高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)數(shù)列概念Word版

1、09級高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義數(shù)列概念知識清單1數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作，在數(shù)列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，序號為 的項叫第項（也叫通項）記作；數(shù)列的一般形式：，簡記作 。（2）通項公式的定義：如果數(shù)列的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。例如，數(shù)列的通項公式是= （7，），數(shù)列的通項公式是= （）。說明：表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項，= 表示數(shù)列的通項公式； 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如，= =； 不是每個數(shù)列都有通項公式。例如，1，1.4，1.4

2、1，1.414，（3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號：1 2 3 4 5 6項 ：4 5 6 7 8 9上面每一項序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值，通常用來代替，其圖象是一群孤立點(diǎn)。（4）數(shù)列分類：按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。（5）遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做

3、這個數(shù)列的遞推公式。（6） 數(shù)列的前項和與通項的關(guān)系：課前預(yù)習(xí)1根據(jù)數(shù)列前4項，寫出它的通項公式：（1）1，3，5，7；（2），；（3），。2數(shù)列中，已知，（1）寫出，； （2）是否是數(shù)列中的項？若是，是第幾項？3如圖,一粒子在區(qū)域上運(yùn)動,在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn),接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運(yùn)動，且每秒移動一個單位長度。（1）設(shè)粒子從原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時，所經(jīng)過的時間分別為，試寫出的通相公式；（2）求粒子從原點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時所需的時間；（3）粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動，求經(jīng)過2004秒后，它所處的坐標(biāo)。4（1）已知數(shù)列適合：，寫出前五項并寫出其通項公式；（2）用上面的數(shù)列，通過等式構(gòu)造新數(shù)

4、列，寫出，并寫出的前5項。5（05廣東，14）設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)若用表示這條直線交點(diǎn)的個數(shù)，則=_；當(dāng)時， （用表示）。6（2003京春理14，文15）在某報自測健康狀況的報道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（_）內(nèi)。09級高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義等差數(shù)列知識清單1、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。2、等差數(shù)列的通項公式：；說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列

5、）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。3、等差中項的概念：定義：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項。其中 ，成等差數(shù)列。4、等差數(shù)列的前和的求和公式：。5、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是， 如：，；，；（3）在等差數(shù)列中，對任意，；（4）在等差數(shù)列中，若，且，則；說明：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（）若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項，則奇偶； ；（）若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項，則偶奇；。6、數(shù)列最值（1），時，有最大值；，時，有最小值；（2）最值的求法：若已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）；若已知，則最

6、值時的值（）可如下確定或。課前預(yù)習(xí)1（01天津理，2）設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，且Sn=n2，則an是（ ）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列2（06全國I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則（ ）A B C D3（02京）若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有（ ）A.13項B.12項C.11項D.10項4（01全國理）設(shè)數(shù)列an是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ）A.1 B.2 C.4 D.65（06全國II）設(shè)Sn是等差數(shù)列a

7、n的前n項和，若，則A B C D6（00全國）設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項和，求Tn。7（98全國）已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求數(shù)列bn的通項bn；（）設(shè)數(shù)列an的通項an=lg（1+），記Sn是數(shù)列an的前n項和，試比較Sn與lgbn+1的大小，并證明你的結(jié)論。8（02上海）設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5S6，S6S7S8，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6與S7均為Sn的最大值9（94全國）等差數(shù)列an的前m項和為30，前2m項和為100，

8、則它的前3m項和為（ ）A.130 B.170 C.210 D.26009級高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義等比數(shù)列知識清單1等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：數(shù)列對于數(shù)列（1）（2）（3）都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，5，。（注意：“從第二項起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項都不為零）2等比數(shù)列通項公式為：。說明：（1）由等比數(shù)列的通項公式可以知道：當(dāng)公比時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項公式知：若為等比數(shù)列，則。3等比中項如果在中間插入一個數(shù)，使成等比數(shù)

9、列，那么叫做的等比中項（兩個符號相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個等比中項）。4等比數(shù)列前n項和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項和是，當(dāng)時， 或；當(dāng)q=1時，（錯位相減法）。說明：（1）和各已知三個可求第四個；（2）注意求和公式中是，通項公式中是不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時，必要時應(yīng)討論的情況。5等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項，是等差數(shù)列的第項，且，公比為，則有；對于等比數(shù)列，若，則，也就是：，如圖所示：。若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項的和，那么，成等比數(shù)列。如下圖所示：課前預(yù)習(xí)1在等比數(shù)列中,則 2和的等比中項為( ) . 3 在等比數(shù)列中，求，4在等比數(shù)列中,和是方程的兩

10、個根,則( ) 5. 在等比數(shù)列，已知，求.6（2006年遼寧卷）在等比數(shù)列中,前項和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ ）A B C D7（2006年北京卷）設(shè)，則等于（ ）AB C D8（1996全國文，21）設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S3S62S9，求數(shù)列的公比q；9（2005江蘇3）在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項a13，前三項和為21，則a3a4a5（ ）（A）33 （B）72 （C）84 （D）18910（2000上海，12）在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列bn中，若b91，則

11、有等式 成立。09級高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義數(shù)列通項與求和知識清單1數(shù)列求通項與和（1）數(shù)列前n項和Sn與通項an的關(guān)系式：an= 。（2）求通項常用方法作新數(shù)列法。作等差數(shù)列與等比數(shù)列；累差疊加法。最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1；歸納、猜想法。（3）數(shù)列前n項和重要公式：1+2+n=n(n+1)；12+22+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2；等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；裂項求和將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即an=f(n+1)f(

12、n)，然后累加抵消掉中間的許多項，這種先裂后消的求和法叫裂項求和法。用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項，如：、=、nn！=(n+1)!n!、Cn1r1=CnrCn1r、=等。錯項相消法對一個由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應(yīng)項之積組成的數(shù)列的前n項和，常用錯項相消法。, 其中是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，記，則，并項求和把數(shù)列的某些項放在一起先求和，然后再求Sn。數(shù)列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。通項分解法：2遞歸數(shù)列數(shù)列的連續(xù)若干項滿足的等量關(guān)系an+k=f(an+k1,an+k2,an)稱為數(shù)列的遞歸關(guān)系。由遞歸關(guān)系及k個初始值可以確定的一個數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。如由an+1=2an

13、+1，及a1=1，確定的數(shù)列即為遞歸數(shù)列。遞歸數(shù)列的通項的求法一般說來有以下幾種：（1）歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明。（2）迭代法。（3）代換法。包括代數(shù)代換，對數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。（4）作新數(shù)列法。最常見的是作成等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。課前預(yù)習(xí)1已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項也不為0，求和：。2求。3設(shè)a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a2，3a3，nan，的前n項和。4已知，數(shù)列是首項為a，公比也為a的等比數(shù)列，令，求數(shù)列的前項和。5求。6設(shè)數(shù)列是公差為，且首項為的等差數(shù)列，求和：7求數(shù)列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，前n項和。 典型例題一、有關(guān)通項問題1、利用求通項EG

14、：數(shù)列的前項和（1）試寫出數(shù)列的前5項；（2）數(shù)列是等差數(shù)列嗎？（3）你能寫出數(shù)列的通項公式嗎？變式題1、（2005湖北卷）設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn=2n2，求數(shù)列的通項公式；變式題2、（2005北京卷）數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及數(shù)列an的通項公式 變式題3、（2005山東卷）已知數(shù)列的首項前項和為，且，證明數(shù)列是等比數(shù)列2、解方程求通項：EG：在等差數(shù)列中，（1）已知；（2）已知；(3)已知.變式題1、是首項，公差的等差數(shù)列，如果，則序號等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）6703、待定系數(shù)求通項：EG：寫出下列數(shù)列的前5項：

15、（1）變式題1、（2006年福建卷）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式；4、由前幾項猜想通項：EG：根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，在空格及括號中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)的通項公式.（1）（4）（7）（ ）（ ）變式題1、（2007年深圳理科一模）如下圖，第（1）個多邊形是由正三角形“擴(kuò)展“而來，第（2）個多邊形是由正方形“擴(kuò)展”而來，如此類推.設(shè)由正邊形“擴(kuò)展”而來的多邊形的邊數(shù)為，則 ； . 變式題2、觀察下列各圖，并閱讀下面的文字，像這樣，10條直線相交，交點(diǎn)的個數(shù)最多是（ ），其通項公式為 .2條直線相交，最多有1個交點(diǎn)3條直線相交，最多有3個交點(diǎn)4條直線相交，最多有6個交點(diǎn)A40個 B

16、45個 C50個 D55個二、有關(guān)等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題EG：一個等比數(shù)列前項的和為48，前2項的和為60，則前3項的和為（ ）A83 B108 C75 D63變式1、一個等差數(shù)列前項的和為48，前2項的和為60，則前3項的和為 。變式2、（江蘇版第76頁習(xí)題1）等比數(shù)列的各項為正數(shù)，且（ ） A12 B10 C8 D2+EG：設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ）A1 B.2 C.4 D.8變式題1、在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項，前三項和為21，則A 33 B 72 C 84 D 189三、數(shù)列求和問題EG：已知是等差數(shù)列，其中，公差。（1）求

17、數(shù)列的通項公式，并作出它的圖像；（2）數(shù)列從哪一項開始小于0？（3）求數(shù)列前項和的最大值，并求出對應(yīng)的值變式題1、已知是各項不為零的等差數(shù)列，其中，公差，若,求數(shù)列前項和的最大值變式題2、在等差數(shù)列中，求的最大值EG：求和：變式題1、已知數(shù)列和，設(shè)，求數(shù)列的前項和變式題2、（2007全國1文21）設(shè)是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（）求，的通項公式；（）求數(shù)列的前n項和變式題2設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 .3、利用等比數(shù)列的前項和公式證明EG：變式題、（05天津）已知.當(dāng)時，求數(shù)列的前n項和EG：（1）已知數(shù)列的通項公式為，

18、求前項的和；（2）已知數(shù)列的通項公式為，求前項的和變式題1、已知數(shù)列的通項公式為，設(shè)，求變式題2、數(shù)列an中，a18，a42，且滿足：an+22an+1an0（nN*），（）求數(shù)列an的通項公式；（）設(shè)，是否存在最大的整數(shù)m，使得任意的n均有總成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練A1（07重慶文）在等比數(shù)列an中，a28，a164，則公比q為（A）2（B）3（C）4（D）82（07重慶理）若等差數(shù)列的前三項和且，則等于（ ）A3 B.4 C. 5 D. 63設(shè)為公比q1的等比數(shù)列，若和是方程的兩根，則_.4（07天津理）設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，若是與的等比中項，則（）24685設(shè)等差數(shù)列的公差是2，前項的和為，則6等差數(shù)列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n項和Sn=100,則n=(A)9(B)10(C)11(D)125.等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若（A）12（B）18（C）24（D）426（全國2文）已知數(shù)列的通項，則其前項和 7（07全國1理）等比