實(shí)變函數(shù)與泛函分析教學(xué)大綱1

1、實(shí)變函數(shù)與泛函分析教學(xué)大綱實(shí)變函數(shù)與泛函分析教學(xué)大綱Functions of Real Variables and Functional Analysis一、基本信息適用專業(yè)：信息技術(shù)專業(yè)課程編號(hào)：教學(xué)時(shí)數(shù)：72學(xué)時(shí)學(xué) 分：4課程性質(zhì)：專業(yè)核心課開課系部：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)院使用教材：實(shí)變函數(shù)論與泛函分析（上、下 冊(cè)）第2版曹廣福.高等教育出版社參考書1夏道行實(shí)變函數(shù)論與泛函分析（上、下 冊(cè)）第2版修訂本.高等教育出版社；2 W. Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition;3 W. Rudin , Functional Analysis, 3rd

2、 Edition ;4周民強(qiáng)實(shí)變函數(shù)論第 2版.北京大學(xué)出 版社.二、課程介紹、實(shí)變函數(shù)與泛函分析以掌握、Lebesgue測(cè) 度空間）Lebesgue積分,Hilbert空間和Banach 空間的基本知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生從幾何、拓?fù)渖蟻碚J(rèn) 識(shí)抽象函數(shù)空間，以抽象空間為工具來研究、解 決實(shí)際問題的能力。三、考試形式考試課程，考試成績(jī)由平時(shí)成績(jī)和期末考試組成， 平時(shí)作業(yè)占百分之二十， 期末考試百分之八十。期末考試是閉卷的形式，重點(diǎn)考察學(xué)生的解題能力和基礎(chǔ) 理論。四、課程教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)分配第一章 集合與點(diǎn)集要求1、掌握集合的勢(shì)，可數(shù)集2、熟悉歐氏空間上的拓?fù)?，Cauchy收斂原 理主要內(nèi)容集合的勢(shì)，可數(shù)集

3、，n維歐氏空間上的拓?fù)?，Canchy收斂原理重點(diǎn)集合的勢(shì)，可數(shù)集課時(shí)安排（4學(xué)時(shí)）1、集合的勢(shì)，可數(shù)集2學(xué)時(shí)2、歐氏空間上的拓?fù)洌〤auchy收斂原理2學(xué)時(shí)第二章Lebesgue測(cè)度要求1、熟練掌握外測(cè)度、可測(cè)集以及它們的性 質(zhì)2、掌握可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)，以及非負(fù)可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造3、熟練掌握可測(cè)函數(shù)的收斂性主要內(nèi)容：Lebesgue外測(cè)度）可測(cè)集（類）可測(cè) 函數(shù)及其性質(zhì)，可測(cè)函數(shù)的收斂性重點(diǎn) 外測(cè)度、可測(cè)集以及它們的性質(zhì)、可測(cè)函數(shù) 的收斂性課時(shí)安排（12學(xué)時(shí)）1、外測(cè)度、可測(cè)集以及它們的性質(zhì)4學(xué)時(shí)2、可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)，以及非負(fù)可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造 4學(xué)時(shí)3、可測(cè)函數(shù)的收斂性4學(xué)時(shí)第三章 Lebesgue

4、積分要求：1、熟練掌握可測(cè)函數(shù)的積分及性質(zhì)2、熟練掌握Lebesgue積分基本定理）Fatou 引理）控制收斂定理）Riemann可積的充要 條件3、弄清重積分與累次積分的關(guān)系，F(xiàn)ubini 定理主要內(nèi)容：可測(cè)函數(shù)的積分及性質(zhì)，Lebesgue積分的極 限定理，Riemann可積的充要條件，重積分與累 次積分的關(guān)系）Fubini定理重點(diǎn) 可測(cè)函數(shù)的積分及性質(zhì)）Lebesgue積分的 極限定理課時(shí)安排：（16學(xué)時(shí)）1、可測(cè)函數(shù)的積分及性質(zhì)6學(xué)時(shí)2、Lebesgue積分基本定理）Fatou引理） 控制收斂定理，Riemann可積的充要條件6學(xué)3、重積分與累次積分的關(guān)系，F(xiàn)ubini定理 4學(xué)時(shí)第四

5、章 Lp空間 要求：1、熟練掌握Lp空間的范數(shù)、完備性、收斂 性、可分性2、熟悉Lp空間的內(nèi)積，標(biāo)準(zhǔn)正交基3、了解卷積與Fourier變換 主要內(nèi)容：Lp空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性，Lp 空間的內(nèi)積）標(biāo)準(zhǔn)正交基）卷積與 Fourier變換 重點(diǎn)Lp空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性 課時(shí)安排（10學(xué)時(shí)）1、Lp空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可 分性 4學(xué)時(shí)2、Lp空間的內(nèi)積，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交化方法 4學(xué)時(shí)3、卷積與Fourier變換 2學(xué)時(shí)第五章Hilbert空間理論 要求：1、熟練掌握距離空間的定義與緊致性的定義，Riesz表示定理2、熟悉Hilbert空間上線性算子的有界性 和連續(xù)性

6、3、熟悉共軻算子、投影算子，緊算子性質(zhì) 及其譜主要內(nèi)容：距離空間的定義，緊致性，Hilbert空間上線 性算子的有界性和連續(xù)性，共軻算子、投影算子, 緊算子性質(zhì)及其譜。Riesz課時(shí)安排（16學(xué)時(shí)）1、距離空間的定義與緊致性的定義,表示定理 4學(xué)時(shí)2、 Hilbert空間上線性算子的有界性和連續(xù)性 6學(xué)時(shí)3、共軻算子、投影算子，緊算子性質(zhì)及其譜6學(xué)時(shí)第六章Banach空間理論要求：1、掌握Banach空間的定義，模等價(jià)，有界線性算子2、熟悉開映象定理，逆函數(shù)定理，閉圖像定 理，共鳴定理3、熟悉連續(xù)線性泛函的存在性與Hahn-Banach 定理4、弄清弱收斂、弱-*收斂，弱列緊、弱-*列 緊性主

7、要內(nèi)容：范數(shù)、Banach空間的定義）模等價(jià)）有界 線性算子，開映象定理，逆函數(shù)定理，閉圖像定 理）共鳴定理）Hahn-Banach定理）弱收斂、弱 -*收斂，弱列緊、弱-*列緊性重點(diǎn)Banach空間的定義、模等價(jià)、有界線性算 子、開映象定理、Hahn-Banach定理、弱收斂、弱-*收斂課時(shí)安排（14學(xué)時(shí)）1、Banach空間的定義，模等價(jià)，有界線性算子 4學(xué)時(shí)2、開映象定理，逆函數(shù)定理，閉圖像定理，共鳴定理6學(xué)時(shí)3、連續(xù)線性泛函的存在性與Hahn-Banach4學(xué)時(shí)實(shí)變函數(shù)與泛函分析考試大綱院 系：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院課程名稱：實(shí)變函數(shù)與泛函分析（第二學(xué)期）使用專業(yè)：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)專業(yè)學(xué)

8、時(shí)：72具中，理論學(xué)時(shí)：72實(shí)踐學(xué)時(shí)：0學(xué) 分：4一、設(shè)課目的：實(shí)變函數(shù)與泛函分析以掌握Lebesgue測(cè)度空間，Lebesgue積分，Hilbert 空間和Banach空間的基本知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生從幾何、拓?fù)渖蟻碚J(rèn)識(shí)抽象函數(shù)空間， 以抽象空間為工具來研究、解決實(shí)際問題的能力 .二、課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)：通過本門課程的教學(xué)，使學(xué)生了解函數(shù)理論的基本體系， 理解實(shí)變函數(shù)的基 本概念、基本原理，使學(xué)生較好的掌握集合論基礎(chǔ)、Lebesgue測(cè)度與Lebesgue積分、線性賦范空間與 Hilbert 空間的基本理論和有界線性算子，并且在一定 程度上掌握集合的分析方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)分析數(shù)學(xué)中的一些專門理論

9、，如函 數(shù)論，泛函分析，概率論，微分方程，群上調(diào)和分析等提供必要的測(cè)度和積分 論基礎(chǔ)，為從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育提供知識(shí)儲(chǔ)備.三、課程考核的基本形式、內(nèi)容和要求：本課程考核分為兩部分：形成性考核和課程期末考試（一）形成性考核形成性考核部分分為：平時(shí)考勤（占20%、作業(yè)（占70%、課堂提問情況 （占10%這三個(gè)部分。要求隨時(shí)檢查學(xué)生考勤，批改作業(yè)，敦促學(xué)生邊學(xué)邊做。學(xué)生應(yīng)按時(shí)完成各階段的平時(shí)作業(yè)。對(duì)于抄襲作業(yè)的或不按時(shí)完成的應(yīng)給 予說服教育，嚴(yán)重者應(yīng)給予扣分處理。（二）課程期末考試期末考試采用筆試閉卷形式?？荚嚸}由教研室集體討論，任課教師可參 與命題。本課程期末考試的命題依據(jù)是專業(yè)教學(xué)計(jì)劃、課程教學(xué)大

10、綱以及使用 教材。本課程的試卷涉及該教材所含的有關(guān)知識(shí)內(nèi)容及練習(xí)，其中重點(diǎn)內(nèi)容為： 集合的勢(shì)，可數(shù)集；外測(cè)度、可測(cè)集以及它們的性質(zhì)、可測(cè)函數(shù)的收斂性；可測(cè)函數(shù)的積分及性質(zhì)，Lebesgue積分的極限定理；Lp空間的范數(shù)、完備性、收 斂性、可分性；距離空間的定義，緊致性，Hilbert空間上線性算子的有界性和 連續(xù)性，共腕算子、投影算子，緊算子性質(zhì)及其譜； Banach空間的定義、模等 價(jià)、有界線性算子、開映象定理、 Hahn-Banach定理、弱收斂、弱-*收斂.四、考核的組織：本課程的平時(shí)作業(yè)由任課教師根據(jù)學(xué)生完成情況進(jìn)行批閱、評(píng)分。 課程期末考試教研室統(tǒng)一組織，以集體流水作業(yè)的方式進(jìn)行批閱。根據(jù)班級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況形成性考核成績(jī)可占總成績(jī)的30%期末考試成績(jī)可占總成績(jī)的70%五、教材1夏道行實(shí)變函數(shù)