使用留數(shù)定理計算實積分

1、用留數(shù)定理計算實積分一：教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：基本內(nèi)容：用留數(shù)定理計算實積分的幾種方法重點：用留數(shù)定理計算實積分的方法難點：定理的應(yīng)用二：教學(xué)目標或要求：真正掌握用留數(shù)定理計算實積分的幾種方法三、教學(xué)手段與方法：講授、練習四、思考題、討論題、作業(yè)與練習：5 7用留數(shù)定理計算實積分留數(shù)定理的一個重要應(yīng)用是計算某此實變函數(shù)的積分.如，在研究阻尼振動時計算積分工，在研究光的衍射時，需要計算菲涅耳積分.在熱學(xué)中將遇到積分（口 U , b為任意實數(shù)）如用實函數(shù)分析中的方法計算這些積分幾乎是不可能的，既使能計算，也相當復(fù)雜 .如果能把 它們化為復(fù)積分，用哥西定理和留數(shù)定理，那就簡單了 .當

2、然最關(guān)鍵的是設(shè)法 把實變函數(shù)是積分跟復(fù)變函數(shù)回路積分聯(lián)系起來 .把實變積分聯(lián)系于復(fù)變回路積分的要點如下：定積分的積分區(qū)【巴切可以看作是復(fù)數(shù)平面上的實軸上的一段1,于是，或者利用自變數(shù)的變換把“變成某個新的復(fù)數(shù)平面上的回路，這樣就可以應(yīng)用留數(shù)定理了；或者另外補上一段曲線空，使打和匕合成回路1,1包圍著區(qū)域B,這樣“必二 f(z)dz + f(z)dzf fQ)也左端可應(yīng)用留數(shù)定理，如果 * 介紹幾個類型的實變定積分.-2 7t一計算0 R(cos , sin )d型積分容易求出，則問題就解決了，下面具體令z ei ，則cos與sin均可用復(fù)變量z表示出來，從而實現(xiàn)將R(cos ,sin )變形為

3、復(fù)變量z的函數(shù)的愿望，此時有22z 1. z 1cos , sin 2z2iz同時，由于z ei ,所以z 1,且當 由0變到2九時，z恰好在圓周c:|z 1上變動一周。故使積分路徑也變成了所期望的圍線。至此，有2兀0 R(cos , sinz2 1 z2 11)d/(H,弁)7dz2兀于是，計算積分 R(cos,sin )d的方法找到了，只需令zei即可。(p * 1)a/求1當7時，1 = 2度；當尸HQ時，令君dzIZ十聲2 廣dzj 1sH p)(l(團門時，在小1內(nèi)，,二)0僅以戶為一級極點,在同=1上無奇點，故由留數(shù)定理 = L 2jtj Rum/ (z)當時，在1 例計算積分解：

4、令N，先求Z5 =八1內(nèi)丁僅以 F為一級極點，在上1上無奇點,Z = - - 2rRe sf &）p1 z - =24UQ -產(chǎn)）（1-一2億舊-3= （一升）3一切3工） p k2r,，廣呢,0后2化* 1 + scosG .得：z-r -Xr _生_或癡_】e+111M 2密工盟,s a , n1 + 1 3 + - 3 + 122_定由卜, 2z + z+ 1I2之+1上 r的奇點及其留數(shù).1令其分母為零得:Z3 + 2 + 1 = 0= = - + za - - 1 - A - aE EEE這就是/Q)的兩個單極點.單極點可的模為:1 - (1 - r) _ - 1S所以極點4在單位圓

5、內(nèi).而單極點馬的模為:EEE所以電在單位圓外，在極點句處.Z|Res/(7)= im(E -zL)/(z)J = ta 仁一巧)，G|24- Ji-，5- 2M 良cs f(2) = - - 2rr 理白國加京此積分在力學(xué)和量子力學(xué)中甚為重要，由 它可以求出開普勒 積分:(1 + E8S 9)之值.為此，在前例中，用2.W：兩也對a求導(dǎo)得:(-1)第3+臺cos。)”令a=1得，即:X dQ(1 + sicos H)產(chǎn)ms咫心T （加三國）0 5-4匚。3齊i； os 也 ，dx5 -4 cos tCO532f/ = 1 /5-4be工為偶函數(shù)，故 2Ke?Mq 人。口 乙 Q團其中工 為03

6、）落在C內(nèi)部的有限個奇點處的留數(shù)和，若能估計出f adz的值，再取極限即得 引理6.1設(shè)/在圓弧取：W （814日4出充分大）上連續(xù)，且馳刷-在/上一致成立（即與司工8工凡中的日無關(guān)），則lim f /龍二0 -d)兄Efto J0證口,由于糜47在當上一致成立，故狙。.&一小?。ǘɡ?.7設(shè) 圓力為有理分式，其中產(chǎn)二+G爐T +十.G H 0）。二為/叫/馬+ f 30）為互質(zhì)多項式，且（1）界一圖絲； 在實軸上QO）H。，Rc sf(z)，吟士（L證 由-22 ,瓦齊存在，旦7小岫小岫。作一口能小公少與線段r閾一起構(gòu)成圍線：，取K足夠大，使 晨的內(nèi)部包含了在上半平面內(nèi)的一切孤立奇 點，由在

7、實軸上Q3 0知，在q上沒有奇點，由留數(shù)定理得 小,飛5。/又人:小小小快a4合當眼一掰22時,甘|T。（RTF）,由引理6.1,( /3)施=i(苑-0), 0 = 口X號卬，計算解:函數(shù)I 4工十a(chǎn)-777為偶函數(shù)，所以的奇點為ak = a-e土 = 031m-故在上半平面的奇點為:% = ae而:Re s f =豆一4Resf(z) =白2423-dx o 1解 經(jīng)驗證，此積分可用(7.11 )式計算.首先,求出P(z)Q(z)2z在z4 z2 1上半平面的全部奇點.令10 即 z42 -/ 4 - 2 ,、z1(z2z1)222z (z 1)(z2z 1)(z2 z 1)于是,P(z)

8、Q(z)在上半平面的全部奇點只有兩個:-3.匚-i與2均為P0的一級極點.Q(z)其次，算留數(shù),lim (z z2 z1 3i(z)(z)(z)(z)4 3i2 z13(z)(z)(z)(z)4 3i)ilim (z z最后，將所得留數(shù)代入(7.11 )式得2 x42x x-dx 2冗 iRes(-P(-z), ) Res(P) 1Q(z)Q(z),)It3 3 .積分J” CM 的計算例 計算積分 x x引理6.2 (Jordan)設(shè)且在半圓周%1 0) 在學(xué)上一致成立，則由o證90,由于A* 在 直上一致成乂，故 由J,一,。取K怛由于2 2rxi上 Wsinf 三9 (0 -JJorda

9、n不等式史?.JS產(chǎn).2行9巴）（吧5 生絲2溺0 才三二g定理6.8設(shè)故 2 g 小 ，于是 2Q,其中?及為互質(zhì)多項式，且（i）Q的次數(shù)比干的次數(shù)高；在實軸上。.。； 閥口 ,f g/聞dx = 2m 工 Re5g（）e則腦山口工吟,特別地分開實、虛部就可以得到出出鹿心 2m卜ew 與卜2的積分。解:產(chǎn)=二1十一為偶函數(shù),9（z,i*= 1 產(chǎn)胃口十有兩個單極點工，其中+工,在上半平面，其留數(shù)為:i唱，尸伍觸層一用n lim z - j) 8 -sz L 41 方ix例計算積分二e2 dx , ax a解經(jīng)驗證，該積分可用(6.14)式計算.i z首先，求出輔助函數(shù)f(z) 2在上半平面的

10、全部奇點. z a由z2 a2 0解得z ai與z ai為f (z)的奇點，而a 0,所以，f(z)在上半平面只有一個奇點ai , 且ai為f(z)的一級極點.其次，計算留數(shù).有i z_ eRes(，ai)z ai z e lim (z ai)z ai (z ai)(z ai)2ai最后，由(6.14)式得ix edxize2冗 i Res( -2 , ai)z aIta ae例計算積分解若令冗 cosx , dxx 4x 5cosx .E 九 二dxx 4x 5ix edxx 4x 5則E ReH ,即H的實部為E。因此，為了計算H ,只需求出積分2x 4x 5dx即可，而該積分可用(6.1

11、1)式計算。為用(6.11)式，先求出輔助函數(shù)的曠Q(z)14z在上半平面的奇點只有點（另一個奇點為2 i),于是，由(6.14)式得i xe4xdx52 冗 i Res( zi z e4zRes(i zez2 4zi xe4x從而有于是i)dx5一(cos2 eE ReH 一 ei) lim (zz2ii sin 2)2冗ccos 2冗 cos x ,-dxx 4x 527tccos2 e這里要指出的是，由所求積分的特征,(z )(z)1 2i e2i計算所給積分也可直接利用（6.14)式進行。復(fù)變函數(shù)論課程教案授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：授課類型理論課第二節(jié)續(xù)授課時間第15周第12節(jié)教學(xué)目

12、標或要求：掌握積分路徑上有奇點的積分的計算典型例題教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：基本內(nèi)容：積分路徑上有奇點的積分的計算典型例題重點：積分路徑上有奇點的積分的計算難點：典型例題教學(xué)手段與方法：講授、練習思考題、討論題、作業(yè)與練習:265 頁 1 5參考資料（含參考書、文獻等）:單復(fù)變函數(shù)J.B.康威著 呂以輦張南岳 譯上?？茖W(xué)技術(shù)出版社 1985注：1、每項頁面大小可自行添減； 2一次課為一個教案；3、“重點”、“難點”、“教學(xué)手 段與方法”部分要盡量具體；4、授課類型指：理論課、討論課、實驗或?qū)嵙曊n、練習或習題課等。4.計算積分路徑上有奇點的積分前面所講的三種類型都是在實軸上沒有奇點的

13、情況，如果在實軸上有奇點。那么前述計算方法不完全適用。例如/在實軸上有一個奇點2=值（口為實數(shù)），要計算匚知的,在作輔助線時，應(yīng)繞過奇點忸=翼，具體辦法是在上半平面，作一個以忸=偌為心，半徑為邛的半圓周，,積分沿。工進行，然后令5 T。取極限（如圖所示）JjhA = 外比/&泌十令RTG ,上式左端用留數(shù)定理計算，再令 T匚/膿=蚓17加油+二叫工造-螃匕，曲-J/t上滿足引理條件，主要的就是求積分.如果實軸上有n個奇點，那么分別以各奇點為心，石為半徑作上半平面的半圓，經(jīng)過奇點即可,例計算狄利克雷積分解：先將積分變換為這樣我們作如圖所示的輔助線，使組成一個復(fù)圍線 ,那么：= r 一 烝+ dz + 廣一公* （ 一 dzJr