選修曲邊梯形的面積

1、§ 1.5,1曲邊梯形的面積、【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解求曲邊圖形面積的過(guò)程：分割、以直代曲、逼近,感受在其過(guò)程中滲透的思想方法【重點(diǎn)難點(diǎn)】學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握過(guò)程步驟：分割、以直代曲、求和、逼近取極限；學(xué)習(xí)難點(diǎn)：對(duì)過(guò)程中所包含的根本的微積分“以直代曲的思想的理解 .【學(xué)法指導(dǎo)】求曲邊梯形的思想和步驟:【問(wèn)題探究】一、創(chuàng)設(shè)情境：分割以直代曲求和 逼近“以直代曲的思想問(wèn)題：如圖,陰影局部類似于一個(gè)梯形,但有y f(x)的, 我們耳0J8x a , x b(a b), y 0 和曲線 y形稱為曲邊梯形.如何計(jì)算這個(gè)曲邊梯形的面積?探究、求圖中陰影局部是由拋物線 y x2 ,直線x 1以及x軸所圍成的平面

2、圖形的面積S.思考：1曲邊梯形與“直邊圖形的區(qū)別?2能否將求這個(gè)曲邊梯形面積 S的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形面積的問(wèn)題?把區(qū)間0,1分成許多個(gè)小區(qū)間,進(jìn)而把區(qū)邊梯形拆為一些小曲邊梯形,對(duì)每個(gè)小曲 邊梯形“以直代曲,即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,得到每個(gè)小曲邊梯形 面積的近似值,對(duì)這些近似值求和,就得到曲邊梯形面積的近似值.分割越細(xì),面積的近似值就越精確.當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)時(shí),這個(gè)近似值就無(wú)限逼近所 求曲邊梯形的面積 S.也即：用化歸為計(jì)算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積.(1)分割在區(qū)間0,1上等間隔地插入個(gè)小區(qū)間:記第i個(gè)區(qū)間為(i1,2,n分別過(guò)上述n 1個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線,從

3、而得到n個(gè)小曲邊梯形,他們的面積分別記n作：S1, S2,Sn ,顯然, SSi.i 1(2)近似代替記f x x2,如下圖,當(dāng)n很大,即 x很小時(shí),在區(qū)間 上,可以認(rèn)為函數(shù) f x x2的值變化很小,i 1 一近似的等于一個(gè)常數(shù),不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)-處n的函數(shù)值,從圖形上看,就是用平行于x軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊(如圖).這樣,在區(qū)間 上,用小矩形的面積s近似的代替 Si,即在局部范圍內(nèi)“以直代曲,那么有SiSi (3)求和由,上圖中陰影局部的面積 Sn為 nSnS i 1從而得到S的近似值 S Sn .(4)取極限分別將區(qū)間 0,1等分8, 16, 20,等份(如圖),

4、可以看到,當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí),即x趨向于0時(shí),Sn趨向于S,從而有S lim Snn總結(jié)：求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟第一步：分割.在區(qū)間a,b中任意插入n 1各分點(diǎn),將它們等分成n個(gè)小區(qū)間為 i , x i 1,2 ,L , n ,區(qū)間 x i , x 的長(zhǎng)度 Xi Xi Xi 1 ；第二步：近似代替,“以直代取.用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,求出每個(gè)小 曲邊梯形面積的近似值；第三步：求和；第四步：取極限.說(shuō)明：1.歸納以上步驟,其流程圖表示為：分割匚| |以直代曲| 畫(huà) HE2.最后所得曲邊形的面積不是近似值,而是真實(shí)值【典例分析】例.求y 2x x2, y 0,0 x 2圍成圖形面積解：【目標(biāo)檢測(cè)】求直線x=0,x=2,y=0與曲線y=