空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示-課件-(人教版)

1、 1.理解空間向量基本定理，并能用基本定理解決一些幾何問題 2.理解基底、基向量及向量的線性組合的概念 3.掌握空間向量的坐標(biāo)表示，能在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中寫出向量的坐標(biāo). 1.空間向量基本定理(重點) 2.用基底表示已知向量(難點) 3.在不同坐標(biāo)系中向量坐標(biāo)的相對性(易錯點) 1平面向量基本定理的內(nèi)容是：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使 .不共面的向量e1，e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組 2在平面內(nèi)，把一個向量分解成兩個互相垂直的向量，叫做把向量 a1e12e2基底正交分解7 4 問題：問題： 我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量

2、我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量 都可以都可以用兩個不共線的向量用兩個不共線的向量 來表示（平面向量基本定來表示（平面向量基本定理）理）.對于空間任意一個向量，有沒有類似的結(jié)論呢？對于空間任意一個向量，有沒有類似的結(jié)論呢？, a b p xyzOijkQPp 一、空間向量的坐標(biāo)分解一、空間向量的坐標(biāo)分解 給定一個空間坐標(biāo)系和向量給定一個空間坐標(biāo)系和向量 且設(shè)且設(shè) 為空間兩兩垂直的向為空間兩兩垂直的向量，設(shè)點量，設(shè)點Q為點為點P在在 所確定平所確定平面上的正投影面上的正投影.p ,ij k , i j 一、空間向量的坐標(biāo)分解一、空間向量的坐標(biāo)分解,zkOQ實數(shù)存在所確定的平面上在, ,i jx y

3、 在所確定的平面上 存在實數(shù)jyi xOQ使得kzOQOP使得kzjyi xkzOQOPxyzQPp Oijk 由此可知由此可知,如果如果 是空間兩兩垂直的向量是空間兩兩垂直的向量,那么那么,對空間任一向量對空間任一向量 , 存在一個有序?qū)崝?shù)組存在一個有序?qū)崝?shù)組 x,y,z使得使得 我們稱我們稱 為向量為向量 在在 上的分向量上的分向量., ,i j k P ,xi y j zk, ,i j k p .pxiy jzk 空間向量基本定理：空間向量基本定理：都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c 注注:探究：探究：在空間中在空間中,如果用任意三個不共面向量如果用任意三個不共面向量 代替兩兩垂直

4、的向量代替兩兩垂直的向量 ,你能得出類似的你能得出類似的 結(jié)論嗎？結(jié)論嗎？, ,a b c , ,i j k 如果三個向量 不共面,那么對空間任一向量 , 存在有序?qū)崝?shù)組 ,使, ,a b c P .pxaybzc , ,x y z, , , ,. , , .a b cP Pxaybzc x y zRa b ca b c 如果三個向量 , ,不共面,那么所有空間向量組成的集合就是這個集合可以看做是由向量生成的故叫做空間的一個基底, , , ,. , , .a b cP Pxaybzc x y zRa b ca b c 如果三個向量 , ,不共面,那么所有空間向量組成的集合就是這個集合可以看做是

5、由向量生成的故叫做空間的一個基底, , , ,. , , .a b cP Pxaybzc x y zRa b ca b c 如果三個向量 , ,不共面,那么所有空間向量組成的集合就是這個集合可以看做是由向量生成的故叫做空間的一個基底, , , ,. , , .a b cP Pxaybzc x y zRa b ca b c 如果三個向量 , ,不共面,那么所有空間向量組成的集合就是這個集合可以看做是由向量生成的故叫做空間的一個基底（1）任意不共面的三個向量都可做為空間）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底的一個基底.特別提示：特別提示：對于基底對于基底a,b,c,除了應(yīng)知道除了應(yīng)知道a,b

6、,c不共面，還應(yīng)明確：不共面，還應(yīng)明確：（2 ） 由于可視由于可視 為與任意一個非零向量共線為與任意一個非零向量共線,與任意兩個非零向量共面與任意兩個非零向量共面,所以三個向量不共所以三個向量不共面面,就隱含著它們都不是就隱含著它們都不是 .00（3）一個基底是指一個向量組）一個基底是指一個向量組,一個基向量一個基向量是指基底中的某一個向量是指基底中的某一個向量,二者是相關(guān)連的不二者是相關(guān)連的不同概念同概念. 二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系xyze1e2e3O 單位正交基底：如果空間的一個基底的單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為三個基向量互相垂直，且長都為1，

7、則這個，則這個基底叫做單位正交基底基底叫做單位正交基底,常用常用 表示表示.123,e e e 123,e e e 123,e e e 空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一和一個單位正交基底個單位正交基底 ,以點以點O為原點，分別為原點，分別以以 的方向為的方向為x軸、軸、y軸、軸、z軸的正方向，軸的正方向，建立一個空間直角坐標(biāo)系建立一個空間直角坐標(biāo)系O-xyz123,e e e 123,e e e 123,e e e 123,e e e 123,e e e 123,e e e 121323112233,.e e e e eee e ee ee 計算單位正交基之間

8、的數(shù)量積121323112233,.e e e e eee e ee ee 計算單位正交基之間的數(shù)量積121323112233,.e e e e eee e ee ee 計算單位正交基之間的數(shù)量積121323112233,.e e e e eee e ee ee 計算單位正交基之間的數(shù)量積xyzOP(x,y,z)e1e2e3P 在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對空間任一向量中，對空間任一向量 ,平平移使其起點與原點移使其起點與原點o重合重合,得到向量得到向量 由空間向量基由空間向量基本定理可知本定理可知,存在有序?qū)崝?shù)組存在有序?qū)崝?shù)組 ,使使opp opp , ,x y z123P

9、xeyeze 123Pxeyeze 123Pxeyeze 123, , , , .x y zPe e ePx y z 叫做向量 在單位正交基底下的坐標(biāo) 記做123, , , , .x y zPe e ePx y z 叫做向量 在單位正交基底下的坐標(biāo) 記做123, , , , .x y zPe e ePx y z 叫做向量 在單位正交基底下的坐標(biāo) 記做 此時向量此時向量P的坐標(biāo)恰是點的坐標(biāo)恰是點P在直角在直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)中的坐標(biāo) ，其中其中x叫做點叫做點P的橫坐標(biāo)，的橫坐標(biāo)，y叫做點叫做點P的縱坐標(biāo)，的縱坐標(biāo)，z叫做點叫做點P的豎坐標(biāo)的豎坐標(biāo)., ,x y z, ,x y z,

10、 ,x y z 顯然顯然, 向量向量 的坐標(biāo)，就是點的坐標(biāo)，就是點P在此空間在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x,y,z).OP xyzOP(x,y,z)也就是說也就是說,以以O(shè)為起點的有為起點的有向線段向線段 (向量向量)的坐標(biāo)可以的坐標(biāo)可以和終點的坐標(biāo)建立起一一和終點的坐標(biāo)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系對應(yīng)的關(guān)系,從而互相轉(zhuǎn)化從而互相轉(zhuǎn)化.e1e2e3AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).思考：設(shè)思考：設(shè)A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),則則AB的坐標(biāo)表示是什么？的坐標(biāo)表示是什么？_AM _OB1 _PQ

11、練習(xí)1 如圖在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，取D點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，O、M、P、Q分別是AC、DD1、CC1、A1B1的中點，寫出下列向量的坐標(biāo).z zx xy yA AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1O OM MPQ Q例題講解例題講解17練習(xí)練習(xí)3 1已知a，b，c是不共面的三個向量，則能構(gòu)成一個基底的一組向量是() A2a，ab，a2b B2b，ba，b2a Ca,2b，bc Dc，ac，ac 答案：C 答案：C 答案：(1,1，1)(1,0,1) 以下四個命題中正確的是() A空間的任何一個向量都可用三個給定向量表示 B若a，b

12、，c為空間的一個基底，則a，b，c全不是零向量 C若向量ab，則a，b與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底 D任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間的一個基底 根據(jù)空間基底的定義逐個選項判斷 解題過程 答案：B 選項判斷原因分析A由空間向量基本定理知，空間中任何一個向量必須由不共面的三個向量才能表示B基向量不共面，因此不可能有零向量C基底中的兩個基向量是可以垂直的，正交基底中三個基向量兩兩垂直D基底的構(gòu)成必須是三個不共面的向量 1.如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則() Aa與b共線Ba與b同向 Ca與b反向 Da與b共面 解析：由空間向量基本定理可知只有不共線的兩向量才可以做基底，B，C都是A的一種情況，空間中任兩個向量都是共面的故D錯 答