定理、公式(1)平面向量基本定理：如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內任一向量，有且只有一對實數(shù)的線性組合。根據(jù)平面向量基本定理，任一向量與有序數(shù)對(1，2)一一對應，稱(1，2)為在基底下的坐標，當取為單位正交基底時定義(1，2)為向量的平面直角坐標。向

3、量坐標與點坐標的關系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若A(x，y)，則；當向量起點不在原點時，向量坐標為終點坐標減去起點坐標，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(2)兩個向量平行的充要條件符號語言：若坐標語言：設若x1y2-x2y1=0在這里，實數(shù)是唯一存在的，當同向時，0；當異向時，0。，的大小由的模確定。因此，當確定時，的符號與大小就確定了。這就是實數(shù)乘向量中的幾何意義。(3)兩個向量垂直的充要條件符號語言：坐標語言：設(4)線段定比分點公式 如圖，設則定比分點向量式：定比分點坐標式：設P(x，y)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)則特例：當=1時，就得到中點

4、公式：實際上，對于起點相同，終點共線三個向量(O與P1P2不共線)，總有，即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量，且系數(shù)和為1。(5)平移公式：點平移公式，如果點P(x，y)按，平移至P(x，y)，則分別稱(x,y),(x,y)為舊、新坐標，為平移向量在點P新、舊坐標及平移向量三組坐標中，已知兩組坐標，一定可以求第三組坐標圖形平移：設曲線C：f(x,y)=0按平移，則平移后曲線C對應的解析式為f(x-h,y-k)=0利用平移變換可以化簡函數(shù)解析式，從而便于研究曲線的幾何性質4. 向量既是重要的數(shù)學概念，也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直，線線平行，求夾角等，特別是直角坐標系的

5、引入，體現(xiàn)了向量解決問題的“程序性”特點。本周例題一. 向量的有關概念與運算此類題經常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，在復習中要充分理解平面向量的相關概念，熟練掌握向量的坐標運算、數(shù)量和運算，掌握兩向量共線、垂直的充要條件、定比分點公式、平移公式。例1. 已知a=(5,4),b=(3,2)，則與2a-3b平行的單位向量為_點撥與一個非零向量a共線的單位向量有兩個：與a同向的單位向量，與a反向的單位向量，求與已知向量平行的向量常用坐標運算。解析法一：2a-3b=2(5,4)-3(3,2)=(1,2)法二：令e=(x，y)2a-3b=(1,2)，且e與2a-3b平行x-2y=0，又x2+y2=1由解得變式

6、練習已知b是a=(-3,4)垂直，且|b|=15，求b答案：(12,9)或(-12，-9)例2. 已知|a|=1，|b|=1，a與b的夾角為60，x=2a-b，y=3b-a，則x與y的夾角是多少？點撥要計算x與y的夾角，需求出|x|,|y|，xy的值，可利用|x|2=x2求解。解析由已知|a|=|b|=1，a與b的夾角為60，得又點評本題利用模的性質|a|2=a2在計算x，y的模長時，還可以借助向量加法、減法的幾何意義獲得：如圖所示，設。由向量減法的幾何意義，得。由余弦定理易得變式練習1(2004年高考浙江卷)已知平面上三點A、B、C滿足的值等于_。(答案：-25)變式練習2已知，a和b的夾角

7、為45，求使向量a+b與a+b的夾角是銳角時的取值范圍。(答案：)例3. 已知ABC的三個頂點坐標分別是A(4,1)，B(3,4)，C(-1,2)，BD是ABC的平分線，求點D的坐標及BD的長。剖析：A、C兩點坐標為已知，要求點D的坐標，只要能求出D分所成的比即可。解：由定比分點坐標公式，得D點坐標為評述：本題給出了三點坐標，因此三邊長度易知，由角平分線的性質通過定比分點可解出D點坐標，適當利用平面幾何知識，可以使有些問題得以簡化。思考討論若BD是AC邊上的高，或BD把ABC分成面積相等的兩部分，本題又如何求解？請讀者思考二、平面向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合運用當平面向量給出的形式

8、中含有未知數(shù)時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知數(shù)的關系式。在此基礎上，可以設計出有關函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題。此類題的解題思路是轉化為代數(shù)運算，其轉化途徑主要有兩種：利用向量平行或垂直的充要條件，利用向量數(shù)量積的公式和性質 例4 已知平面向量(1)若存在實數(shù)k和t，使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb，且xy，試求函數(shù)的關系式k=f(t)；(2)根據(jù)(1)的結論，確定k=f(t)的單調區(qū)間。解析(1)法一：由題意知故整理得：t3-3t-4k=0，即法二：xy,xy=0，即-k|a|2+t(t2-3)|b|2=0，t3-3t-4k=0，即(2)由(1)知：令k

9、0得-1t0得t1故k=f(t)的單調遞減區(qū)間是(-1,1)，單調遞增區(qū)是(-，-1)和(1，+).點評第1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是利用向量的坐標運算分別求得兩個向量的坐標，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達到同樣的求解目的(但運算過程大大簡化，值得注意)。第2問中求函數(shù)的極值運用的是求導的方法，這是新舊知識交匯點處的綜合運用。變式練習1已知平面向量，若存在不為零的實數(shù)k和角，使向量，試求實數(shù)k的取值范圍。(答案：)變式練習2已知向量(1)試用x表示；(2)求的最大值，并求此時夾角的大小。(答案：(1)

10、，(2)最大值為10，此時x=-2，)例5 已知(1)求證：a+b與a-b互相垂直；(2)若ka+b與a-kb的大小相等(kR，且k0，)求-(1)證法一：(a+b)(a-b)證法二：|a|=1,|b|=1(a+b)(a-b)證法三：記又，O、A、B三點不共線。由向量加、減法的幾何意義，可知以OA、OB為鄰邊的平行四邊形OACB是菱形，其中，由菱形對角線互相垂直，知(a+b)(a-b)(2)解：由已知得|ka+b|與|a-kb|又又k0, cos(-)=00 0-0)故點P的軌跡是以原點為圓心，為半徑的右半圓。()由為()知，又于是變式練習已知兩個M(-1,0)，N(1,0)，點P使成公差小于

11、零的等差數(shù)列，且向量垂直，求點P的坐標。(答案：)例7. 平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3,1)，B(-1,3)，若點C滿足，其中，R且+=1，則點C的軌跡方程為( )A. 3x+2y-11=0 B. (x-1)2+(y-2)2=5C. 2x-y=0 D. x+2y-5=0分析本題主要考查向量的運算(幾何形式或坐標形式)及直線的方程，把向量了解起來，使問題立意更新，情景更好，內容更豐富。解法1設C(x，y)則消去參數(shù)，得點C的軌跡方程為x+2y-5=0解法2利用向量的幾何運算，考慮定比分點公式的向量形式，結合條件知：A，B，C三點共線，故點C的軌跡方程即為直線AB的方程x+2y-

12、5=0，故本題應選D。本周練習(一)選擇題1. 平面內三點A(0，-3)，B(3,3)，C(x，1)，若，則x的值為( )A. -5 B. -1 C. 1 D. 52. 平面上A(-2,1)，B(1，4)，D(4，-3)，C點滿足，連DC并延長至E，使，則點E坐標為( )A. B. C. (0，1) D. 3. 點(2，-1)沿向量平移到(-2,1)，則點(-2,1)沿平移到：( )A. (2，-1) B. (-2，1) C. (6，-3) D. (-6,3)4. ABC中，2cosBsinC=sinA，則此三角形是( )A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等邊三角形 D.以上均有可能5. 設是任意的非零平面向量，且相互不共線，則( ) 中，真命題是：A. B. C. D. 6. ABC中，若，則C的度數(shù)是( )A. 60 B. 45或135 C. 120 D. 307. OAB中，則點P在( )A. AOB平分線所在直線上B. 線段AB中垂線上C. AB邊所在直線上 D. AB邊的中線上8. 正方形PQRS對角線交點為M，坐標原點O不在正方形內部，且A. B. C. (7,4) D. (二)填空題9. 已知是平面上一個基底，若共線，則=_10. 已知的夾角是_11. 設是兩個單位向量，它們夾角為60，則12. 把函數(shù)y=cosx圖象沿平移，得到函數(shù)_的圖